福建省漳州市龙海市程溪中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 福建省漳州市龙海市程溪中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 385.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-08 15:29:31 | ||
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文档简介
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：“ x＞0，x2﹣x≥0”的否定形式是（ ）
A． x≤0，x2﹣x＞0
B． x＞0，x2﹣x≤0
C． x≤0，x2﹣x＞0
D． x＞0，x2﹣x＜0
2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是（ ）
A．2，4，6，8
B．2，6，10，14
C．2，7，12，17
D．5，8，9，14
3．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln
2
B．2﹣ln
2
C．4﹣ln
2
D．4﹣2ln
2
4．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．
D．
5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（ ）
A．
﹣+
B．﹣++
C．
D．
7．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．22
B．46
C．94
D．190
8．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
10．如果双曲线的离心率等于2，则实数m等于（ ）
A．6
B．14
C．4
D．8
11．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图
( http: / / www.21cnjy.com )的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣
( http: / / www.21cnjy.com )，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
f（﹣）＜f（﹣）
B．
f（）＜f（）
C．f（0）＞2f（）
D．f（0）＞f（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．由定积分的几何意义可知dx= ．
14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是 ．
15．椭圆+y2=1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线方程是 ．
16．已知方程﹣=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
18．已知函数f（x）=2x3+3x2﹣12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．
20．某校从高二年级学生中随机抽取40名学
( http: / / www.21cnjy.com )生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40
( http: / / www.21cnjy.com )，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
21．围建一个面积为360m2的矩形场
( http: / / www.21cnjy.com )地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
22．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点
M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：“ x＞0，x2﹣x≥0”的否定形式是（ ）
A． x≤0，x2﹣x＞0
B． x＞0，x2﹣x≤0
C． x≤0，x2﹣x＞0
D． x＞0，x2﹣x＜0
【考点】命题的否定．
【分析】通常像“所有”、“任意”、
( http: / / www.21cnjy.com )“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意x”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“ x”表示“存在x”．
【解答】解：命题p： x∈R，x2﹣x≥0的否定形式是特称命题；
“ x∈R，x2﹣x＜0”．
故选：D
2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是（ ）
A．2，4，6，8
B．2，6，10，14
C．2，7，12，17
D．5，8，9，14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义确定样本数据的组距即可得到结论．
【解答】解：从20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，则组距为20÷4=5，
则4个号码差距为5．
则满足条件的号码可能是2，7，12，17．
故选：C．
3．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln
2
B．2﹣ln
2
C．4﹣ln
2
D．4﹣2ln
2
【考点】定积分．
【分析】先联立两个曲线的方程，求出
( http: / / www.21cnjy.com )交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．
【解答】解：由曲线y=与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2，
故所求图形的面积为S=（x﹣1﹣）dx=（x2﹣x﹣2lnx）|=4﹣2ln2．
故选：C．
4．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为
x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选C．
5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】依题意，可求得f′（x），由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x﹣=，
令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1，
∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1），
故选：A．
6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（ ）
A．
﹣+
B．﹣++
C．
D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．
【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
所以=．
所以=．
故选B．
7．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．22
B．46
C．94
D．190
【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
i
S
是否继续循环
循环前
1
1/
第一圈
2
4
是
第二圈
3
10
是
第三圈
4
22
是
第四圈
5
46
是
第五圈
6
94
否
故输入的S值为94
故选C．
8．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则，
即，
解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，
故选：C
9．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，由于逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，即可判断出；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，即可判断出．
