湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 315.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-08 10:43:22 | ||
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文档简介
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．i+2
B．i﹣2
C．﹣2﹣i
D．2﹣i
2．命题：“ x0∈R，”的否定为（ ）
A． x∈R，
B． x∈R，
C． x∈R，
D． x∈R，
3．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．y=2x或x﹣y+1=0
B．y=2x，x+y﹣3=0
C．x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
D．y=2x，或x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
5．某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：
广告费用x（万元）
3
4
5
销售额y（万元）
22
28
m
若已知回归直线方程为=9x﹣6，则表中m的值为（ ）
A．40
B．39
C．38
D．37
6．已知约束条件若目标函数z=x+ay（a≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜
B．a≥
C．a＞
D．0＜a＜
7．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）
A．24
B．20
C．0
D．﹣4
8．如图，给出的是计算×××…×的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是（ ）
A．i≤2017？
B．i＜2018？
C．i≤2015？
D．i≤2016？
9．“m=1”是“直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1
( http: / / www.21cnjy.com )，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为 ．
14．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法
( http: / / www.21cnjy.com )从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= ，y= ；
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．
15．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去
( http: / / www.21cnjy.com )掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为 ．
16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= ，b= ．
三、解答题（17小题10分，18-22小题每题12分；共70分）
17．我国是世界上严重缺水
( http: / / www.21cnjy.com )的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．
18．已知命题p： x∈R，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA
( http: / / www.21cnjy.com )⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
21．袋子中放有大小和形状相同的小
( http: / / www.21cnjy.com )球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
（I）求n的值；
（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．i+2
B．i﹣2
C．﹣2﹣i
D．2﹣i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】解：∵复数==﹣2﹣i，
∴共轭复数是﹣2+i
故选B．
2．命题：“ x0∈R，”的否定为（ ）
A． x∈R，
B． x∈R，
C． x∈R，
D． x∈R，
【考点】命题的否定．
【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．
【解答】解：命题：“ x0∈R，”的否定为“ x∈R，”，
故选：B
3．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求
【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]
“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件
A，则满足A的区间为[1，2]
根据几何概率的计算公式可得，
故选：B
4．经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．y=2x或x﹣y+1=0
B．y=2x，x+y﹣3=0
C．x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
D．y=2x，或x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】直线在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，有三种情况，一是过原点，二是斜率为1，三是斜率为﹣1，分别求解即可．
【解答】解：经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线：
当截距为0时，直线过原点：y=2x；
当斜率为1时，直线方程：x﹣y+1=0；
当斜率为﹣1时，直线方程：x+y﹣3=0．
综上所述，直线方程为y=2x或x+y﹣3=0或x﹣y+1=0．
故选D．
5．某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：
广告费用x（万元）
3
4
5
销售额y（万元）
22
28
m
若已知回归直线方程为=9x﹣6，则表中m的值为（ ）
A．40
B．39
C．38
D．37
【考点】线性回归方程．
【分析】求出数据中心（，），代入回归方程解出m．
【解答】解：由题意，回归方程过样本平均数点（，），可求出=4
代入得；
=36﹣6=30，
则30=，∴m=40．
故选：A．
6．已知约束条件若目标函数z=x+ay（a≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜
B．a≥
C．a＞
D．0＜a＜
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值的方法，利用直线斜率之间的关系，只需求出直线z=x+ay的斜率的取值范围即可．
【解答】解：画出已知约束条件的可行域为△ABC内部（包括边界），
如图，易知当a=0时，不符合题意；
当a＞0时，由目标函数z=x+ay得y=﹣x+，
则由题意得﹣3=kAC＜﹣＜0，故a＞．
综上所述，a＞．
故选C．
7．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）
A．24
B．20
C．0
D．﹣4
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了．
把垂足坐标代入第二条直线的方程可得
n，进而求得m﹣n+p的值．
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，
∴×=﹣1，
∴m=10，
直线mx+4y﹣2=0
即
5x+2y﹣1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1=0，∴p=﹣2．
把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，可得
n=﹣12，
∴m﹣n+p=20，
故选B．
8．如图，给出的是计算×××…×的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是（ ）
A．i≤2017？
B．i＜2018？
C．i≤2015？
D．i≤2016？
【考点】程序框图．
【分析】根据程序运行后输出的算式，分析倒数第一圈，即i=2016时满足条件，i=2018不满足循环条件；由此可得判断框内不能填入的选项．
【解答】解：∵程序运行后输出的是S=×××…×的值，
∴分析倒数第一圈，i=2016时，满足条件，执行循环S=×××…×，
i=i+2=2018，此时不满足条件，终止循环，输出S=×××…×的值；
∴判断框内能填入“i≤2017？”，“i＜2018？”，“i≤2016？”，
不能填入“i≤2015？”．
故选：C．
9．“m=1”是“直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据充分必要条件的定义，分别进行判断从而得到结论．
【解答】解：m=1时，直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0相互平行，是充分条件，
若直线mx+y+2=0与直线x+my+1﹣m=0相互平行，
则，解得：m=1，是必要条件，
故选：C．
