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《菱形的判定》教案
【教学目标】
1.知识与技能
理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证、画图和计算。
2.过程与方法
进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。
3.情感态度和价值观
培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
【教学重点】
菱形的判定定理的证明。
【教学难点】
菱形判定定理的灵活应用。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】前两节课中，我们学习了矩形和菱形的性质，在学习中，我们都是按照与平行四边形的对比进行的。大家能正确的说出矩形和菱形的特殊性质吗？21教育网
课件展示
（学生回答）
【过渡】刚刚大家的回答都很正确，既然两种 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊的四边形的性质可以按照类似的方法得出，那么两者之间的判定是否也可以以类似的方法进行呢？大家回忆一下矩形的判定我们是如何得出的，今天我们就来学习菱形的判定。2-1-c-n-j-y
二、新课教学
1．菱形的判定
【过渡】类比于矩形，我们同样先从菱形的定义入手。从上节课的学习中，我们知道，什么情况下是菱形，那么反过来，这个也是成立的。21*cnjy*com
菱形的判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
【过渡】根据这个定理，我们可以在平行四边形的基础上进行判断，那么还有别的判定定理吗？
【过渡】菱形的性质中，有关于对角线的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )菱形的对角线互相垂直。如果把这个性质反过来，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形。这个命题还成立吗？如果成立，我们又该如何证明呢？
课件展示证明过程。
【过渡】经过证明，我们确定这个是成立的。
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【过渡】前边两个定理都是在平行四边形的基础上的判断，如果脱离了平行四边形，什么样的四边形才能满足菱形呢？www.21-cn-jy.com
【过渡】从菱形的边长入手，我们知道，菱形的四条边是一样长的。那么反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？【来源：21cnj*y.co*m】
课件展示证明过程。
【过渡】通过证明，这个命题同样是成立的。
菱形的判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形。
课本例4，讲解。
总结菱形的判定定理。
【知识巩固】1、判断题
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ × ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ × ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ √ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ × ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ √ ）
(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ √） 。
2、四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形。2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN垂直平分对角线BD，
∴OD=OB，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∠MDO＝∠NBO ；OD＝OB ；∠MOD＝∠NOB ，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴OM=ON，
∴四边形MBND是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴四边形MBND是菱形。
3、已知，如图所示，在 ABCD中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )D的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由。21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形。
【达标检测】1、数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ D ）21世纪教育网版权所有
A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等 D．测量四边是否相等
2、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ D ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB=BC B．∠ACB=60°
C．∠B=60° D．AC=BC
3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（ D ）
A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形
B．若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
C．若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
D．若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
4、如图，在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，E，G，F，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且EF=GH，AE=CF，DH=BG，求证：四边形EGFH是菱形。【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵DH=BG，
∴AG=CH，
在△AGE和△FHC中，
AE＝CF ；∠A＝∠C ；AG＝CH，
∴△AGE≌△FHC）SAS），
∴GE=FH，
同理：GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形、
【拓展提升】1、.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
则32+（9-x）2=x2，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF= =
【板书设计】
1、菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形
【教学反思】
举例生活中给人以矩形形象物体；给学生一 ( http: / / www.21cnjy.com )个感性认知。对于新知识的获取能够建立在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，并能体会到自己的探索是有意义、有价值的能培养他们在学习上的自信心，也便于激发他们对学习的浓厚兴趣。另外，学生对自己探究出的结论，记忆也会更加深刻久远，理解也更加渗透到位。这样一种教学方式，更加有助于学生完善学习过程，学生的探索创新思维、创新精神和创造能力将获得极大的提高。www-2-1-cnjy-com
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《菱形的判定》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB=BC B．AC=BD
C．∠ABC=90° D．AC与BD互相平分
3．如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AM=AN B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线 D．∠BAD=120°
4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）21cnjy.com
A．测量对角线是否相互垂直
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量四个角是否相等
D．测四条边是否相等
5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
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A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
6．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（ ）21·cn·jy·com
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A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
二、解答——知识提高运用
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．
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（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四边形ABCD是菱形吗？证明你的判断。
8．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？
9．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA。
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（1）如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2）若E是AB延长线上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）。www.21-cn-jy.com
10．已知，如图所示，在□ABCD中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AD的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由。2·1·c·n·j·y