【解答】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
10．如果双曲线的离心率等于2，则实数m等于（ ）
A．6
B．14
C．4
D．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】直接求出双曲线的实轴长，焦距的长，然后利用双曲线的离心率，求出m值．
【解答】解：因为双曲线为，所以2a=2，b=，
所以c=，因为双曲线的离心率等于2，
所以2=，所以m=6．
故选A．
11．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两
( http: / / www.21cnjy.com )个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】点P与点O的距离小
( http: / / www.21cnjy.com )于3cm，也就是说以O点为圆心，3CM为半径作一个圆，这个圆的面积减去小圆的面积就是点P与点O的距离小于3cm的机会（一个圆环的面积），而P可能落在的面积为大圆面积减小圆面积，也就是整个圆环的面积，点P与点O距离小于3cm的概率=小圆环的面积：大圆环的面积．
【解答】解：如图所示，
S大圆环=42π﹣22π=12π，
S小圆环=32π﹣22π=5π，
所以，点P与点O距离小于3cm的概率==．
故选B．
12．已知函数y=f（x
( http: / / www.21cnjy.com )）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
f（﹣）＜f（﹣）
B．
f（）＜f（）
C．f（0）＞2f（）
D．f（0）＞f（）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，
则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，
则g（﹣）＜g（﹣），即，
∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．
g（0）＜g（），即，
∴f（0）＜2f（），
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．由定积分的几何意义可知dx= 2π ．
【考点】定积分．
【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．
【解答】解：根据定积分的几何意义，则
dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，
故
dx=×π×22=2π．
故答案为：2π．
14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是 [1，3] ．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出．
【解答】解：p：（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3．
q：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤﹣3．
命题“p∧q”为真，∴，解得1≤x≤3．
则实数x的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．
15．椭圆+y2=1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线方程是 x+2y﹣2=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】判断M在椭圆内，设弦AB的端点
( http: / / www.21cnjy.com )为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，再由点斜式方程，即可得到所求方程．
【解答】解：由M点代入椭圆方程可得，
+＜1，
即M在椭圆内，则直线与椭圆相交．
设弦AB的端点为（x1，y1），（x2，y2），
即有+y12=1，
+y22=1，
两式相减可得，
+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
由中点坐标公式可得，x1+x2=2，y1+y2=1，
代入上式，可得kAB==﹣=﹣，
即有弦所在的直线方程为y﹣=﹣（x﹣1），
即为x+2y﹣2=0．
故答案为：x+2y﹣2=0．
16．已知方程﹣=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是 （0，） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由方程﹣=0得a=，x≠0；再令f（x）=，从而求导f′（x）=以确定函数的单调性及取值，从而确定a的取值范围．
【解答】解：由方程﹣=0得，
a=，x≠0；
令f（x）=，
则f′（x）=；
故f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，且f（x）＜f（1）=；
在（1，+∞）上是减函数，且0＜f（x）＜；
故若方程﹣=0有两个不等的非零根，
则a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】（1）根据表中所给的数据，做出
( http: / / www.21cnjy.com )横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05．试预测加工10个零件需要8.05个小时，这是一个预报值．
【解答】解：（1）由表中数据得：
xiyi=52.5，
=3.5，
=3.5，
xi2=54．
∴b==0.7
故a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05．
（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴试预测加工10个零件需要8.05个小时．
18．已知函数f（x）=2x3+3x2﹣12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数在x=0的导数值，就是切线的斜率，利用点斜式求解曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）利用函数的导数为0，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的极值．
【解答】（本小题满分12分）
解：f′（x）=6x2+6x﹣12…
（Ⅰ）依题意可知：k=f′（x）|x=0=﹣12…
∴切线方程为：y﹣5=﹣12x
即12x+y﹣5=0…
（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=﹣2，x2=1…
x
（﹣∞，﹣2）
﹣2
（﹣2，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
+
f（x）
↑
极大值25
↓
极小值﹣2
↑
…
∴f（x）的极大值为f（﹣2）=25，极小值为f（1）=﹣2…
19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．
【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法
向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
对于（3）求点A到平面MCN的距离
( http: / / www.21cnjy.com )，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．
几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面
( http: / / www.21cnjy.com )角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．
（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．
【解答】解：法一向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，
由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：，
∴，
设平面的PBC的法向量为，
则有：
