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《正方形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。
2.过程与方法
进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。
3.情感态度和价值观
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。
【教学重点】
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
【教学难点】
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在前几天的学习中，我们学习了两种 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊的平行四边形，分别是矩形和菱形。我们将几种不同的四边形进行一个范围的规整。如图所示，我们知道，矩形和菱形都属于平行四边形，又各自具有不同的特征。现在，我想请大家回忆一下，矩形和菱形都是如何从平行四边形得到的？
（学生回答）
【过渡】从矩形和菱形的定义，我们可以知道， ( http: / / www.21cnjy.com )有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形。那么有没有一种图形，又能够同时满足三者的特点呢？今天我们就来探究一下，能够同时满足矩形、菱形的特点的图形——正方形。www.21-cn-jy.com
二、新课教学
1．正方形的定义
【过渡】我们先从矩形来看，如何从一个矩形得 ( http: / / www.21cnjy.com )到一个正方形。大家可以拿一张长方形的纸，将其折叠，使短边与长边重合，得到的这个图形，就是正方形，根据矩形的性质，大家能得到什么结论呢？【来源：21·世纪·教育·网】
（学生回答）
【过渡】我们可以发现，得到的图形的四边是相等的。也就是说，矩形与正方形的关系就是边长的改变。大家来看一下课件的动画。21·世纪*教育网
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD，慢慢的移动其中一条，然后到与短边相等的地方，就得到了正方形。
邻边相等的矩形是正方形。正方形是特殊的矩形。
【过渡】知道了矩形与正方形的关系，那么菱形又与正方形有什么关系呢？观察菱形与正方形的图形，我们发现。www-2-1-cnjy-com
有一个角是直角的菱形是正方形。正方形是特殊的菱形。
【过渡】既然正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，那么就应该具有两者的性质。大家总结一下，正方形都具有哪些性质吧。2·1·c·n·j·y
（学生回答）
课件展示正方形的性质。
【过渡】从矩形和菱形的学习中，我们知道，从性质可以推断出其判定定理。那么正方形的判定又是什么呢？是否是和矩形、菱形一致呢？2-1-c-n-j-y
课件展示判定定理。
【过渡】分别从平行四边形、矩形和菱形的角度得到的正方形的判定定理。在正方形中，两条对角线分成的四个三角形又有什么特点呢？大家来看一下例521*cnjy*com
课件讲解例5。
【过渡】由刚刚的学习，我们可以总结出平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系图。
课件展示。
【知识巩固】1、在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。
解：（1）连接AF
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
∵AF=AF，AE=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴BF=EF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=∠BCD=45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴BF=CE
2、证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形。
解：（1）如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）如图2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．
3、已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
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（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
【达标检测】1、如图，有一 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ C ）21教育网
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A．50 B．55 C．70 D．75
2、如图，正方形AEFG的边AE放置在 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ A ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．-4+4B．4 +4 C．8-4 D． +1
3、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ B ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
4、已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF21·cn·jy·com
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE=BF，∴∠BFE=45°
∵∠CAB=45°，
∴FH⊥AC，
又CB⊥AF，
∴E是△ACF的垂心，
因此AG⊥CF。
5、如图，在△ABC中，∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形。21世纪教育网版权所有
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解：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF∴□AEDF是正方形
【板书设计】
1、正方形的性质：
具有矩形和菱形的性质。
2、正方形的判定。
【教学反思】
结合矩形和菱形的条件得到正方形的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。在分析定义时，强调了正方形定义和前面两类特殊平行四边形的异同。通过归纳矩形和菱形的性质得到正方形的性质，有前面学习的基础，学生掌握的比较轻松。在学习判定方法时，能够引导学生对判定方法进行在证明，引导学生从边角对角线等角度去思考，避免了学生思维混乱，无从下手的局面。
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《正方形》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△ ( http: / / www.21cnjy.com )CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）21教育网
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A．7 B．8 C．7 D．7
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使 ABCD变为正方形．下面四种组
合，错误的是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
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A． B．2C．+1 D．2+1
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）21cnjy.com
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A．（，1） B．（-1，） C．（-，1） D．（-，-1）
二、解答——知识提高运用
7．如图，已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE。求证：
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（1）DE=DF；
（2）若H点为BC的中点，求证：AH⊥ED。
8．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
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9．已知：如图，CE、CF分别是△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的内、外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F，且∠ACB=90°，求证：四边形AECF是正方形。21·cn·jy·com
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10．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P。
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求证：（1）DQ=CP；
（2）OP⊥OQ。
11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC于E，DF∥AB交AC于F，连接EF。
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（1）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由。
12．（1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明AE=BF。
（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？
（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C。
2．【答案】B
【解析】设CH=x，则DH=EH=9-x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE= BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9-x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4。
故选B。
3．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
AB＝CD ；AE＝CF ；BE＝DF ，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
