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《菱形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
（2）理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积。
2.过程与方法
经历探索菱形性质和判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想、动手操作能力和说理的基本方法.。21·世纪*教育网
3.情感态度和价值观
培养良好的思维意识以及合情推理的能力 ，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。www-2-1-cnjy-com
【教学重点】
（1）菱形的性质及菱形知识的综合应用。
【教学难点】
菱形的性质应用。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时，成为什么图形？
（学生回答）
【过渡】如果从边的角度，将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等，这个特殊的四边形叫什么呢？今天我们就来探究一下这个特殊的四边形。21cnjy.com
二、新课教学
1．菱形的性质
【过渡】结合矩形的定义的得出，我们来看一 ( http: / / www.21cnjy.com )下究竟什么样的平行四边形是菱形呢？在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
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【过渡】通过刚刚的演示，我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
课件展示几组日常生活中的菱形。
【过渡】那么对于菱形来说，除了具有平行四边形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？
课件展示菱形具有的平行四边形的性质。
【过渡】除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？根据菱形的定义和特点，我们猜想：
菱形的四条边相等。
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
【过渡】你能证明这两个猜想吗？
课件展示证明过程。
【过渡】通过证明，我们得到我们的猜想是正确的。因此，我们得到菱形的另外两个性质：
菱形的四条边相等．
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
【过渡】接下来，我们来观察一下课本上的菱形，是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？21教育网
【过渡】根据菱形的性质，我们将菱形折叠，发现它是轴对称图形，且有两条对称轴，即两条对角线，2条对称轴，对称轴互相垂直平分。21·cn·jy·com
课件展示菱形和矩形性质的比较。
【过渡】在了解了菱形的性质之后，我们来看一下这样一道题目。
菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
【过渡】我们根据菱形对角线的性质，经过推导，可以得出，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
课件展示例3内容，讲解。
【知识巩固】1、如图，菱形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，E为AB中点。证明：F为AD中点。www.21-cn-jy.com
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解：连接AC，
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∵CE⊥AB，且E为AB的中点
∴△ACB为等腰三角形，即AC=BC，
∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CF⊥AD，
∴F为AD的中点
2、求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。
解：菱形对角线互相垂直平分，
所以AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等，
即O到AB、BC、CD、DA的距离相等。
3、菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线的长．
（3）求菱形的面积。
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，∠BAD=180°-60°=120°。
（2）在Rt△ABO中，已知AB=10cm，AO=×10cm=5cm，
则BO==5cm，
另一条对角线长为BD=2BO=10cm。
（3）菱形的对角线长为10cm，10 cm，
则菱形面积S=10×10 cm2=50cm2，
答：菱形的内角为60°，120°，菱形的另一条对角线长10 cm，菱形的面积为50 cm。
【达标检测】1、菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是（ C ）
A．40 B．24 C．20 D．10
2、如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ C ）
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A．20° B．25° C．30° D．35°
3、如图所示，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE．求证：BE=AF。
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解： ∵在菱形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠ADB，∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
∵∠EAD=2∠BAE．∴∠EAD=∠AEB=∠ABE，
设∠BAE=x，则∠EAD=∠AEB=∠ABE=2x，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE=180°，∴x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，∴∠BAE=36°，∠AEB=∠ABE=∠EAD=72°，
∴∠BAD=108°，∴∠ABD=（180°-108°）=36°，
∴∠BFE=36°+36°=72°=∠AEB，∴BE=AF． 。
【拓展提升】1、.菱形ABCD中，AC=mAB，点M是射线CA上一点，点P是射线DA上一点，∠PMB=∠ABC。21世纪教育网版权所有
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（1）如图①，若m=1，请猜想AP，AB，AM的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②，若m≠1，请猜想AP、AB、AM的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）AB=AM+AP；