令z=1，则，
∴，
又MQ 平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为，又
则有：
令z=1，则，
又为平面ABCD的法向量，
∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，
（3）∵，∴所求的距离；
法二，几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ 平面PCB，CN 平面PCB，∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，
所以：，
所以：；
（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，
由（2）知：MN⊥平面QEF，则平面
( http: / / www.21cnjy.com )MCNQ⊥平面QEF且交线为QF，作EH⊥QF，垂足为H，则EH⊥平面MCNQ，故EH即为点E到平面MCN的距离．
．
20．某校从高二年级学生中随机抽取40
( http: / / www.21cnjy.com )名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，5
( http: / / www.21cnjy.com )0）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（1）根据阴影矩形的面积之和等于1，计算a的值；
（2）首先计算成绩不低于60分的频率，即后四个小矩形的面积和，然后用640×频率计算人数；
（3）若两名学生的学生成绩之差的绝对值
( http: / / www.21cnjy.com )不大于10，即两人是同一组的学生，那么首先计算两组的人数，并编号，并以编号的形式列出所有选取2人的基本事件的个数，同时计算同一组的两个人的所有基本事件的个数，最后相除得到概率．
【解答】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于6的频率为
1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，
可估计该校高一年级数学成绩不低于6的人数约为640×0.85=544人．
（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．
如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：
（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
所以所求概率为P（M）=．
21．围建一个面积为360m2的矩形场地，
( http: / / www.21cnjy.com )要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【考点】函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（I）设矩形的另一边
( http: / / www.21cnjy.com )长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x﹣2）+180 2a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得，
所以．
（II）因为x＞0，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
22．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点
M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系可得|MN|=，点A到直线MN的距离d．利用△AMN的面积==|MN|，解出即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b=．
∴椭圆C的标准方程为：
=1，其焦点坐标为：．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，
化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，
△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|=
==．
点A到直线MN的距离d=．
∴△AMN的面积==|MN|=，
化为：20k4﹣7k2﹣13=0，
解得k2=1，解得k=±1．
2017年3月8日
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：“ x＞0，x2﹣x≥0”的否定形式是（ ）
A． x≤0，x2﹣x＞0
B． x＞0，x2﹣x≤0
C． x≤0，x2﹣x＞0
D． x＞0，x2﹣x＜0
2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是（ ）
A．2，4，6，8
B．2，6，10，14
C．2，7，12，17
D．5，8，9，14
3．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln
2
B．2﹣ln
2
C．4﹣ln
2
D．4﹣2ln
2
4．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．
D．
5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（ ）
A．
﹣+
B．﹣++
C．
D．
7．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．22
B．46
C．94
D．190
8．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
10．如果双曲线的离心率等于2，则实数m等于（ ）
A．6
B．14
C．4
D．8
11．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图
( http: / / www.21cnjy.com )的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣
( http: / / www.21cnjy.com )，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
f（﹣）＜f（﹣）
B．
f（）＜f（）
C．f（0）＞2f（）
D．f（0）＞f（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．由定积分的几何意义可知dx= ．
14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是 ．
15．椭圆+y2=1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线方程是 ．
16．已知方程﹣=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
18．已知函数f（x）=2x3+3x2﹣12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．
20．某校从高二年级学生中随机抽取40名学
( http: / / www.21cnjy.com )生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40
( http: / / www.21cnjy.com )，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
21．围建一个面积为360m2的矩形场
( http: / / www.21cnjy.com )地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
22．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点
M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：“ x＞0，x2﹣x≥0”的否定形式是（ ）
A． x≤0，x2﹣x＞0
B． x＞0，x2﹣x≤0
C． x≤0，x2﹣x＞0
D． x＞0，x2﹣x＜0
【考点】命题的否定．
【分析】通常像“所有”、“任意”、
