云南省保山市腾冲八中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 云南省保山市腾冲八中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 257.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-08 15:34:48 | ||
图片预览
文档简介
2016-2017学年云南省保山市腾冲八中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（12×5=60）
1．设集合A={1，2，3，4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1}
C．{0，1，2}
D．{1，2，3，4}
2．“a＞b”是“2a＞2b”的_________条件．（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
3．已知向量=（2，1），=（1，m），且∥，则m等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
5．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=75°，B=45°，c=2，则b等于（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
6．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为（ ）
A．若a＞b，则有2a≤2b﹣1
B．若a≤b，则有2a≤2b﹣1
C．若a≤b，则有2a＞2b﹣1
D．若2a≤2b﹣1，则有a≤b
7．如图所示，是一个组合体的三视图，图中四边形是边长为2的正方形，圆的直径为2，那么这个组合体的表面积是（ ）
A．5π
B．6π
C．7π
D．8π
8．焦点在x轴上的双曲线的两条渐进线方程为：，则该双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
10．已知变量x，y有如下观察数据
x
0
1
3
4
y
2.4
4.5
4.6
6.5
若y对x的回归方程是=0.83x+a则a=（ ）
A．2.4
B．2.84
C．3.67
D．3.95
11．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分
( http: / / www.21cnjy.com )别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积S=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
二、填空题（5×4=20）
13．等差数列{an}中，若a3+a5+a7=15，则S9= ．
14．已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|=5，则点P的坐标是 ．
15．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是 ．
16．数列{an}满足，且a1=1，则通项公式an= ．
三、解答题（写出必要的文字说明，演算步骤，证明过程）
17．在等比数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，E是PC中点．
（1）证明PA∥面EDB；
（2）求异面直线PC与AD能成角的大小．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，求a和c的值．
21．某工厂生产某种零件，每个零件成本为4
( http: / / www.21cnjy.com )0元，出厂单价为70元．该厂为了鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于61元．
（1）设订购量为x个时，零件的实际出厂单价为y元，写出函数y=f（x）的函数解析式；
（2）当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润是多少元？
22．抛物线y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线相交于A，B两点，M是AB中点．
（1）求弦AB的长；
（2）若MH垂直于准线，垂足为H．求∠AHB的度数．
2016-2017学年云南省保山市腾冲八中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（12×5=60）
1．设集合A={1，2，3，4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1}
C．{0，1，2}
D．{1，2，3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：（x+2）（x﹣2）≤0，
解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，2}，
故选：A．
2．“a＞b”是“2a＞2b”的_________条件．（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用指数函数的单调性、充要条件的判定方法即可得出．
【解答】解：“a＞b” “2a＞2b”，
∴“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件．
故选：C．
3．已知向量=（2，1），=（1，m），且∥，则m等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，
∴2m﹣1=0，
解得m=．
故选：B．
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得
f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．
【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，
故选D．
5．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=75°，B=45°，c=2，则b等于（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【考点】正弦定理．
【分析】由内角和定理求出C，再由正弦定理，得到b=，代入数据，即可得到b．
【解答】解：∵A=75°，B=45°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，
由正弦定理得，
=，
得到b==
=2．
故选：B．
6．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为（ ）
A．若a＞b，则有2a≤2b﹣1
B．若a≤b，则有2a≤2b﹣1
C．若a≤b，则有2a＞2b﹣1
D．若2a≤2b﹣1，则有a≤b
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】否命题是：否定命题的条件的同时否定命题的结论．
【解答】解：根据否命题的定义，
命题的否命题是：若a≤b，则2a≤2b﹣1，
故选：B．
7．如图所示，是一个组合体的三视图，图中四边形是边长为2的正方形，圆的直径为2，那么这个组合体的表面积是（ ）
A．5π
B．6π
C．7π
D．8π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球与圆柱的组合体，其表面由一个半球面，一个圆柱的底面和侧面构成，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球与圆柱的组合体，
