湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 315.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-08 10:44:49 | ||
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文档简介
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
2．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2或﹣3
D．﹣2或﹣3
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
4．如图，给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（ ）
A．i≤2
021？
B．i≤2
019？
C．i≤2
017？
D．i≤2
015？
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是
（ ）
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A．1080
B．480
C．1560
D．300
9．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，
( http: / / www.21cnjy.com )生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12
000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7
000元，那么可产生的最大利润是（ ）
A．29
000元
B．31
000元
C．38
000元
D．45
000元
11．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．直线的倾斜角是 ．
14．已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ．
15．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是 ．
16．在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线的距离的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）
17．某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
（300，350]
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
2
4
5
9
4
3
3
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S=
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
18．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．
19．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水
( http: / / www.21cnjy.com )线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
产品重量（克）
频数
（490，495]
6
（495，500]
8
（500，505]
14
（505，510]
8
（510，515]
4
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上
( http: / / www.21cnjy.com )任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=
b=
不合格品
c=
d=
合 计
n=
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
20．如图所示，在四棱锥P
( http: / / www.21cnjy.com )﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：直线PA⊥平面PCD．
21．已知命题：“ x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．
【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是假命题，选项C错误；
￢q是真命题，选项D正确．
故选D．
2．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2或﹣3
D．﹣2或﹣3
【考点】两条直线平行的判定．
【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，
解得m=2或﹣3，
故选
C．
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．
【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；
B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；
C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；
D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；
故选C．
4．如图，给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（ ）
A．i≤2
021？
B．i≤2
019？
C．i≤2
017？
D．i≤2
015？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一次循环：i=2，S=0+，
第二循环：i=4，S=，
第三次循环：i=6，S=++，
…
依此类推，第1008次循环：i=2016，S=+++…+，
i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值，
所以i≤2017或i＜2017．，
故选：C．
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是
（ ）
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：
=46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得：∠AOB=90°．该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB．
【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l==，圆锥的高h==2，
圆锥底面半径为r==，∠AOB=90°．
故该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB
=Sh+=×+=，
故选：A．
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先根据变量ξ～B（2，p），且
( http: / / www.21cnjy.com )P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=，求出p的值，然后根据P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）求出所求．
【解答】解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，
∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣C20 （1﹣p）2=，
∴p=，
∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣C30（）0（）3
﹣ =1﹣﹣=，
故选：C．
8．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A．1080
B．480
C．1560
D．300
【考点】计数原理的应用．
【分析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本，再把这4组书分给4个人，利用乘法原理，即可得出结论．
【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．
若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有=20种不同的方法．
若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有 =45种不同的方法．
故所有的分组方法共有20+45=65种．
再把这4组书分给4个人，不同的方法有65=1560种，
故选：C．
9．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．
【解答】解：设P（x0，y0），
∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴F1（﹣4，0），F2（4，0），
=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），
∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①
又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②
联立①②，得：或，
∴使得成立的P点的个数为2个．
故选：C．
10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合
( http: / / www.21cnjy.com )肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12
000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7
000元，那么可产生的最大利润是（ ）
A．29
000元
B．31
000元
C．38
000元
D．45
000元
【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．
【分析】分别设出甲乙两种肥料的车皮
( http: / / www.21cnjy.com )数，根据两种原料必须同时够用列出不等式组，得到线性约束条件，列出利润与甲乙两种肥料车皮数的函数，利用线性规划知识求得利润的最大值．
【解答】解：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
由题意，得．
工厂的总利润z=12000x+7000y
由约束条件得可行域如图，
由，解得：，
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
故选：C．
11．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些
( http: / / www.21cnjy.com )数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．
【解答】解：
=（4+5+6+7+8+9）=，
=（90+84+83+80+75+68）=80
∵=﹣4x+a，
∴a=106，
∴回归直线方程=﹣4x+106；
数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．
6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．
其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
故这点恰好在回归直线右上方的概率P==．
故选：C．
12．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出f（x）的最小
( http: / / www.21cnjy.com )值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．
（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，
则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
故选A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．直线的倾斜角是 ．
【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．
【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】解：因为直线的斜率为：﹣，
所以tanα=﹣，
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：．
14．已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 24π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．
【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为2，
∴球的半径为，球的表面积是24π，
故答案为．
15．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是 ﹣15 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）进行求解即可
【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数
∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．
故答案为：﹣15
16．在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线的距离的最小值为 3 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】动圆截直线3x﹣