( http: / / www.21cnjy.com )“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意x”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“ x”表示“存在x”．
【解答】解：命题p： x∈R，x2﹣x≥0的否定形式是特称命题；
“ x∈R，x2﹣x＜0”．
故选：D
2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是（ ）
A．2，4，6，8
B．2，6，10，14
C．2，7，12，17
D．5，8，9，14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义确定样本数据的组距即可得到结论．
【解答】解：从20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，则组距为20÷4=5，
则4个号码差距为5．
则满足条件的号码可能是2，7，12，17．
故选：C．
3．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2ln
2
B．2﹣ln
2
C．4﹣ln
2
D．4﹣2ln
2
【考点】定积分．
【分析】先联立两个曲线的方程，求出
( http: / / www.21cnjy.com )交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．
【解答】解：由曲线y=与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2，
故所求图形的面积为S=（x﹣1﹣）dx=（x2﹣x﹣2lnx）|=4﹣2ln2．
故选：C．
4．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为
x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选C．
5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】依题意，可求得f′（x），由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x﹣=，
令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1，
∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1），
故选：A．
6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（ ）
A．
﹣+
B．﹣++
C．
D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．
【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
所以=．
所以=．
故选B．
7．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．22
B．46
C．94
D．190
【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
i
S
是否继续循环
循环前
1
1/
第一圈
2
4
是
第二圈
3
10
是
第三圈
4
22
是
第四圈
5
46
是
第五圈
6
94
否
故输入的S值为94
故选C．
8．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则，
即，
解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，
故选：C
9．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，由于逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，即可判断出；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，即可判断出．
【解答】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
10．如果双曲线的离心率等于2，则实数m等于（ ）
A．6
B．14
C．4
D．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】直接求出双曲线的实轴长，焦距的长，然后利用双曲线的离心率，求出m值．
【解答】解：因为双曲线为，所以2a=2，b=，
所以c=，因为双曲线的离心率等于2，
所以2=，所以m=6．
故选A．
11．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两
( http: / / www.21cnjy.com )个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】点P与点O的距离小
( http: / / www.21cnjy.com )于3cm，也就是说以O点为圆心，3CM为半径作一个圆，这个圆的面积减去小圆的面积就是点P与点O的距离小于3cm的机会（一个圆环的面积），而P可能落在的面积为大圆面积减小圆面积，也就是整个圆环的面积，点P与点O距离小于3cm的概率=小圆环的面积：大圆环的面积．
【解答】解：如图所示，
S大圆环=42π﹣22π=12π，
S小圆环=32π﹣22π=5π，
所以，点P与点O距离小于3cm的概率==．
故选B．
12．已知函数y=f（x
( http: / / www.21cnjy.com )）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
f（﹣）＜f（﹣）
B．
f（）＜f（）
C．f（0）＞2f（）
D．f（0）＞f（）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，
则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，
则g（﹣）＜g（﹣），即，
∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．
g（0）＜g（），即，
∴f（0）＜2f（），
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．由定积分的几何意义可知dx= 2π ．
【考点】定积分．
【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．
【解答】解：根据定积分的几何意义，则
dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，
故
dx=×π×22=2π．
故答案为：2π．
14．已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是 [1，3] ．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出．
【解答】解：p：（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3．
q：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤﹣3．
命题“p∧q”为真，∴，解得1≤x≤3．
则实数x的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．
15．椭圆+y2=1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线方程是 x+2y﹣2=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】判断M在椭圆内，设弦AB的端点
( http: / / www.21cnjy.com )为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，再由点斜式方程，即可得到所求方程．
【解答】解：由M点代入椭圆方程可得，
+＜1，
即M在椭圆内，则直线与椭圆相交．
设弦AB的端点为（x1，y1），（x2，y2），
即有+y12=1，
+y22=1，
两式相减可得，
+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
由中点坐标公式可得，x1+x2=2，y1+y2=1，
代入上式，可得kAB==﹣=﹣，
即有弦所在的直线方程为y﹣=﹣（x﹣1），
即为x+2y﹣2=0．
故答案为：x+2y﹣2=0．