其表面由一个半球面，一个圆柱的底面和侧面构成，
故表面积S=π 12+π 12+2π 2=7π，
故选：C
8．焦点在x轴上的双曲线的两条渐进线方程为：，则该双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得=，再由双曲线的离心率为
e=，运算求得结果．
【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是：，可得=，
则该双曲线的离心率为
e==，
故选A．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
则kOA==3，
即的最大值为3．
故选：C．
10．已知变量x，y有如下观察数据
x
0
1
3
4
y
2.4
4.5
4.6
6.5
若y对x的回归方程是=0.83x+a则a=（ ）
A．2.4
B．2.84
C．3.67
D．3.95
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知表中数据，可计算出数据中心点的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，代入回归直线方程=0.83x+a，解方程可得a的值．
【解答】解：由已知中的数据可得：
=（0+1+3+4）÷4=2，
=（2.4+4.5+4.6+6.5）÷4=4.5，
∵数据中心点（2，4.5）一定在回归直线上，
∴4.5=0.83×2+a
解得a=2.84，
故选：B．
11．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别
( http: / / www.21cnjy.com )是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．
【分析】由题意可得，|AF
( http: / / www.21cnjy.com )1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．
【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），
∴=，即e2=，
∴e=，即此椭圆的离心率为．
故选B．
12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积S=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的a，b，c，设|P
( http: / / www.21cnjy.com )F1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，可得|m﹣n|=6，运用勾股定理，由S=mn，即可求得△F1PF2的面积．
【解答】解：由题意可得双曲线的a=3，b=4，c=5，
左右焦点分别为F1（﹣5，0），F2（5，0），
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得|m﹣n|=6，
∠F1PF2=90°，
由勾股定理可得
100=m2+n2=（m﹣n）2+2mn=62+2mn，
∴mn=32．
则△F1PF2的面积S=mn=×32=16．
故选：B．
二、填空题（5×4=20）
13．等差数列{an}中，若a3+a5+a7=15，则S9= 45 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a5，再由等差数列的前n项和求得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a5+a7=15，得3a5=15，∴a5=5．
则．
故答案为：45．
14．已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|=5，则点P的坐标是 （4，4）或（4，﹣4） ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先设出该点的坐标，根据抛物
( http: / / www.21cnjy.com )线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．
【解答】解：设该点坐标为（x，y）
根据抛物线定义可知x+1=5，解得x=4，代入抛物线方程求得y=±4
故这点点坐标为：（4，4）或（4，﹣4）
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）．
15．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．
【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0）
∵焦距等于4，且椭圆经过点．
∴，解之得a2=36，b2=32（舍负）
因此，椭圆的标准方程为．
故答案为：
16．数列{an}满足，且a1=1，则通项公式an= 2n﹣1 ．
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足，化为=2，且a1=1，利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：数列{an}满足，
∴=2，且a1=1，
则数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．
则通项公式an=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
三、解答题（写出必要的文字说明，演算步骤，证明过程）
17．在等比数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由．可得，解出即可得出．
（2）b4=a3=8，b16=a5=32，可得，解得b1，d．利用求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵．∴，解得a1=q=2．∴an=2n．
（2）b4=a3=8，b16=a5=32，∴，解得b1=d=2．
∴Sn=2n+=n2+n．
18．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
（2）设事件B为“所取的2道题不是
( http: / / www.21cnjy.com )同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，
因此，P（A）=．
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，
从6件中抽取2道，有C62种情况，
而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41 C21=8种情况，
根据古典概型的计算，有P（B）=．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，E是PC中点．
（1）证明PA∥面EDB；
（2）求异面直线PC与AD能成角的大小．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；
（2）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC，可得异面直线PC与AD所成角的大小．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…
∵OE 平面EDB，PA 平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…
（2）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…
∴AD⊥PC，
∴异面直线PC与AD所成角为90°．…
