山东省淄博六中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 山东省淄博六中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 311.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-08 15:36:06 | ||
图片预览
文档简介
2016-2017学年山东省淄博六中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
2．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3
B．
C．ab＞1
D．lg（b﹣a）＜0
3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24
B．0
C．12
D．24
4．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧￢q
5．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
6．在△ABC中，若sin
B sin
C=cos2，且sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
7．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量
( http: / / www.21cnjy.com )者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2
p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3
p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
10．若“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则（ ）
A．a，b，c成等差数列
B．a，b，c成等比数列
C．a，c，b成等差数列
D．a，c，b成等比数列
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上．）
13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项的和S6= ．
14．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ．
15．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为 ．
16．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题为 （填写序号）
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
17．已知命题P：函数f（x）=log2m
( http: / / www.21cnjy.com )（x+1）是增函数，命题Q： x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
19．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{Sn}是等差数列，并求Sn．
（2）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．
21．已知函数f（x）=ln
x，F（x）=x﹣+﹣a，
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
22．已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
①求k1 k2的值；
②若A的坐标为（，1），求实数λ的取值范围．
2016-2017学年山东省淄博六中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
【考点】命题的否定．
【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题．
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：
“至少有一个实数的平方不是正数”．
故选D．
2．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3
B．
C．ab＞1
D．lg（b﹣a）＜0
【考点】不等关系与不等式．
【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；
【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的
( http: / / www.21cnjy.com )基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知ab＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；
故选D．
3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24
B．0
C．12
D．24
【考点】等比数列的性质．
【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
【解答】解：由于
x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选A．
4．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】由命题p，找到x的
( http: / / www.21cnjy.com )范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．
【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；
命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；
所以p∧￢q为真命题；
故选D；
5．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为
( http: / / www.21cnjy.com )的切线的切点为（x0，y0），由函数在x=x0时的导数等于2求出x0的值，舍掉定义域外的x0得答案．
【解答】解：由y=﹣3lnx，得
，
设斜率为﹣的切线的切点为（x0，y0），
则．
由，
解得：x0=﹣3或x0=2．
∵函数的定义域为（0，+∞），
∴x0=2．
故选：B．
6．在△ABC中，若sin
B sin
C=cos2，且sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据降次公式和三角形内角和消去A，结合正弦定理求解即可．
【解答】解：由sin
B sin
C=cos2，
可得：sin
B sin
C=cosA
sin
B sin
C=﹣cos（B+C）
sin
B sin
C=sin
B sin
C﹣cos
B cos
C
cos
B cos
C+sin
B sin
C=
cos（B﹣C）=1，
∴B=C，
由sin2B+sin2C=sin2A，
根据正余弦定理：可得b2+c2=a2．
综上可得：△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
7．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得准线方
( http: / / www.21cnjy.com )程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．
【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣1．代入双曲线方程得
y=±．
不妨设A（﹣1，），
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=2，解得：a=，
∴c2=a2+b2=+1=，
∴e=
则双曲线的离心率为：．
故选A．
8．如图，设A、B两点在河的两岸，
( http: / / www.21cnjy.com )一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB
【解答】解：由正弦定理得，
∴，
故A，B两点的距离为50m，
故选A
9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2
p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3
p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．
【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2
区域的上方，故： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内， （x，y）∈D，x+2y≥2，故p2： （x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3： （x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