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，根据三视图的数据，求出半圆锥和圆柱的体积，相加可得答案．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行；
B，垂直于同一平面的两条直线一定平行；
C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或
n β；
D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，
【解答】解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，故错；
对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；
对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或
n β，故错；
对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，故错，
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y
( http: / / www.21cnjy.com )1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轨迹方程．
【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），
由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．
当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；
当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；
当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；
当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；
当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；
当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．
结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为 5 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】利用空间中两点间的距离公式求解．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），
∴A，B两点间的距离：
|AB|==5，
故答案为：5．
14．为了对某课题进行研究
( http: / / www.21cnjy.com )，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= 1 ，y= 3 ；
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．
【考点】频率分布表．
【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．
【解答】解：由已知得，
解得x=1，y=3，
从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，
基本事件总数n==10，
这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，
∴这2人都来自高校C的概率：p=．
故答案为：1，3，．
15．将某选手的6个得分去掉1个最高分
( http: / / www.21cnjy.com )，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为 ．
【考点】茎叶图．
【分析】根据茎叶图求出平均数，即可计算方差的大小．
【解答】解：去掉最低分87，若x≥3，则90+x被去掉，
此时剩余的分数为90，90，91，93，平均数为91，
满足条件，
此时对应的方差为
[（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（93﹣91）2]=（1+1+4）=，
故答案为：．
16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= 1 ，b= 2 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），
∴，
解得a=1，b=2．
故答案为：1，2．
三、解答题（17小题10分，18-22小题每题12分；共70分）
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市
( http: / / www.21cnjy.com )为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08
( http: / / www.21cnjy.com )+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量=30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，
0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，
解得x=0.06；
∴中位数是2+0.06=2.06．
18．已知命题p： x∈R，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据p∨q为假命题，得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：p真：，∴…
q真：m﹣1＞3﹣m＞0∴2＜m＜3…6分
若p∨q为假命题，则…
∴实数m的取值范围是…
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，
( http: / / www.21cnjy.com )整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC
∴cosC=，
又0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab ，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P
( http: / / www.21cnjy.com )A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△
( http: / / www.21cnjy.com )PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN 平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF==2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=，
∴S△BCM===2，
∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．
21．袋子中放有大小和形状相同
( http: / / www.21cnjy.com )的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
（I）求n的值；
（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）利用从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，确定n的值．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球
( http: / / www.21cnjy.com )，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，
解得n=2．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．
②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事
( http: / / www.21cnjy.com )件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，
所以P（B）=1﹣．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】解：（1）由题意知b=，
=3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，联立①②解得a，c，；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；
【解答】解：（1）由题意知b=，
=3，所以a+c=3①，
又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：；
（2）由（1）知F1（﹣1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，
由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，
且，，
△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=
==12=，
又k2≥0，所以递增，
所以9+1+6=16，
