云南省昭通市云天化中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．直线x=1的倾斜角是（　　）
A．0
B．
C．
D．不存在
2．高二某班共有学生56人，座号分别为1
( http: / / www.21cnjy.com )，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）
A．30
B．31
C．32
D．33
3．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在等差数列{an}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（　　）
A．﹣14
B．﹣7
C．7
D．14
5．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（　　）
A．22
B．46
C．94
D．190
6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（　　）
A．6π+12
B．6π+24
C．12π+12
D．24π+12
7．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委
( http: / / www.21cnjy.com )打的分数，用茎叶图表示（如图）s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（　　）
A．s1＞s2
B．s1=s2
C．s1＜s2
D．不确定
8．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
9．为了了解某校九年级1600名学生的体能
( http: / / www.21cnjy.com )情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（　　）
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人
10．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　）
A．
B．
C．2
D．
11．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知点P（x，y）是
( http: / / www.21cnjy.com )直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　）
A．3
B．
C．
D．2
　
二、填空题（每小题5分，4小题共20分）
13．在△ABC中，A=75°，C=60°，c=1，则边b的长为　　．
14．在[0，10]上随机的取一个数m，则事件“圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2相交”发生的概率　　．
15．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值是　　．
16．已知圆C的方程为x2+y2+8x
( http: / / www.21cnjy.com )+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为　　．
　
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17．某市有M，N，S三所高校，其
( http: / / www.21cnjy.com )学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．
（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．
18．下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
（2）请根据散点图，判断y与x之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
（参考数值：
）
（参考公式：
=；；）
19．已知正方形ABCD的边长为1，如图所示：
（1）在正方形内任取一点，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.001）．
20．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c且cosB=，b=2
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
21．设函数．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
　
2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．直线x=1的倾斜角是（　　）
A．0
B．
C．
D．不存在
【考点】直线的倾斜角．
【分析】由于直线x=1与x轴垂直，即可得出直线的倾斜角．
【解答】解：∵直线x=1与x轴垂直，因此倾斜角是．
故选：C．
　
2．高二某班共有学生56人，座号分
( http: / / www.21cnjy.com )别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）
A．30
B．31
C．32
D．33
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么．
【解答】解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是=14，
且第一组抽出的学号为4，
那么每组抽出的学号为4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4；
所以第二组抽取的学号为4+14×2=32．
故选C．
　
3．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向
( http: / / www.21cnjy.com )上的点数之和共有36种结果，而向上的点数之和为5的结果有4种情况，由此能求出向上的点数之和等于5的概率．为．
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，
故选：A．
　
4．在等差数列{an}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（　　）
A．﹣14
B．﹣7
C．7
D．14
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵a3+a6=11，a5+a8=39，则4d=28，解得d=7．
故选：C．
　
5．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（　　）
A．22
B．46
C．94
D．190
【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
i
S
是否继续循环
循环前
1
1/
第一圈
2
4
是
第二圈
3
10
是
第三圈
4
22
是
第四圈
5
46
是
第五圈
6
94
否
故输入的S值为94
故选C．
　
6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（　　）
A．6π+12
B．6π+24
C．12π+12
D．24π+12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，
V==6π+12，
故选A．
　
7．甲、乙两名选手参加歌手
( http: / / www.21cnjy.com )大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（　　）
A．s1＞s2
B．s1=s2
C．s1＜s2
D．不确定
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．
【分析】首先做出两个选手
( http: / / www.21cnjy.com )的平均分，结果两个选手的平均分相同，观察两个人的分数在茎叶图中甲的分数是单峰的，比较集中，而乙的分数是双峰的，比较分散，由茎叶图的性质可得答案．
【解答】解：甲选手的平均分是=84
乙选手的平均分是=84
这两个选手的平均分是相同的，
从茎叶图上看甲的分数是单峰的，分数比较集中，
乙的分数是双峰的，分数分散，
∴甲的方差一定小于乙的方差，
故选C．
　
8．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（　　）
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．
【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为
y=﹣1
和
y=，显然两直线平行．
当k﹣3≠0时，由
=≠，可得
k=5．综上，k的值是
3或5，
故选
C．
　
9．为了了解某校九年级1600名学生的
( http: / / www.21cnjy.com )体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（　　）
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率=小矩形的高×组距，求得第一组，第二组，第三组的频率，利用中位数的左，右两边频率相等求得中位数；验证A是否正确．
根据最高矩形的底边中点的横坐标为数据的众数求得众数；验证B是否正确；
利用频率=小矩形的高×组距=求1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频数和1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频数，由此可验证C、D是否正确．
【解答】解：第一组数据的频率为0.02×5=0.1；第二组数据的频率为0.06×5=0.3，第三组的频率为0.08×5=0.4，
∴中位数在第三组内，设中位数为25+x
( http: / / www.21cnjy.com )，则x×0.08=0.5﹣0.1﹣0.3=0.1，∴x=1.25，∴数据的中位数为26.25，故A正确；
最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B正确；
学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.04×5=0.2，∴超过30次的人数为1600×0.2=320人，故C正确；
学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次
( http: / / www.21cnjy.com )的频率为0.02×5=0.1，∴1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为1600×0.1=160人，故D错误．