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11．已知ABCD为平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形纸片，要想用它剪成一个菱形，小刚说只要过BD中点作BD的垂线交AD、BC于E、F，沿BE、DF剪去两个角，所得的四边形BFDE为菱形．你认为小刚的方法对吗？为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵S ABCD=BC AE=CD AF。又AE=AF。
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形。
故选C。
2．【答案】A
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是矩形，不是菱形；
故选：A。
3．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCN= ∠DCB，∠BAM= ∠BAD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
∠D＝∠B；AB＝CD；∠DCN＝∠BAM，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM=CN，BM=DN，
∵AD=BC，
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形。
A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠FAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，故本选项错误；
D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；
故选D。
4．【答案】D
【解析】A、对角线是否垂直不能判定形状；
B、所有的平行四边形的对边均相等，故错误；
C、四个角均相等的四边形是矩形，不能判定形状；
D、其中四边形的四条边都相等，能判定菱形．
故选D．
5．【答案】B
【解析】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B。
6．【答案】B
【解析】∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FDA=∠EAD，∠FAD=∠EDA，
∴AE∥DF，DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，
∴∠AOE=∠DOE=90°，
即：AD⊥EF，
∴平行四边形AEDF是菱形。
故选B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）证明：∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC=5，OB= BD=12，
∵52+122=132，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
8．【答案】如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形不一定是菱形；理由如下：21教育网
∵有两条相互垂直的对称轴的四边形可以是菱形或矩形，
∴如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形不一定是菱形。
9．【答案】证明：在△ABC和△ADC中，
AB＝AD ； BC＝DC； AC＝AC ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
∵BC=DC，
∴OB=OD，
又∵OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）图（2）中面积等于△BCE面积的三角形为△ABC、△ADC、△ABD、△BCD。理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积，
∵BE=AD，AB=AD，
∴BE=AB，
∴△BCE的面积=△ABC的面积，
∴△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积=△BCE的面积，
∴图（2）中面积等于△BCE面积的三角形为△ABC、△ADC、△ABD、△BCD。
10．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形。
11．【答案】小刚的方法对；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
∵O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO＝∠FBO ；∠DEO＝∠BFO ；OD＝OB，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形。
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人教版 八年级下册
18.2 菱形的判定
导入新课
平行四边形
矩形
菱形
一个角是直角
一组邻角相等
一组邻边相等
四个角是直
角（相等）
对角线
相等
四条边
相等
对角线互
相垂直
轴对称性
矩形和菱形的特殊性质
新课学习
菱形的判定
菱形的判定定理1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
还有其他方法吗？
新课学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形的对角线互相垂直。
猜想：
逆命题成立吗？
如何证明？
新课学习
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形
求证：平行四边形ABCD是菱形
已知：在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD
新课学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
数学语言∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
A
B
C
D
菱形的判定定理2：
平行四边形ABCD
菱形ABCD
新课学习
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形。
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
新课学习
四条边都相等的四边形是菱形。
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
数学语言∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理3：
新课学习
例4: 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5,AO=4,BO=3.求证： 平行四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2
∴△OAB是直角三角形, AC⊥ BD.
∴ □ABCD是菱形.
1、判断题
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）
知识巩固
×
√
×
×
√
√
知识巩固
2.四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形。
分析：由矩形的性质得出∠MDO=∠NBO，由ASA证明△MOD≌△NOB，得出OM=ON，证出四边形MBND是平行四边形，再由MN⊥BD，即可得出结论
知识巩固
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠MDO=∠NBO，
∵MN垂直平分对角线BD，
∴OD=OB，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∠MDO＝∠NBO ；OD＝OB ；∠MOD＝∠NOB ，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴OM=ON，∴四边形MBND是平行四边形，
又∵MN⊥BD，∴四边形MBND是菱形．
知识巩固
3.已知，如图所示，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由．
分析：先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出结论
知识巩固
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，
同理：AB=AF，∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形。
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形
+ 邻边相等 =
+对角线线互相垂直 =
四条边相等 + =
菱形的判定方法
达标检测
1.数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否垂直
C．测量一组对角是否相等 D．测量四边是否相等
D
达标检测
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．∠ACB=60°
C．∠B=60° D．AC=BC
D
达标检测
3.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（ ）
A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形
B．若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
C．若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
D．若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
D
达标检测
4.如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且EF=GH，AE=CF，DH=BG，求证：四边形EGFH是菱形．
达标检测
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵DH=BG，∴AG=CH，
在△AGE和△FHC中，
AE＝CF；∠A＝∠C；AG＝CH，
∴△AGE≌△FHC(SAS），∴GE=FH，
同理：GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形.
拓展提升
1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长
拓展提升
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
拓展提升
解析：（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
则32+（9-x）2=x2，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF===．