16．已知方程﹣=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是 （0，） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由方程﹣=0得a=，x≠0；再令f（x）=，从而求导f′（x）=以确定函数的单调性及取值，从而确定a的取值范围．
【解答】解：由方程﹣=0得，
a=，x≠0；
令f（x）=，
则f′（x）=；
故f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，且f（x）＜f（1）=；
在（1，+∞）上是减函数，且0＜f（x）＜；
故若方程﹣=0有两个不等的非零根，
则a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】（1）根据表中所给的数据，做出
( http: / / www.21cnjy.com )横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05．试预测加工10个零件需要8.05个小时，这是一个预报值．
【解答】解：（1）由表中数据得：
xiyi=52.5，
=3.5，
=3.5，
xi2=54．
∴b==0.7
故a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05．
（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴试预测加工10个零件需要8.05个小时．
18．已知函数f（x）=2x3+3x2﹣12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数在x=0的导数值，就是切线的斜率，利用点斜式求解曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）利用函数的导数为0，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的极值．
【解答】（本小题满分12分）
解：f′（x）=6x2+6x﹣12…
（Ⅰ）依题意可知：k=f′（x）|x=0=﹣12…
∴切线方程为：y﹣5=﹣12x
即12x+y﹣5=0…
（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=﹣2，x2=1…
x
（﹣∞，﹣2）
﹣2
（﹣2，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
+
f（x）
↑
极大值25
↓
极小值﹣2
↑
…
∴f（x）的极大值为f（﹣2）=25，极小值为f（1）=﹣2…
19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．
【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法
向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
对于（3）求点A到平面MCN的距离
( http: / / www.21cnjy.com )，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．
几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面
( http: / / www.21cnjy.com )角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．
（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．
【解答】解：法一向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，
由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：，
∴，
设平面的PBC的法向量为，
则有：
令z=1，则，
∴，
又MQ 平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为，又
则有：
令z=1，则，
又为平面ABCD的法向量，
∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，
（3）∵，∴所求的距离；
法二，几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ 平面PCB，CN 平面PCB，∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，
所以：，
所以：；
（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，
由（2）知：MN⊥平面QEF，则平面
( http: / / www.21cnjy.com )MCNQ⊥平面QEF且交线为QF，作EH⊥QF，垂足为H，则EH⊥平面MCNQ，故EH即为点E到平面MCN的距离．
．
20．某校从高二年级学生中随机抽取40
( http: / / www.21cnjy.com )名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，5
( http: / / www.21cnjy.com )0）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（1）根据阴影矩形的面积之和等于1，计算a的值；
（2）首先计算成绩不低于60分的频率，即后四个小矩形的面积和，然后用640×频率计算人数；
（3）若两名学生的学生成绩之差的绝对值
( http: / / www.21cnjy.com )不大于10，即两人是同一组的学生，那么首先计算两组的人数，并编号，并以编号的形式列出所有选取2人的基本事件的个数，同时计算同一组的两个人的所有基本事件的个数，最后相除得到概率．
【解答】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于6的频率为
1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，
可估计该校高一年级数学成绩不低于6的人数约为640×0.85=544人．
（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．
如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：
（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
所以所求概率为P（M）=．
21．围建一个面积为360m2的矩形场地，
( http: / / www.21cnjy.com )要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【考点】函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（I）设矩形的另一边
( http: / / www.21cnjy.com )长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x﹣2）+180 2a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得，
所以．
（II）因为x＞0，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
22．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点
M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系可得|MN|=，点A到直线MN的距离d．利用△AMN的面积==|MN|，解出即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b=．
∴椭圆C的标准方程为：
=1，其焦点坐标为：．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，
化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，
△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|=
==．
点A到直线MN的距离d=．
∴△AMN的面积==|MN|=，
化为：20k4﹣7k2﹣13=0，
解得k2=1，解得k=±1．
2017年3月8日