故选：D．
　
10．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　）
A．
B．
C．2
D．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心
( http: / / www.21cnjy.com )到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．
【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，
根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．
圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=
故选D．
　
11．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】选择结构．
【分析】由已知的流程图，我们易得这是
( http: / / www.21cnjy.com )一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．
【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；
当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；
当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，
故这样的x值有3个．
故选C．
　
12．已知点P（x，y）是直线kx+y
( http: / / www.21cnjy.com )+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　）
A．3
B．
C．
D．2
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】先求圆的半径，四边形P
( http: / / www.21cnjy.com )ACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，
由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k=2
故选D．
　
二、填空题（每小题5分，4小题共20分）
13．在△ABC中，A=75°，C=60°，c=1，则边b的长为　　．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知及三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理可求b的值．
【解答】解：∵A=75°，C=60°，c=1，
∴B=180°﹣A﹣C=45°，
∴由正弦定理可得：b===．
故答案为：．
　
14．在[0，10]上随机的取一个数m，则事件“圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2相交”发生的概率　　．
【考点】几何概型．
【分析】计算两圆的圆心距d，利用两圆相交R﹣r＜d＜R+r，求出m的取值范围，再利用几何概型计算对应的概率值．
【解答】解：圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2的圆心距为
d==5，
若两圆相交，则，
解得3＜m＜7；
所以，两圆相交时发生的概率为：
P==．
故答案为：．
　
15．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值是　﹣6　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，4）．
化目标函数z=2x﹣3y为．
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
　
16．已知圆C的方程为x2+y2+8x
( http: / / www.21cnjy.com )+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为　　．
【考点】圆的一般方程．
【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆
( http: / / www.21cnjy.com )心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，
∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，
∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，
解得：≤k≤0．
故答案为：．
　
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17．某市有M，N，S三所高
( http: / / www.21cnjy.com )校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．
（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．
【分析】（Ⅰ）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M
( http: / / www.21cnjy.com )的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A={所选2名干事来自同一高校}，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）抽样比为：，
故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；
（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，
来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，
则选出2名干事的所有可能结果为：
{1，2}，{1，3}，{1，a
}，{1，b
}，{1，c}，
{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，
{3，a}，{3，b
}，{3，c
}，
{
a，b
}，{
a，c
}，
{
b，c}共15种．
设A={所选2名干事来自同一高校}，
事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}，共4种，
所以．
　
18．下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
（2）请根据散点图，判断y与x之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
（参考数值：
）
（参考公式：
=；；）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）由题意易得散点图：
（2）由已知数据求出=4，
=5，
=90，结合参考数据可得和，可得回归直线方程；
（3）把x=10代入（2）中的方程计算可得；
【解答】解：（1）由题意可得散点图如图：
（2）从散点图可知，变量y与x之间有较强的线性相关性．
由已知数据有：
=4，
=5，
=90，
又由参考数据知
∴===1.23，
∴=﹣=5﹣1.23×4=0.08，
∴回归直线方程为=1.23x+0.08；
（3）当x=10时，维修费用=1.23×10+0.08=12.38（万元）
　
19．已知正方形ABCD的边长为1，如图所示：
（1）在正方形内任取一点，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.001）．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】（1）根据已知条件，求出满足条
( http: / / www.21cnjy.com )件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
（2）正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为，用频率估计概率，由（1）知，可得圆周率π的近似值．
【解答】解：（1）如图，在边长为1的正方
( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为．
（2）正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为，
用频率估计概率，由（1）知，
∴，即π的近似值为3.143．
　
20．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c且cosB=，b=2
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由cosB=，B∈（0，π），可得sinB=，再利用正弦定理即可得出．
（Ⅱ）由S△ABC==3，可得ac=．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），
∴sinB==，
由正弦定理可知：，
∴a=．
（Ⅱ）∵S△ABC===3，
∴ac=．
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×=4，
∴（a+c）2=+4=28，
故：a+c=2．
　
21．设函数．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
【分析】（1）根据二倍角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【解答】解（1），
∴T=π．
．
故函数f（x）的单调递减区间是．
（2）∵，∴．∴．
当时，原函数的最大值与最小值的和=，∴a=0
　
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（I）将已知等式用等差数列{an}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数列{bn}通项的特点，选择错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
解得，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，
即an=2n+1．
（Ⅱ），
bn=an 3n﹣1=（2n+1） 3n﹣1
Tn=3+5 3+7 32+…+（2n+1） 3n﹣1
3Tn=3 3+5 32+7 33+…+（2n﹣1） 3n﹣1+（2n+1） 3n
﹣2Tn=3+2 3+2 32+…+2 3n﹣1﹣（2n+1）3n
∴Tn=n 3n．
　
2017年3月8日