10．若“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分不必要条件及其不等式的解法即可得出．
【解答】解：∵“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，
∴（0，1） （a，a+2），
∴0≥a，且a+2≥1，解得﹣1≤a≤0．
故选：A．
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点
( http: / / www.21cnjy.com )到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=
则d1+d2=a2+1=
当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
故选B
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则（ ）
A．a，b，c成等差数列
B．a，b，c成等比数列
C．a，c，b成等差数列
D．a，c，b成等比数列
【考点】正弦定理；等比关系的确定．
【分析】把已知的等式变形后
( http: / / www.21cnjy.com )，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形后，利用正弦定理可得出ac=b2，进而确定出a，b，c成等比数列．
【解答】解：由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得：cosB+cos（A﹣C）=1﹣cos2B，
∵cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B，
∴上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，
∴﹣2sinAsin（﹣C）=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，
由正弦定理==得：ac=b2，
则a，b，c成等比数列．
故选B
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上．）
13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项的和S6= 21 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】直接由题意列式，求得首项和公差d，再由前6项和得答案
【解答】解：由题意．等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，
则a1+d+a1+3d=4…①，
a1+2d+a1+4d=10…②，
由①②解得：a1=﹣4，d=3，
那么：
=21．
故答案为：21．
14．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ．
【考点】余弦定理．
【分析】分两种情况来做，
( http: / / www.21cnjy.com )当x为最大边时，只要保证x所对的角为锐角就可以了；当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了．
【解答】解：分两种情况来做，当x为最大边时，由余弦定理可知只要22+32﹣x2＞0即可，可解得
当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x2﹣32＞0，可解得
所以综上可知x的取值范围为，
故答案为．
15．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为 8 ．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得
( http: / / www.21cnjy.com )3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，
则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，
则有a+2b=1；
则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；
即+的最小值为8；
故答案为：8．
16．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题为 ② （填写序号）
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．
【分析】观察函数y=f′（x）的图象知
( http: / / www.21cnjy.com )：求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，在（0，2）上是减函数，由此能求出f（x）的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，再由f（﹣1）=1．f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根据函数的单调性求出了f（x）的值域y=f（x）﹣a有零点，得f（x）=a，根据a的范围进行判断；
【解答】解：∵f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
∴观察图象知：在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是[﹣1，0]和[2，4]；
在（0，2）和（4，5）有f′（x）＞0，f（x）为减函数；
故②正确；
两个极大值点：
结合函数的图象知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，
在x=0处取极大值f（0）=2，
在x=2处取极小值f（2），
在x=4处取极大值f（4）=2，
又∵f（﹣1）=1．f（5）=1，
∴f（x）的最大值是2．最小值为f（2），故①错误；
当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为：t=5，故③错误；
求函数y=f（x）﹣a的零点：可得f（x）=a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故④错误；
故答案为②；
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
17．已知命题P：函数f（x）=l
( http: / / www.21cnjy.com )og2m（x+1）是增函数，命题Q： x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据对数函数的单调性求得命题P为
( http: / / www.21cnjy.com )真时m的取值范围；利用△≤0求出命题Q为真时m的范围，根据复合命题真值表知，若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，分P真Q假和Q真P假两种情况求出m的范围，再求并集．
【解答】解：由函数f（x）=log2m（x+1）是增函数，得2m＞1，
故命题P为真时，m＞，
命题Q为真命题时，则△=m2﹣4≤0 ﹣2≤m≤2，
由复合命题真值表知：若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，
当P真Q假时，则 m＞2，
当Q真P假时，则 ﹣2≤m≤，
综上可知实数m的取值范围：[﹣2，]∪（2，+∞）．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴a2﹣b2=ac﹣c2，
∴，
∵B∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）由b=3，，，得a=2，
由a＜b得A＜B，从而，
故，
∴△ABC的面积为．
19．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】把原不等式的右边移项到左边，因式分解后，分a大于0，a=0和a小于0三种情况分别利用取解集的方法得到不等式的解集即可．
【解答】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0 （4x+a）（3x﹣a）＞0 （x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{Sn}是等差数列，并求Sn．
（2）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（1）根据题意，将Sn=n2
( http: / / www.21cnjy.com )an﹣n（n﹣1）变形可得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），进而变形可得：﹣Sn﹣1=1，由等差数列的定义可得数列{Sn}是等差数列，
进而由等差数列的通项可得Sn公式；
（2）根据题意，由（1）可得Sn=，代入bn=中，可得bn=（﹣），进而由裂项相消法可得b1+b2+…+bn=（+﹣﹣），用放缩法分析可得分析可得b1+b2+…+bn＜×=，又由＜，即可得证明．