所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，
所以△F2AB面积的最大值为3．
2017年3月7日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．i+2
B．i﹣2
C．﹣2﹣i
D．2﹣i
2．命题：“ x0∈R，”的否定为（ ）
A． x∈R，
B． x∈R，
C． x∈R，
D． x∈R，
3．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．y=2x或x﹣y+1=0
B．y=2x，x+y﹣3=0
C．x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
D．y=2x，或x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
5．某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：
广告费用x（万元）
3
4
5
销售额y（万元）
22
28
m
若已知回归直线方程为=9x﹣6，则表中m的值为（ ）
A．40
B．39
C．38
D．37
6．已知约束条件若目标函数z=x+ay（a≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜
B．a≥
C．a＞
D．0＜a＜
7．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）
A．24
B．20
C．0
D．﹣4
8．如图，给出的是计算×××…×的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是（ ）
A．i≤2017？
B．i＜2018？
C．i≤2015？
D．i≤2016？
9．“m=1”是“直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1
( http: / / www.21cnjy.com )，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为 ．
14．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法
( http: / / www.21cnjy.com )从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= ，y= ；
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．
15．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去
( http: / / www.21cnjy.com )掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为 ．
16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= ，b= ．
三、解答题（17小题10分，18-22小题每题12分；共70分）
17．我国是世界上严重缺水
( http: / / www.21cnjy.com )的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．
18．已知命题p： x∈R，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA
( http: / / www.21cnjy.com )⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
21．袋子中放有大小和形状相同的小
( http: / / www.21cnjy.com )球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
（I）求n的值；
（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．
2016-2017学年湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．复数的共轭复数是（ ）
A．i+2
B．i﹣2
C．﹣2﹣i
D．2﹣i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】解：∵复数==﹣2﹣i，
∴共轭复数是﹣2+i
故选B．
2．命题：“ x0∈R，”的否定为（ ）
A． x∈R，
B． x∈R，
C． x∈R，
D． x∈R，
【考点】命题的否定．
【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．
【解答】解：命题：“ x0∈R，”的否定为“ x∈R，”，
故选：B
3．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求
【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]
“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件
A，则满足A的区间为[1，2]
根据几何概率的计算公式可得，
故选：B
4．经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．y=2x或x﹣y+1=0
B．y=2x，x+y﹣3=0
C．x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
D．y=2x，或x+y﹣3=0，或x﹣y+1=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】直线在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，有三种情况，一是过原点，二是斜率为1，三是斜率为﹣1，分别求解即可．
【解答】解：经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线：
当截距为0时，直线过原点：y=2x；
当斜率为1时，直线方程：x﹣y+1=0；
当斜率为﹣1时，直线方程：x+y﹣3=0．
综上所述，直线方程为y=2x或x+y﹣3=0或x﹣y+1=0．
故选D．
5．某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：
广告费用x（万元）
3
4
5
销售额y（万元）
22
28
m
若已知回归直线方程为=9x﹣6，则表中m的值为（ ）
A．40
B．39
C．38
D．37
【考点】线性回归方程．
【分析】求出数据中心（，），代入回归方程解出m．
【解答】解：由题意，回归方程过样本平均数点（，），可求出=4
代入得；
=36﹣6=30，
则30=，∴m=40．
故选：A．
6．已知约束条件若目标函数z=x+ay（a≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜
B．a≥
C．a＞
D．0＜a＜
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值的方法，利用直线斜率之间的关系，只需求出直线z=x+ay的斜率的取值范围即可．
【解答】解：画出已知约束条件的可行域为△ABC内部（包括边界），
如图，易知当a=0时，不符合题意；
当a＞0时，由目标函数z=x+ay得y=﹣x+，
则由题意得﹣3=kAC＜﹣＜0，故a＞．
综上所述，a＞．
故选C．
7．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）
A．24
B．20
C．0
D．﹣4
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了．
把垂足坐标代入第二条直线的方程可得
n，进而求得m﹣n+p的值．
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，
∴×=﹣1，
∴m=10，
直线mx+4y﹣2=0
即
5x+2y﹣1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1=0，∴p=﹣2．
把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，可得
n=﹣12，
∴m﹣n+p=20，
故选B．
8．如图，给出的是计算×××…×的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是（ ）
A．i≤2017？
B．i＜2018？
C．i≤2015？
D．i≤2016？
【考点】程序框图．
【分析】根据程序运行后输出的算式，分析倒数第一圈，即i=2016时满足条件，i=2018不满足循环条件；由此可得判断框内不能填入的选项．
【解答】解：∵程序运行后输出的是S=×××…×的值，
∴分析倒数第一圈，i=2016时，满足条件，执行循环S=×××…×，
i=i+2=2018，此时不满足条件，终止循环，输出S=×××…×的值；
∴判断框内能填入“i≤2017？”，“i＜2018？”，“i≤2016？”，
不能填入“i≤2015？”．
故选：C．
9．“m=1”是“直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据充分必要条件的定义，分别进行判断从而得到结论．
【解答】解：m=1时，直线mx+y﹣2=0与直线x+my+1﹣m=0相互平行，是充分条件，
若直线mx+y+2=0与直线x+my+1﹣m=0相互平行，
则，解得：m=1，是必要条件，
故选：C．
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，根据三视图的数据，求出半圆锥和圆柱的体积，相加可得答案．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行；
