山东省济南一中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年山东省济南一中高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“ x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）
A． x∈R，|x|+x2＜0
B． x∈R，|x|+x2≤0
C． x0∈R，|x0|+x02＜0
D． x0∈R，|x0|+x02≥0
2．等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（　　）
A．99
B．66
C．144
D．297
3．已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知直线mx﹣y+n=0过点（2，1），其中m，n是正数，则mn的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（　　）条件．
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）
A．12
B．11
C．3
D．﹣1
8．抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（　　）
A．或5
B．或5
C．
D．
10．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）
A．4
B．8
C．12
D．16
11．若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥4
B．﹣5＜m≤﹣4
C．﹣5≤m≤﹣4
D．﹣5＜m＜﹣2
12．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．若不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），则a+b的值是　　．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A=　　．
15．顶点在原点，且过点（﹣2，4）的抛物线的标准方程是　　．
16．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为　　．
17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是　　．
18．设F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2，则△F1PF2的面积为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
19．有下列两个命题：
命题p：对 x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．
命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．
若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．
20．已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设=（﹣3，﹣1），=（sinA，cos2A），求 的最小值．
22．某校要建一个面积为450平方米的矩
( http: / / www.21cnjy.com )形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．
（1）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；
（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
23．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Tn．
　
2016-2017学年山东省济南一中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“ x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）
A． x∈R，|x|+x2＜0
B． x∈R，|x|+x2≤0
C． x0∈R，|x0|+x02＜0
D． x0∈R，|x0|+x02≥0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“ x∈R，|x|+x2≥0”的否定 x0∈R，|x0|+x02＜0，
故选：C．
　
2．等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（　　）
A．99
B．66
C．144
D．297
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．
【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，
又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，
∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，
∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，
∴数列{an}前9项的和S9====99
故选：A
　
3．已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y
( http: / / www.21cnjy.com )=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线C方程为：
=1（a＞0，b＞0）
∴双曲线的渐近线方程为y=±x
又∵双曲线离心率为2，
∴c=2a，可得b==a
因此，双曲线的渐近线方程为y=±x
故选：D．
　
4．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦定理．
【分析】由B与C的度数求出A的度数，得到B
( http: / / www.21cnjy.com )为最小角，利用大角对大边得到b为最短边，进而有sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】解：∵B=45°，C=60°，c=1，
∴由正弦定理=得：b===．
故选D
　
5．已知直线mx﹣y+n=0过点（2，1），其中m，n是正数，则mn的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】基本不等式．
【分析】由直线mx﹣y+n=0过点（2，1），可得2m﹣1+n=0，即2m+n=1，其中m，n是正数，再利用基本不等式可得mn=即可．
【解答】解：∵直线mx﹣y+n=0过点（2，1），∴2m﹣1+n=0，即2m+n=1，其中m，n是正数，
∴mn==，当且仅当2m=n=时取等号．
故选C．
　
6．“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（　　）条件．
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当k=﹣1时，直线l：y=kx+2k﹣1=﹣x﹣3，即，满足在坐标轴上截距相等，即充分性成立，
当2k﹣1=0，即k=时，直线方程为y=，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=﹣1不成立，即必要性不成立，
故“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，
故选：B
　
7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）
A．12
B．11
C．3
D．﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
由得C（3，2）
目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，
由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11
故选
B
　
8．抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线y2=12x的方程可得焦点F（3，0），准线方程为
x=﹣3．再由抛物线的定义可得抛物线
y2=12x上与焦点的距离等于7的点到准线x=3的距离也等于7，故有x+3=7，由此求得x的值，即为所求．
【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点F（3，0），故准线方程为
x=﹣3．
根据抛物线的定义可得，抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点到准线x=﹣3的距离也等于7，
故有x+3=7，∴x=4，即与焦点的距离等于7的点的横坐标是4，
故选C．
　
9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（　　）
A．或5
B．或5
C．
D．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．
【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．
【解答】解：显然q≠1，所以，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
前5项和．
故选：C
　
10．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）
A．4
B．8
C．12
D．16
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】直线过定点，由椭圆定义可得