理由：在AB上截取AN=AM，连接MN，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∵AB=AC，∴△是等边三角形，
∴∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，
∴AM=MN，∠AMN=60°，
∵∠PMB=60°，∴∠AMP=∠NMB，
在△APM与△BMN中，
∠PAM＝∠BNM＝120°；AM＝MN；∠AMP＝∠NMB，
∴△APM≌△NBM，∴BN=PA，
∵AB=AN+BN，∴AB=AM+AP；
（2）AP-AB=mAM，
理由：在AP上截取AK=AB，连接KB，
∴AK=BC，AK∥BC，∴四边形AKBC是平行四边形，
∵∠AKB=∠ABK，∠ABK=∠BAC，
∴∠AKB=∠BAC，∴∠PKB=∠MAB，
∵∠PMB=∠ABC，∴∠PMB=∠PAB，
∵∠MOP=∠AOB，∴∠MPA=∠MBA，
∴点A，M，P，B四点共圆，
∴∠KPB=∠AMB，∴△PKB∽△AMB，
∴＝ ＝ ＝m，∴PK=mAM，∴AP-AK=AP-AB=mAM.2·1·c·n·j·y
【板书设计】
1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
2、菱形的性质：
菱形的两组对边分别平行且相等；
菱形的两组对角分别相等；
菱形的两条对角线互相平分；
菱形的邻角互补。
菱形的四条边都相等。
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
【教学反思】
举例生活中给人以矩形形象物体；给学生一个感 ( http: / / www.21cnjy.com )性认知。按照矩形的性质的教学模式，引导学生利用实验由特殊到一般认识的对菱形的性质研究，得出结论，并让所有的学生用推理的形式给以证明。本节课的设计的每个环节都是以学生为主体，充分体现新课标的理念，对于新知识的获取能够建立在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，并能体会到自己的探索是有意义、有价值的能培养他们在学习上的自信心，也便于激发他们对学习的浓厚兴趣。另外，学生对自己探究出的结论，记忆也会更加深刻久远，理解也更加渗透到位。这样一种教学方式，更加有助于学生完善学习过程，学生的探索创新思维、创新精神和创造能力将获得极大的提高。【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《菱形的性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．BC=2OE B．CD=2OE C．CE=OE D．OC=OE
2．菱形ABCD的对角线AC、BD的长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为4和2，若直线l满足：①点A到直线l的距离为；②B、D两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（ ）21教育网
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A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（ ）
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A．75° B．60° C．50° D．45°
4． 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长是（ ）21cnjy.com
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A．24 B．36 C．48 D．4.8
5． 在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．120° B．100° C．80° D．60°
6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．（3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）
二、解答——知识提高运用
7．菱形ABCD的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为 。
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，△AEF的三边长和菱形边长相等，求∠BAD的大小。2·1·c·n·j·y
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9．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，DE=CE，AE⊥CD，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。【来源：21·世纪·教育·网】
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10．如图所示，菱形ABCD的周长为32cm，菱形的相邻两内角之比为1：2，求菱形的面积。
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11．菱形ABCD的边长为24厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动。21·世纪*教育网
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（1）求BD的长；
（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4c ( http: / / www.21cnjy.com )m/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由。www-2-1-cnjy-com
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】A．由三角形的中位线定理可知：OE= BC，即：BC=2OE，故A正确；
B．∵CD=BC=2OE，故B正确；
C．OE= BC= CD，∵点E是CD的中点，所以CE= CD，∴CE=OE，故C正确；
D．不一定正确．
故选：D。
2．【答案】D
【解析】如图所示：
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∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC= AC=2，OB=OD= BD=1，
∴符合题意的直线l的条数有4条。
故选：D。
3．【答案】B
【解析】连接BD。
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∵BE⊥AD，AE=ED，
∴BD=AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
∴∠D+∠EBF=180°，
又∵∠D+∠A=180°，
∴∠EBF=∠A=60°。
故选B。
4．【答案】D
【解析】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO= AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0= =4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC DB=×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE=4.8，