∠ABE＝∠DAG ；∠AEB＝∠DGA＝90° ；AB＝DA ，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12-5=7，
∵∠GEH=180°-90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF=EG=7；
故选：C。
4．【答案】C
【解析】A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C。
5．【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；
故选：B。
6．【答案】C
【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
∠OEC＝∠ADO ；∠3＝∠2 ；OC＝AO ，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1）；
故选：C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）在△AED和△DFC中，
CF＝AE；∠DCF＝∠DAE；AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；
（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，
DA＝AB；∠DAE＝∠ABH；AE＝BH，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE。
8．【答案】∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，
BC＝DC；∠C＝∠C；∠ABC＝∠EDC，
∴△DEC≌△BAC，
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=2。
答：DF的长为2。
9．【答案】∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF= ×180°=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠ACE= ∠ACB=45°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是正方形．°。
10．【答案】（1）∵AD=CD，∠DCP=∠ADQ，
∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
在△DCP和△ADQ中，
∠PDC＝∠DAQ；CD＝AD；∠PCD＝∠QDA，
∴△DCP≌△ADQ，
∴DQ=CP。
（2）证：
在△OPC和△OQD中，
∵CP＝DQ；∠OCP＝∠ODQ；DO＝CO，
∴△OPC≌△OQD，
∴∠POC=∠QOD，
∵∠QOD+∠QOC=90°
∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP。
11．【答案】（1）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
故答案为：∠BAC=90°；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
由（1）得：当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD是等腰直角三角形，
∵DE∥AC，
∴DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴DE= AB，
同理：DF=AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形；
故答案为：∠BAC=90°，且AB=AC。
12．【答案】
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（1）AE=BF，
理由是：∵正方形ABCD，AE⊥BF，
∴AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∠ABE＝∠C；AB＝BC；∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF。
（2）结论还成立，
理由是：过H作HM⊥CD于M，
∵正方形ABCD，AE⊥HG，
∴AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，
∴∠BAE+∠AHP=90°，∠GHM+∠AHP=90°，
∴∠BAE=∠GHM，
与（1）证法类似：证△ABE≌△HMG，
即AE=HG。
（3）结论还成立，
理由是：过E作EN⊥BC于N，
由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，
∵∠EPH=∠HOE=90°，∠EQP=∠HQN，
∴∠NEF=∠GHM，
在△ENF和△HMG中
∠ENF＝∠HMG；EN＝HM；∠NEF＝∠MHG，
∴△ENF≌△HMG，
∴EF=HG。
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人教版 八年级下册
18.2 正方形
导入新课
平行四边形
矩形
菱形
？
有一个角为直角
邻边相等
是什么？
新课学习
A
B
C
D
A
B
C
D
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
正方形是特殊的矩形
邻边相等的矩形。
正方形
新课学习
正方形
★正方形是特殊的菱形
一个角是直角的菱形。
新课学习
轴对称图形，有4条对称轴
O
A
B
C
D
(A)
(B)
1、对称性
正方形的性质
四边相等
2、边
AB=BC=CD=DA
四角相等
3、角
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
4、对角线
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
新课学行四边形
正方形
一组邻边相等
一个内角是直角
正方形的判定
1、定义法
∵ □ABCD中，AB=BC且∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
新课学习
正方形
菱形
一内角是直角
2、菱形法
∵ 菱形ABCD中，∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
新课学习
矩形
一组邻边相等
正方形
3、矩形法
A
B
C
D
A
B
C
D
∵ 矩形ABCD中，AB=BC，
∴ABCD为正方形.
新课学习
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O。
求证： △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是全等的等腰直角三角形。
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形．
O
A
B
C
D
新课学习
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°
∴AC=BD，AC ⊥ BD,AO=BO=CO=DO
∴△ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌ △ CDO ≌ △ DAO
结论很重要！
新课学行四边形
矩形
菱形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
新课学行四边形
矩形
菱形
正
方
形
知识巩固
1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，
求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。
分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF
（2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角形即可
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=∠BCD=45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴BF=CE
知识巩固
解析：（1）连接AF
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
∵AF=AF，AE=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴BF=EF；
知识巩固
2.证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形。
分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
知识巩固
解：（1）如图1所示：
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
知识巩固
解：（2）如图2所示：
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．
知识巩固
3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
知识巩固
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
课堂小结
轴对称图形，有4条对称轴
四边相等
四角相等
正方形的性质
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形的判定
达标检测
1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）
A．50 B．55 C．70 D．75
分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
C
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2.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．-4+4B．4 +4 C．8-4 D． +1
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
A
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3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60°
C．54° D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
B
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4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
达标检测
解析：如图，
∵BE=BF，∴∠BFE=45°
∵∠CAB=45°，
∴FH⊥AC，
又CB⊥AF，
∴E是△ACF的垂心，
因此AG⊥CF。
达标检测
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形
达标检测
解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF∴□AEDF是正方形
