湖北省武汉二中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级
( http: / / www.21cnjy.com )有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（　　）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3
B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
3．设f（x）是区间[a，b]上的函数，如
( http: / / www.21cnjy.com )果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f（x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（　　）
A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）
B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）
C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）
D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）
4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（　　）组．
A．4
B．8
C．9
D．27
6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；
③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β
其中真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（　　）条件．
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分也非必要
8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线
( http: / / www.21cnjy.com )条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（　　）条．
A．40
B．60
C．80
D．120
10．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣2]
B．[﹣2，﹣1]
C．[﹣4，﹣1]
D．
11．如图，在四棱锥P﹣A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
　
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为　　．
14．我校篮球队曾多次获得全国中学
( http: / / www.21cnjy.com )生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为　　．
15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C
( http: / / www.21cnjy.com )1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为　　．
16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的两点
( http: / / www.21cnjy.com )，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=　　．
　
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）
17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）
18．已知命题p：不等式x
( http: / / www.21cnjy.com )2﹣ax﹣8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．
（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．
（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．
19．我国是世界上严重缺
( http: / / www.21cnjy.com )水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（1）求证：PD⊥PB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先
( http: / / www.21cnjy.com )多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：
（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；
（2）恰好比赛四局结束的概率；
（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．
22．已知椭圆C：
+=1
（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；
（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．
　
2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年
( http: / / www.21cnjy.com )级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．
【解答】解：∵高一年级有30名，
在高一年级的学生中抽取了6名，
故每个个体被抽到的概率是=
∵高二年级有40名，
∴要抽取40×=8，
故选：B．
　
2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（　　）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3
B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
【考点】四种命题．
【分析】若原命题是“若p，则q”的
( http: / / www.21cnjy.com )形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．
【解答】解：根据四种命题的定义，
命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是
“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”
故选A
　
3．设f（x）是区间[a，b]上的函数，
( http: / / www.21cnjy.com )如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f（x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（　　）
A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）
B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）
C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）
D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由已知中关于升函数的定义，结合全称命题否定的方法，可得答案．
【解答】解：若f（x）是[a，b]上的升函数，
则对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f（x）≤f（y），
故若f（x）是[a，b]上的非升函数，
则存在a≤x＜y≤b的x，y，使得f（x）＞f（y），
故选：A．
　
4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
　
5．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（　　）组．
A．4
B．8
C．9
D．27
【考点】并集及其运算．
【分析】根据当A= ，A={a}，A
( http: / / www.21cnjy.com )={b}，A={c}，A={a，b}，A={a，c}，A={b，c}，A={a，b，c}等种情况分类讨论，能求出满足条件的组合（A，B）共有多少组．
【解答】解：∵集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，
∴当A= 时，B={a，b，c}；
当A={a}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{b，c}；
当A={b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}；
当A={c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}；
当A={a，b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{c}；
当A={a，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}，{b，c}，{b}；
当A={b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{a，b}，{a}；
当A={a，b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{a，b}，{a}，{b}，{c}， ．
∴满足条件的组合（A，B）共有27组．
故选：D．
　
6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；
③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β
其中真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对3个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确；
②若m β，n是l在β内的射影，m⊥n，则根据三垂线定理可得m⊥l，正确；
③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β或α，β相交，不正确．
故选C．
　
7．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（　　）条件．
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分也非必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】对a分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：a=﹣2时，两条直线分别化为：﹣6y+1=0，﹣4x﹣3=0，此时两条直线相互垂直，满足条件；
a=0时，两条直线分别化为：2x+1=0，﹣2x+2y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去；
a≠﹣2或0时，由“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”，可得：﹣×=﹣1，解得a=．
∴“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
　
8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，求出AP长度，即可得出结论．
【解答】解：△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，
设AC长为1，则AB=2，AP=
∴满足∠ACP≤30°的概率为=，
故选C．
　
9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面
( http: / / www.21cnjy.com )的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（　　）条．
A．40
B．60
C．80
D．120
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【分析】由题意，从A到C最短路
( http: / / www.21cnjy.com )径有C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，即可求出它可以爬行的不同的最短路径．
【解答】解：由题意，从A到C最短路径有
( http: / / www.21cnjy.com )C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，∴它可以爬行的不同的最短路径有10×6=60条，
故选B．
　
10．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣2]
B．[﹣2，﹣1]
C．[﹣4，﹣1]
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意设出椭圆的某弦的两个端点分
( http: / / www.21cnjy.com )别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．
【解答】解：设椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），
则，，
两式作差可得：，
即=，
由题意可知，
y0≤1，
∴k=（y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．
故选：A．
　
11．如图，在四棱锥P﹣AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到直线AB的最短距离．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（2，0，2），C（0，4，0），
设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，则=（2﹣a，﹣b，2），=（﹣a，4﹣b，0），