【解答】解：（1）由Sn=n2an﹣n（n﹣1）知，当n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），
即（n2﹣1）Sn﹣n2Sn﹣1=n（n﹣1），
变形可得：﹣Sn﹣1=1，对n≥2成立；
又由a1=，则×a1=1，
故数列{Sn}是1为首项，1为公差的等差数列，
则Sn=1+（n﹣1）×1=n，
故Sn=；
（2）证明：根据题意，由（1）可得Sn=，
bn====（﹣），
b1+b2+…+bn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=（+﹣﹣）＜×=，
而＜，
故b1+b2+…+bn＜．
21．已知函数f（x）=ln
x，F（x）=x﹣+﹣a，
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据f′（1）=1，求出切线方程即可；
（2）求出函数F（x）的导数，
( http: / / www.21cnjy.com )问题转化为a≥﹣x2+ln
x﹣1恒成立，令G（x）=﹣x2+ln
x﹣1，求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）=，所以f′（1）=1，
故切线方程为y=x﹣1．__________
（2）y=F（x）在[1，+∞）上单调递增，
F′（x）=，
则当x≥1时，x2﹣ln
x+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥﹣x2+ln
x﹣1恒成立．
令G（x）=﹣x2+ln
x﹣1，
则当x≥1时，G′（x）=＜0，
故G（x）=﹣x2+ln
x﹣1在[1，+∞）上单调递减，
从而G（x）max=G（1）=﹣2，
故a≥G（x）max=﹣2，
即a的取值范围为a≥﹣2．_______
22．已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
①求k1 k2的值；
②若A的坐标为（，1），求实数λ的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由c=1，，a2=b2+c2，解出即可；
（II）解法一：①由M（x1，y1）、
( http: / / www.21cnjy.com )N（x2，y2）且k1存在，利用斜率计算公式和，λ≠0且k2存在，可得，进而得到k1 k2，把M（x1，y1），N（x2，y2）椭圆方程，即可得到k1 k2的值；
②若A的坐标为，则，利用①可得k1=﹣2．设直线MN：y=﹣2x+m（m∈R），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系．
由，代入可得，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范围．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈
( http: / / www.21cnjy.com )R），M（x1，y1）、N（x2，y2），得若m=0，则x1+x2=0，由A满足（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
由直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．与椭圆的方程联立可得，得到根与系数的关系，再利用满足，及斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
由c=1，，得a=2，
由b2=a2﹣c2，可得b2=3，
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，得，
由，λ≠0且k2存在，得，
则．
∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴，，
两式相减得，，
∴．
②若A的坐标为，则，由①可得k1=﹣2．
设直线MN：y=﹣2x+m（m∈R），
由得16x2﹣12mx+3m2﹣12=0，
所以．
∵，∴，m=2λ．
又由△=（﹣12m）2﹣4 16 （3m2﹣12）＞0，解得﹣4＜m＜4，
∴﹣2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），
若m=0，则x1+x2=0，
由A满足（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
∵直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．
由得…（
）．
∵M（x1，y1）、N（x2，y2），∴．
∵y1+y2=k1（x1+x2）+2m，A满足，
∴直线OA的斜率，
经化简得．
②若A的坐标为，则，由①可得k1=﹣2．
∴方程（
）可化为16x2﹣12mx+3m2﹣12=0，
下同解法一．
2017年3月8日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
2．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3
B．
C．ab＞1
D．lg（b﹣a）＜0
3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24
B．0
C．12
D．24
4．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧￢q
5．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
6．在△ABC中，若sin
B sin
C=cos2，且sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
7．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量
( http: / / www.21cnjy.com )者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2
p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3
p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
10．若“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则（ ）
A．a，b，c成等差数列
B．a，b，c成等比数列
C．a，c，b成等差数列
D．a，c，b成等比数列
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上．）
13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项的和S6= ．
14．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ．
15．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为 ．
16．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题为 （填写序号）
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
17．已知命题P：函数f（x）=log2m
( http: / / www.21cnjy.com )（x+1）是增函数，命题Q： x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
19．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{Sn}是等差数列，并求Sn．
（2）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．
21．已知函数f（x）=ln
x，F（x）=x﹣+﹣a，
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
22．已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
①求k1 k2的值；
②若A的坐标为（，1），求实数λ的取值范围．
2016-2017学年山东省淄博六中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
【考点】命题的否定．
【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题．
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：
“至少有一个实数的平方不是正数”．
故选D．
2．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3
B．
C．ab＞1
D．lg（b﹣a）＜0
【考点】不等关系与不等式．
【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；
【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的
( http: / / www.21cnjy.com )基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知ab＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；