故选：D。
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AM=AN=MN=AB，
∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，
设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°-2x，
∵∠B+∠BAD=180°，
∴x+180°-2x+60°+180°-2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠B=80°，
∴∠C=180°-80°=100°；
故选：B。
6．【答案】B
【解析】连接AB交OC于点D，
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∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，
∴点B的坐标是（3，-1）。
故选：B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】8
【解析】设对角线长分别是2a、2b，
菱形周长为20，则菱形边长是5，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴a2+b2=AB2，
菱形面积为24，即（2a）（2b）=24．
解得a=4，b=3，
所以对角线长为8，6。
故答案为：8。
8．【答案】∵△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴△AEF是等边三角形，∠B+∠BAD=180°，AB=AE，AF=AD，
∴∠EAF=60°，∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
设∠B=x，则∠BAD=180°-x，
∠BAE=∠DAF=180°-2x，
即180°-2x+180°-2x+60°=180°-x，
解得：x=80°，
∴∠BAD=180°-80°=100°。
9．【答案】∵花坛ABCD是菱形，
∴AD=CD=20m，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2DO，∠ADO= ∠ADC，
∵DE=CE，AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=CD，即△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=20m，∠ADC=60°，
∴∠ADO=30°，
∴Rt△ADO中，AO= AD=10m，
∴DO= ==10（m），
∴BD=2DO=20m，
∴S菱形ABCD= AC BD= ×20×20=200m2。
答：两条小路的长分别为20m、20m，菱形花坛的面积是200m2。
10．【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA= AC，OB= BD，AD∥BC，
∴∠AOB=90°，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC：∠BAD=1：2，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABO= ∠ABC=30°，
∴OA= AB，
∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴AB=BC=CD=DA=8cm，
∴OA=4cm，
∴AC=2OA=8cm，OB= OA=4cm，
∴BD=2OB=8cm，
∴菱形ABCD的面积= AC BD= ×8×8=32（cm2）。
11．【答案】（1）菱形各边长相等，边长为24cm，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=24厘米，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2））∵∠A=60°，AD=AB=24cm，
∴△ABD为等边三角形，故BD=24cm，
又∵VP=4cm/s
∴SP=VPt=4×12=48（cm），
∴P点到达D点，即M与D重合vQ=5cm/s，
SQ=VQt=5×12=60（cm），
∴N点在BD之中点，即BN=DN=12（cm），
∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形。
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人教版 八年级下册
18.2 菱形的性质
导入新课
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
有一个角是直角
有一组邻边相等
四边形
角的关系
边的关系
新课学习
菱形的性质
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
新课学习
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上。
新课学习
四、菱形的两条对角线互相平分；
三、菱形的两组对角分别相等；
二、菱形的两组对边分别相等；
五、菱形的邻角互补。
菱形的性质1：
一、菱形的两组对边分别平行；
新课学习
想一想：
猜想1：菱形的四条边相等．
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
如何证明？
A
B
C
D
O
新课学习
已知:如图四边形ABCD是菱形。
A
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(1)AB=BC=CD=DA
求证:
新课学习
已知:如图四边形ABCD是菱形。
A
B
C
D
O
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC，
DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC；
AC平分∠DAB和∠DCB
(2)AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
求证:
新课学习
菱形的性质2：
菱形的四条边都相等。
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA.
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC
新课学习
想一想
B
D
A
C
菱形是轴对称图形
观察菱形是轴对称图形吗
如果是，有几条对称轴
对称轴之间有什么位置关系
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
分析：=4
=4×OAOB =4× ×ACBD
新课学习
菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
C
B
D
A
O
= ACBD
由对角线计算面积公式
新课学习
例3：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，
沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长
（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点
后一位）.