B，垂直于同一平面的两条直线一定平行；
C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或
n β；
D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，
【解答】解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，故错；
对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；
对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或
n β，故错；
对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，故错，
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y
( http: / / www.21cnjy.com )1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轨迹方程．
【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），
由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．
当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；
当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；
当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；
当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；
当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；
当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．
结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为 5 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】利用空间中两点间的距离公式求解．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），
∴A，B两点间的距离：
|AB|==5，
故答案为：5．
14．为了对某课题进行研究
( http: / / www.21cnjy.com )，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= 1 ，y= 3 ；
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．
【考点】频率分布表．
【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．
【解答】解：由已知得，
解得x=1，y=3，
从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，
基本事件总数n==10，
这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，
∴这2人都来自高校C的概率：p=．
故答案为：1，3，．
15．将某选手的6个得分去掉1个最高分
( http: / / www.21cnjy.com )，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为 ．
【考点】茎叶图．
【分析】根据茎叶图求出平均数，即可计算方差的大小．
【解答】解：去掉最低分87，若x≥3，则90+x被去掉，
此时剩余的分数为90，90，91，93，平均数为91，
满足条件，
此时对应的方差为
[（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（93﹣91）2]=（1+1+4）=，
故答案为：．
16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= 1 ，b= 2 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），
∴，
解得a=1，b=2．
故答案为：1，2．
三、解答题（17小题10分，18-22小题每题12分；共70分）
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市
( http: / / www.21cnjy.com )为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08
( http: / / www.21cnjy.com )+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量=30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，
0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，
解得x=0.06；
∴中位数是2+0.06=2.06．
18．已知命题p： x∈R，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据p∨q为假命题，得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：p真：，∴…
q真：m﹣1＞3﹣m＞0∴2＜m＜3…6分
若p∨q为假命题，则…
∴实数m的取值范围是…
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，
( http: / / www.21cnjy.com )整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC
∴cosC=，
又0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab ，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P
( http: / / www.21cnjy.com )A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△
( http: / / www.21cnjy.com )PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN 平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF==2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=，
∴S△BCM===2，
∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．
21．袋子中放有大小和形状相同
( http: / / www.21cnjy.com )的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
（I）求n的值；
（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）利用从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，确定n的值．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球
( http: / / www.21cnjy.com )，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，
解得n=2．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．
②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事
( http: / / www.21cnjy.com )件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，
所以P（B）=1﹣．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】解：（1）由题意知b=，
=3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，联立①②解得a，c，；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；
【解答】解：（1）由题意知b=，
=3，所以a+c=3①，
又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：；
（2）由（1）知F1（﹣1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，
由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，
且，，
△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=
==12=，
又k2≥0，所以递增，
所以9+1+6=16，
所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，
所以△F2AB面积的最大值为3．
2017年3月7日