故选D．
3．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．﹣24
B．0
C．12
D．24
【考点】等比数列的性质．
【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
【解答】解：由于
x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选A．
4．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】由命题p，找到x的
( http: / / www.21cnjy.com )范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．
【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；
命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；
所以p∧￢q为真命题；
故选D；
5．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为
( http: / / www.21cnjy.com )的切线的切点为（x0，y0），由函数在x=x0时的导数等于2求出x0的值，舍掉定义域外的x0得答案．
【解答】解：由y=﹣3lnx，得
，
设斜率为﹣的切线的切点为（x0，y0），
则．
由，
解得：x0=﹣3或x0=2．
∵函数的定义域为（0，+∞），
∴x0=2．
故选：B．
6．在△ABC中，若sin
B sin
C=cos2，且sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据降次公式和三角形内角和消去A，结合正弦定理求解即可．
【解答】解：由sin
B sin
C=cos2，
可得：sin
B sin
C=cosA
sin
B sin
C=﹣cos（B+C）
sin
B sin
C=sin
B sin
C﹣cos
B cos
C
cos
B cos
C+sin
B sin
C=
cos（B﹣C）=1，
∴B=C，
由sin2B+sin2C=sin2A，
根据正余弦定理：可得b2+c2=a2．
综上可得：△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
7．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得准线方
( http: / / www.21cnjy.com )程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．
【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣1．代入双曲线方程得
y=±．
不妨设A（﹣1，），
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=2，解得：a=，
∴c2=a2+b2=+1=，
∴e=
则双曲线的离心率为：．
故选A．
8．如图，设A、B两点在河的两岸，
( http: / / www.21cnjy.com )一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB
【解答】解：由正弦定理得，
∴，
故A，B两点的距离为50m，
故选A
9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2
p2： （x，y）∈D，x+2y≥2
p3： （x，y）∈D，x+2y≤3
p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．
【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2
区域的上方，故： （x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内， （x，y）∈D，x+2y≥2，故p2： （x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3： （x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4： （x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
10．若“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]
B．（﹣1，0）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分不必要条件及其不等式的解法即可得出．
【解答】解：∵“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]＜0”的充分不必要条件，
∴（0，1） （a，a+2），
∴0≥a，且a+2≥1，解得﹣1≤a≤0．
故选：A．
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点
( http: / / www.21cnjy.com )到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=
则d1+d2=a2+1=
当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
故选B
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则（ ）
A．a，b，c成等差数列
B．a，b，c成等比数列
C．a，c，b成等差数列
D．a，c，b成等比数列
【考点】正弦定理；等比关系的确定．
【分析】把已知的等式变形后
( http: / / www.21cnjy.com )，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形后，利用正弦定理可得出ac=b2，进而确定出a，b，c成等比数列．
【解答】解：由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得：cosB+cos（A﹣C）=1﹣cos2B，
∵cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B，
∴上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，
∴﹣2sinAsin（﹣C）=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，
由正弦定理==得：ac=b2，
则a，b，c成等比数列．
故选B
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上．）
13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前6项的和S6= 21 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】直接由题意列式，求得首项和公差d，再由前6项和得答案
【解答】解：由题意．等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，
则a1+d+a1+3d=4…①，
a1+2d+a1+4d=10…②，
由①②解得：a1=﹣4，d=3，
那么：
=21．
故答案为：21．
14．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ．
【考点】余弦定理．
【分析】分两种情况来做，
( http: / / www.21cnjy.com )当x为最大边时，只要保证x所对的角为锐角就可以了；当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了．
【解答】解：分两种情况来做，当x为最大边时，由余弦定理可知只要22+32﹣x2＞0即可，可解得
当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x2﹣32＞0，可解得
所以综上可知x的取值范围为，
故答案为．
15．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为 8 ．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得
( http: / / www.21cnjy.com )3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，
则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，
则有a+2b=1；
则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；
即+的最小值为8；
故答案为：8．
16．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题为 ② （填写序号）
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．
【分析】观察函数y=f′（x）的图象知