( http: / / www.21cnjy.com )y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8，4，利用点到直线的距离公式、垂径定理可得点P的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：如图所示，设点P（x，y），由条件可得，AB=4，EC=2
由点到直线的距离公式，垂径定理可得+16=+4，化简可得，xy=10．
∴点P的轨迹方程为xy=10．
动圆圆心P到直线的距离d=≥3，
∴动圆圆心P到直线的距离的最小值为3，
故答案为3．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）
17．某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
（300，350]
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
2
4
5
9
4
3
3
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S=
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失S大于200元且不超过600元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据以上数据估计该城
( http: / / www.21cnjy.com )市这30天空气质量指数API的平均值为
[25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]=；
（Ⅱ）由分段函数的表达式可知，若经济损失S大于200元且不超过600元，
则得200＜4w﹣400≤600，即600＜4w≤1000，
解得150＜w≤250，此时对应的天数为9+4=13，
则对应的概率P=．
18．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．
（2）由sinC=sin（B+A）
( http: / / www.21cnjy.com )，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．
【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4=a2+b2﹣ab，
∵=，化为ab=4．
联立，解得a=2，b=2．
（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，
2sinBcosA=4sinAcosA，
当cosA=0时，解得A=；
当cosA≠0时，sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
联立，解得，b=，
∴b2=a2+c2，
∴，
又，∴．
综上可得：A=或．
19．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流
( http: / / www.21cnjy.com )水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
产品重量（克）
频数
（490，495]
6
（495，500]
8
（500，505]
14
（505，510]
8
（510，515]
4
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流
( http: / / www.21cnjy.com )水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=
b=
不合格品
c=
d=
合 计
n=
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）计算甲样本中合格品数与频率，利用独立重复试验的概率公式计算EX的值；
（Ⅱ）计算乙流水线样本中不合格品数，求出Y的可能取值，写出Y的分布列；
（Ⅲ）填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
∴合格品的频率为=0.9，
由此可估计从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率为P=0.9；
则X～B（5，0.9），
∴EX=5×0.9=4.5；
（Ⅱ）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件，
则Y的取值为0，1，2；
且，
于是有：；
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
（Ⅲ）2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=36
b=30
66
不合格品
c=4
d=10
14
合 计
40
40
n=80
计算=＞2.706，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中
( http: / / www.21cnjy.com )，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：直线PA⊥平面PCD．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）证明CD⊥PA，PA⊥PD，运用线面垂直的定理可证明．
【解答】证明：（1）连结AC，则F也是AC的中点，
又E是PC的中点，∴EF∥PA，
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
∵PA 面PAD，∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD
21．已知命题：“ x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，
即m的取值范围就是函数y=x2﹣x在（﹣1，1）上的值域，易得．
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M N且M≠N
若M N，分以下几种情形研究；
①当a=1时，解集N为空集，不满足题意，
②当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a≤x＜a}，
则解得，且时，M≠N，故满足题意，
③当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x≤2﹣a}，
则，解得．
综上，或时，x∈N是x∈M的必要不充分条件．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】（1）联立直线l与直线
( http: / / www.21cnjy.com )y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，
( http: / / www.21cnjy.com )利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立得：，
解得：，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：
=2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
2017年3月7日
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
2．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2或﹣3
D．﹣2或﹣3
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
4．如图，给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（ ）
A．i≤2
021？
B．i≤2
019？
C．i≤2
017？
D．i≤2
015？
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是
（ ）
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A．1080
B．480
C．1560
D．300
9．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，
( http: / / www.21cnjy.com )生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12
000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7
000元，那么可产生的最大利润是（ ）
A．29
000元
B．31
000元
C．38
000元
D．45
000元
11．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．直线的倾斜角是 ．
14．已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ．
15．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是 ．
16．在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线的距离的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）
17．某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
（300，350]
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
2
4
5
9
4
3
3
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S=
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
18．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．
19．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水
( http: / / www.21cnjy.com )线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
产品重量（克）
频数
（490，495]
6
（495，500]
8
（500，505]
14
（505，510]
8
（510，515]
4
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上
( http: / / www.21cnjy.com )任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=
b=
不合格品
c=
d=
合 计
n=
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
20．如图所示，在四棱锥P
( http: / / www.21cnjy.com )﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：直线PA⊥平面PCD．
21．已知命题：“ x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．
【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是假命题，选项C错误；
￢q是真命题，选项D正确．
故选D．
2．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2或﹣3
D．﹣2或﹣3
【考点】两条直线平行的判定．
【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，
解得m=2或﹣3，
故选
C．
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．
【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；
B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；
C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；
D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；
故选C．
4．如图，给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（ ）
A．i≤2
021？
B．i≤2
019？
C．i≤2
017？
D．i≤2
015？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一次循环：i=2，S=0+，
第二循环：i=4，S=，
第三次循环：i=6，S=++，
…
依此类推，第1008次循环：i=2016，S=+++…+，
i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值，
所以i≤2017或i＜2017．，
故选：C．
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是
（ ）
A．46，45，56
B．46，45，53
C．47，45，56
D．45，47，53
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：
=46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得：∠AOB=90°．该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB．
【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l==，圆锥的高h==2，
圆锥底面半径为r==，∠AOB=90°．
故该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB
=Sh+=×+=，
故选：A．
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先根据变量ξ～B（2，p），且