∵，
∴=﹣2a+a2﹣4b+b2=（a﹣1）2+（b﹣2）2=5，
∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r=为半径的圆上的一个动点，
∴点M到直线AB的最短距离为：4﹣1﹣=3﹣．
故选：C．
　
12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设弦AB的中点为（m，n），双
( http: / / www.21cnjy.com )曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到．
【解答】解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，
由e=2，即c=2a，b=a．
直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，
可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，
即为（3a2﹣a2k2）x2+4a3k2x﹣4a4k2﹣3a4=0，
x1+x2=．
则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x1﹣）+2（x2﹣）=2（x1+x2）﹣2a=8，
即有2 =8+2a，即=8，①
则m=，n=k（m﹣2a）=，
弦AB的中垂线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），
可得P（，0），
则|PF|=|﹣2a|=||，
由①可得，|PF|=8．
故选C．
　
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为　31032（5）　．
【考点】进位制．
【分析】先求出4034与10085的最大
( http: / / www.21cnjy.com )公约数．再用这个数值除以5，得到商和余数．再用商除以5，得到余数和商，再用商除以5，得到商是0，这样把余数倒序写起来就得到所求的结果．
【解答】解：10085=4034×2+2017，4034=2017×2
∴4034与10085的最大公约数就是2017．
又∵2017÷5=403…2
403÷5=80…3，
80÷5=16…0，
16÷5=3…1，
3÷5=0…3，
∴将十进制数2017化为五进制数是31032（5），
故答案为：31032（5）
　
14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠
( http: / / www.21cnjy.com )军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为　　．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=，再求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数m=，由此能求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率．
【解答】解：包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，
基本事件总数n=，
我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数为：
m=，
∴我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率：
p===．
故答案为：．
　
15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D
( http: / / www.21cnjy.com )1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为　　．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】建立如图所示的坐标系，求出=（3，1，0），=（﹣3，2，），即可求出异面直线AC与BD1所成角的余弦值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D1（0，2，），
∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），
∴异面直线AC与BD1所成角的余弦值为||=，
故答案为：．
　
16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的
( http: / / www.21cnjy.com )两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=　　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，
作AA′⊥l（l为抛物线的准线），则|AA′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，
|A′B′|=|AD|=a．△CA′A∽△CB′B，可得=，
CA=AB=a，
做FH⊥AB于H，△ABF三边长为a，3a，
a，
∴|FH|=a，|AH|=a，
∴tanC===，
故答案为．
　
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）
17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】（1）根据题意，分2步进行
( http: / / www.21cnjy.com )分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）由题意，能被3整除的且没有重复
( http: / / www.21cnjy.com )数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，
②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有种方法，
故可以组成没有重复数字的三位数共有个；
（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．
分4种情况讨论：
①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；
②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；
③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；
④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；
共有个被3整除的没有重复数字的三位数，
（3）根据题意，144=24×32，
则144的所有正约数的和为．
　
18．已知命题p：不等式x2﹣ax﹣8
( http: / / www.21cnjy.com )＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．
（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．
（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得a的取值范围．
（2）根据命题p、q、r恰有两个是真命题，可得满足条件的实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若命题p为真命题，则对任意实数x∈[2，4]恒成立
∴，即a＜﹣2．…
若命题q为真命题，则，
∴
又∵p∧q为真命题，
∴命题p，q均为真命题，
∴﹣3≤a＜﹣2…..
即a的取值范围为[﹣3，﹣2）…
（2）若不等式ax2+2x﹣1＞0有解，则
当a＞0时，显然有解；当a=0时，ax2+2x﹣1＞0有解；
当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，
∴不等式ax2+2x﹣1＞0有解等价于a＞﹣1，…
∴若命题p、q、r恰有两个是真命题，
则必有﹣3≤a＜﹣2或﹣1＜a＜1
即a的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）．…
　
19．我国是世界上严重缺水的
( http: / / www.21cnjy.com )国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．
【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，
∴a=0.3；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；
月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；
则x=2.5+0.5×=2.9吨
　
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（1）求证：PD⊥PB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】（1）推导出PD⊥AB，PD⊥PA，从而PD⊥面PAB，由此能证明PD⊥PB．
（2）取AD中点为O，连结CO，PO，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），利用向量法能求出存在M点，即当时，M点即为所求．
【解答】证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB
又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，
∴PD⊥PB．…
解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，
∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD
以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
则=（1，1，﹣1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（﹣2，﹣1，0）．
设=（x，y，z）为面PDC的法向量，
则，取x=1，得=（1，﹣2，2），
设PB与面PCD所成角为θ，
则sinθ==，
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…
（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），
由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），，
B（1，1，0），，
∴，
∵BM∥面PCD，为PCD的法向量，∴
即∴
综上所述，存在M点，即当时，M点即为所求．…
　
21．甲乙两人下棋比赛，规
( http: / / www.21cnjy.com )定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：
（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；
（2）恰好比赛四局结束的概率；
（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，由此能求出比赛两局就结束且甲获胜的概率．
（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，由此能求出恰好比赛四局结束的概率．
（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局
( http: / / www.21cnjy.com )比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．由此能求出甲获胜的概率．
【解答】解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，
∴比赛两局就结束且甲获胜的概率为；…
（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，
∴恰好比赛四局结束的概率为；…
（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，
第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，
或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，
第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．
∴在整个比赛过程中，甲获胜的概率为．…
　
22．已知椭圆C：
+=1
（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；
（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由已知，，又a2=b2+c2，解出即可得出．
（2）设直线l的方程为y=2x+t，则，可得，根据OP⊥OQ，可得kOP kOQ=﹣1，解出即可得出．
（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（
( http: / / www.21cnjy.com )x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，与椭圆方程联立化为（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，利用根与系数的关系可得：为定值5．
【解答】解：（1）由已知，，又a2=b2+c2，解得，
∴椭圆的方程为．…
（2）设直线l的方程为y=2x+t，则由，可得，
即
∵OP⊥OQ，∴，
∴直线l的方程为y=2x±2即2x﹣y±2=0．…
（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，
联立椭圆方程得：
（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，∴…
=…
∴当且仅当32﹣8m2=2m2+8即时（定值）．
即
在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或．
经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．…
　
2017年3月8日