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，求a和c的值．
【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）利用诱导公式求出sin的值，从而利用二倍角的余弦公式求得cosB．
（2）由两个向量的数量积的定义求出ac的值，再利用余弦定理求出a和c的值．
【解答】解：（1）∵cos=，
∴sin=sin（﹣）=，
∴cosB=1﹣2sin2=．
（2）由 =2可得
a c cosB=2，又cosB=，
故ac=6，
由
b2=a2+c2﹣2accosB
可得a2+c2=12，
∴（a﹣c）2=0，
故
a=c，
∴a=c=．
21．某工厂生产某种零件，每个零件成本为40
( http: / / www.21cnjy.com )元，出厂单价为70元．该厂为了鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于61元．
（1）设订购量为x个时，零件的实际出厂单价为y元，写出函数y=f（x）的函数解析式；
（2）当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润是多少元？
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）由题意设每个
( http: / / www.21cnjy.com )零件的实际出厂价恰好降为61元时，一次订购量为x0个，则x0=100+，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为61元；前100件单价为y，当进货件数大于等于550件时，y=61，则当100＜x＜550时，y=70﹣0.02（x﹣100），得到y为分段函数，写出解析式即可；
（2）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x=500，即可得到对应的利润．
【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为61元时，一次订购量为x0个，则x0=100+=550，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为61元．
当0＜x≤100时，y=70；
当100＜x＜550时，y=70﹣0.02（x﹣100）=72﹣0.02x；
当x≥550时，y=61．
所以y=f（x）=；
（2）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L=（y﹣40）x=，
当x=500时，L=32×500﹣0.02×5002=11000，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是11000元．
22．抛物线y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线相交于A，B两点，M是AB中点．
（1）求弦AB的长；
（2）若MH垂直于准线，垂足为H．求∠AHB的度数．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据抛物线
( http: / / www.21cnjy.com )方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p，求得答案．
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为
( http: / / www.21cnjy.com )P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，得出以AB为直径的圆M与准线相切于H，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得
x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8；
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|，
∵M是AB的中点，
∴|MH|==4，
∴以AB为直径的圆M与准线相切于H，
∴∠AHB=90°．
2017年3月8日
一、选择题（12×5=60）
1．设集合A={1，2，3，4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1}
C．{0，1，2}
D．{1，2，3，4}
2．“a＞b”是“2a＞2b”的_________条件．（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
3．已知向量=（2，1），=（1，m），且∥，则m等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
5．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=75°，B=45°，c=2，则b等于（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
6．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为（ ）
A．若a＞b，则有2a≤2b﹣1
B．若a≤b，则有2a≤2b﹣1
C．若a≤b，则有2a＞2b﹣1
D．若2a≤2b﹣1，则有a≤b
7．如图所示，是一个组合体的三视图，图中四边形是边长为2的正方形，圆的直径为2，那么这个组合体的表面积是（ ）
A．5π
B．6π
C．7π
D．8π
8．焦点在x轴上的双曲线的两条渐进线方程为：，则该双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
10．已知变量x，y有如下观察数据
x
0
1
3
4
y
2.4
4.5
4.6
6.5
若y对x的回归方程是=0.83x+a则a=（ ）
A．2.4
B．2.84
C．3.67
D．3.95
11．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分
( http: / / www.21cnjy.com )别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积S=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
二、填空题（5×4=20）
13．等差数列{an}中，若a3+a5+a7=15，则S9= ．
14．已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|=5，则点P的坐标是 ．
15．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是 ．
16．数列{an}满足，且a1=1，则通项公式an= ．
三、解答题（写出必要的文字说明，演算步骤，证明过程）
17．在等比数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，E是PC中点．
（1）证明PA∥面EDB；
（2）求异面直线PC与AD能成角的大小．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，求a和c的值．
21．某工厂生产某种零件，每个零件成本为4
( http: / / www.21cnjy.com )0元，出厂单价为70元．该厂为了鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于61元．
（1）设订购量为x个时，零件的实际出厂单价为y元，写出函数y=f（x）的函数解析式；
（2）当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润是多少元？