A
B
C
D
O
新课学习
解：∵花坛ABCD是菱形，
A
B
C
D
O
∴AC⊥BD
∴ ∠ABO= ∠CBO= ∠ABC= ×60° =30°
在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10
BO== = 10
∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20m,BD=2BO=20 ≈34.64 m
花坛的面积 = ACBD=200 ≈346.4m2
知识巩固
1.如图，菱形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，E为AB中点。证明：F为AD中点。
分析：连接AC，根据CE⊥AB，且E为AB的中点，即可求证AC=BC，即可证明AC=CD，根据CF⊥AD即可证明F为AD的中点．
知识巩固
解：连接AC，
∵CE⊥AB，且E为AB的中点
∴△ACB为等腰三角形，即AC=BC，
∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CF⊥AD，
∴F为AD的中点。
知识巩固
2.求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。
分析：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，根据面积法即可计算斜边的高相等，即可解题。
知识巩固
解：菱形对角线互相垂直平分，
所以AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等，
即O到AB、BC、CD、DA的距离相等．
知识巩固
3.菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线的长．
（3）求菱形的面积．
分析：根据菱形的周长可以计算菱形的边长，根据菱形的边长和一条对角线长10cm可以判定△ABC为等边三角形，即可求得∠ABC的大小，进而在等边三角形中求得菱形另一条对角线长的一半，根据求的对角线长求菱形的面积，即可解题．
知识巩固
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，∠BAD=180°-60°=120°。
知识巩固
（2）在Rt△ABO中，已知AB=10cm，AO=×10cm=5cm，
则BO==5cm，
另一条对角线长为BD=2BO=10 cm。
（3）菱形的对角线长为10cm，10 cm，
则菱形面积S=10×10 cm2=50 cm2，
答：菱形的内角为60°，120°，菱形的另一条对角线长10 cm，菱形的面积为50 cm。
课堂小结
菱形的性质
菱形的两组对边分别平行且相等。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形的两条对角线互相平分；
菱形的两组对角分别相等；
菱形的邻角互补。
菱形的四条边都相等。
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
达标检测
1.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是（ ）
A．40 B．24 C．20 D．10
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
C
达标检测
2.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
分析：依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．
C
达标检测
3.如图所示，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE．求证：BE=AF。
分析：根据菱形的性质得出AB=AD，AD∥BC，得出∠EAD=∠AEB=∠ABE，设∠BAE=x，根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补列出方程求解得出∠BAE=36°，∠AEB=∠ABE=∠EAD=72°，求出∠BFE=∠AEB，即可得出结论．
达标检测
解：∵在菱形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠ADB，∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
∵∠EAD=2∠BAE．∴∠EAD=∠AEB=∠ABE，
设∠BAE=x，则∠EAD=∠AEB=∠ABE=2x，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE=180°，∴x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，∴∠BAE=36°，∠AEB=∠ABE=∠EAD=72°，
∴∠BAD=108°，∴∠ABD=（180°-108°）=36°，
∴∠BFE=36°+36°=72°=∠AEB，∴BE=AF．
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1.菱形ABCD中，AC=mAB，点M是射线CA上一点，点P是射线DA上一点，∠PMB=∠ABC．
（1）如图①，若m=1，请猜想AP，AB，AM的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②，若m≠1，请猜想AP、AB、AM的数量关系，并证明你的猜想．
拓展提升
解析：（1）AB=AM+AP；
理由：在AB上截取AN=AM，连接MN，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∵AB=AC，∴△是等边三角形，
∴∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，
∴AM=MN，∠AMN=60°，
∵∠PMB=60°，∴∠AMP=∠NMB，
在△APM与△BMN中，
∠PAM＝∠BNM＝120°；AM＝MN；∠AMP＝∠NMB，
∴△APM≌△NBM，∴BN=PA，
∵AB=AN+BN，∴AB=AM+AP；
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解析：AP-AB=mAM，
理由：在AP上截取AK=AB，连接KB，
∴AK=BC，AK∥BC，∴四边形AKBC是平行四边形，
∵∠AKB=∠ABK，∠ABK=∠BAC，
∴∠AKB=∠BAC，∴∠PKB=∠MAB，
∵∠PMB=∠ABC，∴∠PMB=∠PAB，
∵∠MOP=∠AOB，∴∠MPA=∠MBA，
∴点A，M，P，B四点共圆，
∴∠KPB=∠AMB，∴△PKB∽△AMB，
∴＝ ＝ ＝m，∴PK=mAM，∴AP-AK=AP-AB=mAM.