( http: / / www.21cnjy.com )：求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，在（0，2）上是减函数，由此能求出f（x）的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，再由f（﹣1）=1．f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根据函数的单调性求出了f（x）的值域y=f（x）﹣a有零点，得f（x）=a，根据a的范围进行判断；
【解答】解：∵f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
∴观察图象知：在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是[﹣1，0]和[2，4]；
在（0，2）和（4，5）有f′（x）＞0，f（x）为减函数；
故②正确；
两个极大值点：
结合函数的图象知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，
在x=0处取极大值f（0）=2，
在x=2处取极小值f（2），
在x=4处取极大值f（4）=2，
又∵f（﹣1）=1．f（5）=1，
∴f（x）的最大值是2．最小值为f（2），故①错误；
当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为：t=5，故③错误；
求函数y=f（x）﹣a的零点：可得f（x）=a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故④错误；
故答案为②；
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
17．已知命题P：函数f（x）=l
( http: / / www.21cnjy.com )og2m（x+1）是增函数，命题Q： x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据对数函数的单调性求得命题P为
( http: / / www.21cnjy.com )真时m的取值范围；利用△≤0求出命题Q为真时m的范围，根据复合命题真值表知，若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，分P真Q假和Q真P假两种情况求出m的范围，再求并集．
【解答】解：由函数f（x）=log2m（x+1）是增函数，得2m＞1，
故命题P为真时，m＞，
命题Q为真命题时，则△=m2﹣4≤0 ﹣2≤m≤2，
由复合命题真值表知：若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，
当P真Q假时，则 m＞2，
当Q真P假时，则 ﹣2≤m≤，
综上可知实数m的取值范围：[﹣2，]∪（2，+∞）．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴a2﹣b2=ac﹣c2，
∴，
∵B∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）由b=3，，，得a=2，
由a＜b得A＜B，从而，
故，
∴△ABC的面积为．
19．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】把原不等式的右边移项到左边，因式分解后，分a大于0，a=0和a小于0三种情况分别利用取解集的方法得到不等式的解集即可．
【解答】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0 （4x+a）（3x﹣a）＞0 （x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{Sn}是等差数列，并求Sn．
（2）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（1）根据题意，将Sn=n2
( http: / / www.21cnjy.com )an﹣n（n﹣1）变形可得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），进而变形可得：﹣Sn﹣1=1，由等差数列的定义可得数列{Sn}是等差数列，
进而由等差数列的通项可得Sn公式；
（2）根据题意，由（1）可得Sn=，代入bn=中，可得bn=（﹣），进而由裂项相消法可得b1+b2+…+bn=（+﹣﹣），用放缩法分析可得分析可得b1+b2+…+bn＜×=，又由＜，即可得证明．
【解答】解：（1）由Sn=n2an﹣n（n﹣1）知，当n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），
即（n2﹣1）Sn﹣n2Sn﹣1=n（n﹣1），
变形可得：﹣Sn﹣1=1，对n≥2成立；
又由a1=，则×a1=1，
故数列{Sn}是1为首项，1为公差的等差数列，
则Sn=1+（n﹣1）×1=n，
故Sn=；
（2）证明：根据题意，由（1）可得Sn=，
bn====（﹣），
b1+b2+…+bn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=（+﹣﹣）＜×=，
而＜，
故b1+b2+…+bn＜．
21．已知函数f（x）=ln
x，F（x）=x﹣+﹣a，
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据f′（1）=1，求出切线方程即可；
（2）求出函数F（x）的导数，
( http: / / www.21cnjy.com )问题转化为a≥﹣x2+ln
x﹣1恒成立，令G（x）=﹣x2+ln
x﹣1，求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）=，所以f′（1）=1，
故切线方程为y=x﹣1．__________
（2）y=F（x）在[1，+∞）上单调递增，
F′（x）=，
则当x≥1时，x2﹣ln
x+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥﹣x2+ln
x﹣1恒成立．
令G（x）=﹣x2+ln
x﹣1，
则当x≥1时，G′（x）=＜0，
故G（x）=﹣x2+ln
x﹣1在[1，+∞）上单调递减，
从而G（x）max=G（1）=﹣2，
故a≥G（x）max=﹣2，
即a的取值范围为a≥﹣2．_______
22．已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
①求k1 k2的值；
②若A的坐标为（，1），求实数λ的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由c=1，，a2=b2+c2，解出即可；
（II）解法一：①由M（x1，y1）、
( http: / / www.21cnjy.com )N（x2，y2）且k1存在，利用斜率计算公式和，λ≠0且k2存在，可得，进而得到k1 k2，把M（x1，y1），N（x2，y2）椭圆方程，即可得到k1 k2的值；
②若A的坐标为，则，利用①可得k1=﹣2．设直线MN：y=﹣2x+m（m∈R），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系．
由，代入可得，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范围．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈
( http: / / www.21cnjy.com )R），M（x1，y1）、N（x2，y2），得若m=0，则x1+x2=0，由A满足（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
由直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．与椭圆的方程联立可得，得到根与系数的关系，再利用满足，及斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
由c=1，，得a=2，
由b2=a2﹣c2，可得b2=3，
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，得，
由，λ≠0且k2存在，得，
则．
∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴，，
两式相减得，，
∴．
②若A的坐标为，则，由①可得k1=﹣2．
设直线MN：y=﹣2x+m（m∈R），
由得16x2﹣12mx+3m2﹣12=0，
所以．
∵，∴，m=2λ．
又由△=（﹣12m）2﹣4 16 （3m2﹣12）＞0，解得﹣4＜m＜4，
∴﹣2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），
若m=0，则x1+x2=0，
由A满足（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
∵直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．
由得…（
）．
∵M（x1，y1）、N（x2，y2），∴．
∵y1+y2=k1（x1+x2）+2m，A满足，
∴直线OA的斜率，
经化简得．
②若A的坐标为，则，由①可得k1=﹣2．
∴方程（
）可化为16x2﹣12mx+3m2﹣12=0，
下同解法一．
2017年3月8日