22．抛物线y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线相交于A，B两点，M是AB中点．
（1）求弦AB的长；
（2）若MH垂直于准线，垂足为H．求∠AHB的度数．
2016-2017学年云南省保山市腾冲八中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（12×5=60）
1．设集合A={1，2，3，4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1}
C．{0，1，2}
D．{1，2，3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：（x+2）（x﹣2）≤0，
解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，2}，
故选：A．
2．“a＞b”是“2a＞2b”的_________条件．（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用指数函数的单调性、充要条件的判定方法即可得出．
【解答】解：“a＞b” “2a＞2b”，
∴“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件．
故选：C．
3．已知向量=（2，1），=（1，m），且∥，则m等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，
∴2m﹣1=0，
解得m=．
故选：B．
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得
f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．
【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，
故选D．
5．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=75°，B=45°，c=2，则b等于（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【考点】正弦定理．
【分析】由内角和定理求出C，再由正弦定理，得到b=，代入数据，即可得到b．
【解答】解：∵A=75°，B=45°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，
由正弦定理得，
=，
得到b==
=2．
故选：B．
6．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为（ ）
A．若a＞b，则有2a≤2b﹣1
B．若a≤b，则有2a≤2b﹣1
C．若a≤b，则有2a＞2b﹣1
D．若2a≤2b﹣1，则有a≤b
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】否命题是：否定命题的条件的同时否定命题的结论．
【解答】解：根据否命题的定义，
命题的否命题是：若a≤b，则2a≤2b﹣1，
故选：B．
7．如图所示，是一个组合体的三视图，图中四边形是边长为2的正方形，圆的直径为2，那么这个组合体的表面积是（ ）
A．5π
B．6π
C．7π
D．8π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球与圆柱的组合体，其表面由一个半球面，一个圆柱的底面和侧面构成，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球与圆柱的组合体，
其表面由一个半球面，一个圆柱的底面和侧面构成，
故表面积S=π 12+π 12+2π 2=7π，
故选：C
8．焦点在x轴上的双曲线的两条渐进线方程为：，则该双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得=，再由双曲线的离心率为
e=，运算求得结果．
【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是：，可得=，
则该双曲线的离心率为
e==，
故选A．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
则kOA==3，
即的最大值为3．
故选：C．
10．已知变量x，y有如下观察数据
x
0
1
3
4
y
2.4
4.5
4.6
6.5
若y对x的回归方程是=0.83x+a则a=（ ）
A．2.4
B．2.84
C．3.67
D．3.95
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知表中数据，可计算出数据中心点的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，代入回归直线方程=0.83x+a，解方程可得a的值．
【解答】解：由已知中的数据可得：
=（0+1+3+4）÷4=2，
=（2.4+4.5+4.6+6.5）÷4=4.5，
∵数据中心点（2，4.5）一定在回归直线上，
∴4.5=0.83×2+a
解得a=2.84，
故选：B．
11．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别
( http: / / www.21cnjy.com )是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．
【分析】由题意可得，|AF
( http: / / www.21cnjy.com )1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．
【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），
∴=，即e2=，
∴e=，即此椭圆的离心率为．
故选B．
12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积S=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的a，b，c，设|P
( http: / / www.21cnjy.com )F1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，可得|m﹣n|=6，运用勾股定理，由S=mn，即可求得△F1PF2的面积．
【解答】解：由题意可得双曲线的a=3，b=4，c=5，
左右焦点分别为F1（﹣5，0），F2（5，0），
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得|m﹣n|=6，
∠F1PF2=90°，
由勾股定理可得
100=m2+n2=（m﹣n）2+2mn=62+2mn，
∴mn=32．
则△F1PF2的面积S=mn=×32=16．
故选：B．
二、填空题（5×4=20）
13．等差数列{an}中，若a3+a5+a7=15，则S9= 45 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a5，再由等差数列的前n项和求得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a5+a7=15，得3a5=15，∴a5=5．
则．
故答案为：45．
14．已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|=5，则点P的坐标是 （4，4）或（4，﹣4） ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先设出该点的坐标，根据抛物
( http: / / www.21cnjy.com )线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．
【解答】解：设该点坐标为（x，y）