( http: / / www.21cnjy.com )P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=，求出p的值，然后根据P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）求出所求．
【解答】解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，
∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣C20 （1﹣p）2=，
∴p=，
∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣C30（）0（）3
﹣ =1﹣﹣=，
故选：C．
8．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A．1080
B．480
C．1560
D．300
【考点】计数原理的应用．
【分析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本，再把这4组书分给4个人，利用乘法原理，即可得出结论．
【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．
若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有=20种不同的方法．
若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有 =45种不同的方法．
故所有的分组方法共有20+45=65种．
再把这4组书分给4个人，不同的方法有65=1560种，
故选：C．
9．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．
【解答】解：设P（x0，y0），
∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴F1（﹣4，0），F2（4，0），
=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），
∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①
又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②
联立①②，得：或，
∴使得成立的P点的个数为2个．
故选：C．
10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合
( http: / / www.21cnjy.com )肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12
000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7
000元，那么可产生的最大利润是（ ）
A．29
000元
B．31
000元
C．38
000元
D．45
000元
【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．
【分析】分别设出甲乙两种肥料的车皮
( http: / / www.21cnjy.com )数，根据两种原料必须同时够用列出不等式组，得到线性约束条件，列出利润与甲乙两种肥料车皮数的函数，利用线性规划知识求得利润的最大值．
【解答】解：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
由题意，得．
工厂的总利润z=12000x+7000y
由约束条件得可行域如图，
由，解得：，
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
故选：C．
11．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些
( http: / / www.21cnjy.com )数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．
【解答】解：
=（4+5+6+7+8+9）=，
=（90+84+83+80+75+68）=80
∵=﹣4x+a，
∴a=106，
∴回归直线方程=﹣4x+106；
数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．
6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．
其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
故这点恰好在回归直线右上方的概率P==．
故选：C．
12．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出f（x）的最小
( http: / / www.21cnjy.com )值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．
（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，
则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
故选A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．直线的倾斜角是 ．
【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．
【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】解：因为直线的斜率为：﹣，
所以tanα=﹣，
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：．
14．已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 24π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．
【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为2，
∴球的半径为，球的表面积是24π，
故答案为．
15．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是 ﹣15 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）进行求解即可
【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数
∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．
故答案为：﹣15
16．在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线的距离的最小值为 3 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】动圆截直线3x﹣
( http: / / www.21cnjy.com )y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8，4，利用点到直线的距离公式、垂径定理可得点P的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：如图所示，设点P（x，y），由条件可得，AB=4，EC=2
由点到直线的距离公式，垂径定理可得+16=+4，化简可得，xy=10．
∴点P的轨迹方程为xy=10．
动圆圆心P到直线的距离d=≥3，
∴动圆圆心P到直线的距离的最小值为3，
故答案为3．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）
17．某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
API
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，250]
（250，300]
（300，350]
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
2
4
5
9
4
3
3
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S=
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失S大于200元且不超过600元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据以上数据估计该城
( http: / / www.21cnjy.com )市这30天空气质量指数API的平均值为
[25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]=；
（Ⅱ）由分段函数的表达式可知，若经济损失S大于200元且不超过600元，
则得200＜4w﹣400≤600，即600＜4w≤1000，
解得150＜w≤250，此时对应的天数为9+4=13，
则对应的概率P=．
18．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．
（2）由sinC=sin（B+A）
( http: / / www.21cnjy.com )，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．
【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4=a2+b2﹣ab，
∵=，化为ab=4．
联立，解得a=2，b=2．
（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，
2sinBcosA=4sinAcosA，
当cosA=0时，解得A=；
当cosA≠0时，sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
联立，解得，b=，
∴b2=a2+c2，
∴，
又，∴．
综上可得：A=或．
19．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流
( http: / / www.21cnjy.com )水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
产品重量（克）
频数
（490，495]
6
（495，500]
8
（500，505]
14
（505，510]
8
（510，515]
4
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流
( http: / / www.21cnjy.com )水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=
b=
不合格品
c=
d=
合 计
n=
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）计算甲样本中合格品数与频率，利用独立重复试验的概率公式计算EX的值；
（Ⅱ）计算乙流水线样本中不合格品数，求出Y的可能取值，写出Y的分布列；
（Ⅲ）填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
∴合格品的频率为=0.9，
由此可估计从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率为P=0.9；
则X～B（5，0.9），
∴EX=5×0.9=4.5；
（Ⅱ）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件，
则Y的取值为0，1，2；
且，
于是有：；
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
（Ⅲ）2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
合计
合格品
a=36
b=30
66
不合格品
c=4
d=10
14
合 计
40
40
n=80
计算=＞2.706，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中
( http: / / www.21cnjy.com )，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：直线PA⊥平面PCD．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）证明CD⊥PA，PA⊥PD，运用线面垂直的定理可证明．
【解答】证明：（1）连结AC，则F也是AC的中点，
又E是PC的中点，∴EF∥PA，
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
∵PA 面PAD，∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD
21．已知命题：“ x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，
即m的取值范围就是函数y=x2﹣x在（﹣1，1）上的值域，易得．
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M N且M≠N
若M N，分以下几种情形研究；
①当a=1时，解集N为空集，不满足题意，
②当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a≤x＜a}，
则解得，且时，M≠N，故满足题意，
③当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x≤2﹣a}，
则，解得．
综上，或时，x∈N是x∈M的必要不充分条件．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】（1）联立直线l与直线
( http: / / www.21cnjy.com )y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，
( http: / / www.21cnjy.com )利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立得：，
解得：，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：
=2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
2017年3月7日