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．
【解答】解：直线过定点，
由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故选：B．
　
11．若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥4
B．﹣5＜m≤﹣4
C．﹣5≤m≤﹣4
D．﹣5＜m＜﹣2
【考点】二次函数的性质．
【分析】若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则，解得m的取值范围．
【解答】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，
则，
解得：m≥4，
故选：A．
　
12．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等差数列的通项公式；三角形的面积公式．
【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．
平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①
又△ABC的面积为，且∠B=30°，
由S△=acsinB=ac sin30°=ac=，解得ac=6，
代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，
由余弦定理cosB====．
解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．
故选：B
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．若不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），则a+b的值是　1　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次方程与不等式的关系，利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【解答】解：不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），
可得（x﹣a）（x﹣b）=0的解x1=﹣1，x2=2，
即a=﹣1，b=2，或者a=2，b=﹣1，
∴a+b的值等于1．
故答案为1．
　
14．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A=　60°或120°　．
【考点】正弦定理．
【分析】在△ABC中，由正弦定理可求得∠A．
【解答】解：∵在△ABC中，a=，b=，B=45°，
∴由正弦定理得：
=，即=，
∴sinA=．又a＞b，
∴A＞B，
∴A=60°或A=120°．
故答案为：60°或120°．
　
15．顶点在原点，且过点（﹣2，4）的抛物线的标准方程是　x2=y或y2=﹣8x　．
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】由题意设抛物线方程，代入点（﹣2，4），即可求得抛物线的标准方程．
【解答】解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=﹣2p′x（p＞0，p′＞0）
∵抛物线过点（﹣2，4）
∴22=2p×4或42=﹣2p′×（﹣2）
∴2p=1或2p′=8
∴x2=y或y2=﹣8x
故答案为：x2=y或y2=﹣8x．
　
16．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为　　．
【考点】基本不等式．
【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．
【解答】解：∵a+b=2，
∴=1
∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）
则的最小值是
故答案为：．
　
17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是　7　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】S12＞0，S13＜0，可得＞0，＜0，因此a6+a7＞0，a7＜0，即可得出．
【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，
∴＞0，＜0，
∴a6+a7＞0，a7＜0，
∴a6＞0．
则使an＜0成立的最小值n是7．
故答案为：7．
　
18．设F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2，则△F1PF2的面积为　1　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，由勾股定理得|PF1| |PF2|=2，由此能求出△F1PF2的面积．
【解答】解：∵F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2，
∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| |PF2|=16，
∴|F1F2|2+2|PF1| |PF2|=16，
∴12+2|PF1| |PF2|=16，
∴2|PF1| |PF2|=4，∴|PF1| |PF2|=2，
∴△F1PF2的面积S=|PF1| |PF2|==1．
故答案为：1．
　
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
19．有下列两个命题：
命题p：对 x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．
命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．
若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，然后利用若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，得到p假q真，根据条件确定范围即可．
【解答】解：（1）对 x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时显然成立；
当a≠0时，必有，解得0＜a＜4，所以命题p：0＜a＜4．
函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增，则对称轴，解得a≤8，所以命题q：a≤8，
若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，则p假q真，
所以，
解得a≤0或4≤a≤8．
即实数a的取值范围是a≤0或4≤a≤8．
　
20．已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】设出双曲线方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，即可确定双曲线的几何性质，从而可得双曲线的方程．
【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0）
椭圆的半焦距，离心率为，
两个焦点为（4，0）和（﹣4，0）
∴双曲线的两个焦点为（4，0）和（﹣4，0），离心率
∴，∴a=2
∴b2=c2﹣a2=12
∴双曲线的方程为
　
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设=（﹣3，﹣1），=（sinA，cos2A），求 的最小值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）直接利用余弦定理，求出B的余弦函数值，即可求解B的大小；
（2） =﹣3sinA﹣cos2A，化简，利用配方法，即可求 的最小值．
【解答】解：（1）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，以及a2+c2=b2+ac，
可得cosB=．
B是三角形内角，所以B=．
（2） =﹣3sinA﹣cos2A=2sin2A﹣3sinA﹣1=2（sinA﹣）2﹣，
∵0＜A＜，∴0＜sinA≤1．
∴当sinA=时，取得最小值为﹣．
　
22．某校要建一个面积为450平方米的
( http: / / www.21cnjy.com )矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．
（1）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；
（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）求出矩形的宽，可得y与x的函数关系式，并写出其定义域；
（2）用到基本不等式的性质注意能否取到“=”．
【解答】解：（1）矩形的宽为：米，
=
定义域为{x|0＜x＜150}
注：定义域为{x|0＜x≤150}不扣分
（2）y=
当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米
所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．
　
23．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）bn===，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，
∴，解得a1=3，d=2．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
∴数列{an}的前n项和Sn==n2+2n．
（Ⅱ）bn===，
∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+==．
　
2017年3月8日