根据抛物线定义可知x+1=5，解得x=4，代入抛物线方程求得y=±4
故这点点坐标为：（4，4）或（4，﹣4）
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）．
15．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．
【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0）
∵焦距等于4，且椭圆经过点．
∴，解之得a2=36，b2=32（舍负）
因此，椭圆的标准方程为．
故答案为：
16．数列{an}满足，且a1=1，则通项公式an= 2n﹣1 ．
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足，化为=2，且a1=1，利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：数列{an}满足，
∴=2，且a1=1，
则数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．
则通项公式an=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
三、解答题（写出必要的文字说明，演算步骤，证明过程）
17．在等比数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由．可得，解出即可得出．
（2）b4=a3=8，b16=a5=32，可得，解得b1，d．利用求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵．∴，解得a1=q=2．∴an=2n．
（2）b4=a3=8，b16=a5=32，∴，解得b1=d=2．
∴Sn=2n+=n2+n．
18．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
（2）设事件B为“所取的2道题不是
( http: / / www.21cnjy.com )同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，
因此，P（A）=．
（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，
从6件中抽取2道，有C62种情况，
而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41 C21=8种情况，
根据古典概型的计算，有P（B）=．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，E是PC中点．
（1）证明PA∥面EDB；
（2）求异面直线PC与AD能成角的大小．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；
（2）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC，可得异面直线PC与AD所成角的大小．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…
∵OE 平面EDB，PA 平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…
（2）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…
∴AD⊥PC，
∴异面直线PC与AD所成角为90°．…
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，求a和c的值．
【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）利用诱导公式求出sin的值，从而利用二倍角的余弦公式求得cosB．
（2）由两个向量的数量积的定义求出ac的值，再利用余弦定理求出a和c的值．
【解答】解：（1）∵cos=，
∴sin=sin（﹣）=，
∴cosB=1﹣2sin2=．
（2）由 =2可得
a c cosB=2，又cosB=，
故ac=6，
由
b2=a2+c2﹣2accosB
可得a2+c2=12，
∴（a﹣c）2=0，
故
a=c，
∴a=c=．
21．某工厂生产某种零件，每个零件成本为40
( http: / / www.21cnjy.com )元，出厂单价为70元．该厂为了鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于61元．
（1）设订购量为x个时，零件的实际出厂单价为y元，写出函数y=f（x）的函数解析式；
（2）当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润是多少元？
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）由题意设每个
( http: / / www.21cnjy.com )零件的实际出厂价恰好降为61元时，一次订购量为x0个，则x0=100+，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为61元；前100件单价为y，当进货件数大于等于550件时，y=61，则当100＜x＜550时，y=70﹣0.02（x﹣100），得到y为分段函数，写出解析式即可；
（2）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x=500，即可得到对应的利润．
【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为61元时，一次订购量为x0个，则x0=100+=550，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为61元．
当0＜x≤100时，y=70；
当100＜x＜550时，y=70﹣0.02（x﹣100）=72﹣0.02x；
当x≥550时，y=61．
所以y=f（x）=；
（2）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L=（y﹣40）x=，
当x=500时，L=32×500﹣0.02×5002=11000，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是11000元．
22．抛物线y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线相交于A，B两点，M是AB中点．
（1）求弦AB的长；
（2）若MH垂直于准线，垂足为H．求∠AHB的度数．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据抛物线
( http: / / www.21cnjy.com )方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p，求得答案．
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为
( http: / / www.21cnjy.com )P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，得出以AB为直径的圆M与准线相切于H，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得
x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8；
（2）过A，B做准线的垂线，垂足分别为P，Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|，
∵M是AB的中点，
∴|MH|==4，
∴以AB为直径的圆M与准线相切于H，
∴∠AHB=90°．
2017年3月8日