黑龙江省虎林市高级中学2016-2017学年高二下学期开学摸底考试（3月）数学（文）试题 Word版含答案

虎林市高级中学高二学年开学摸底考试
文科数学试题
(时间：120分钟　满分：120分)
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1.
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.
请将答案正确填写在答题卡上
一、
选择题
1．已知命题，则它的否定是（
）
A．存在
B．任意
C．存在
D．任意
2.
椭圆
的左、右焦点分别为
，
是
上两点，
，
，则椭圆
的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（
）
A．20人，30人，10人
B．30人，30人，30人
C．30人，45人，15人
D．30人，50人，10人
4.
已知F为双曲线C：
的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（
）
A．11
B．22
C．33
D．44
5．过的直线与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
6.
已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点F
1
,F
2
,点P是两曲线的一个公共点,
又分别是两曲线的离心率,若PF
1
PF
2
,则
的最小值为(
)
A．
B．4
C．
D．9
7.
已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线
的距离为
，则
的最小(
)
A．
B．
C．
D．
8.
已知圆
的圆心为抛物线
的焦点，直线
与圆
相切，则该圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.
已知抛物线
的准线过椭圆
的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，
的面积为
，则椭圆的离心率为(

)
A.

B.

C.
D.
10.
函数
的图象与直线
相切,
则

A．
B．
C．
D．
1
11.
函数
在（0，1）内有极小值，则实数
b
的取值范围是
A．（0，1）
B．（-∞，1）
C．（0，+∞）
D．（0，
）
12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、
填空题
13.
设
，则当
与
两个函数图象有且只有一个公共点时，
__________.
14.
对于三次函数
给出定义：
设
是函数
的导数，
是函数
的导数，
若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
=
.
15.
已知曲线y＝(a－3)x
3
＋ln
x存在垂直于y轴的切线，函数f(x)＝x
3
－ax
2
－3x＋1在上单调递增，则a的取值范围为________．
16.
设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)2
f(－1)从小到大依次排列为__________________．(e为自然对数的底数)
17.
做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.
三、
解答题
18.
已知函数
的定义域为，值域为
，
]，并且
在
，
上为减函数．
（1）求
的取值范围；

（2）求证：
；
（3）若函数
，
，
的最大值为M，
求证：
19.
已知函数f(x)＝
x
3
＋ax
2
＋bx(a，b∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(1)＝
，且函数f(x)在
上不存在极值点，求a的取值范围．
20.
已知动点
到定点
的距离与到定直线
：
的距离相等，点C在直线
上。
（1）求动点
的轨迹方程。
（2）设过定点
，且法向量
的直线与（1）中的轨迹相交于
两点且点
在
轴的上方。判断
能否为钝角并说明理由。进一步研究
为钝角时点
纵坐标的取值范围。
21.
已知抛物线
：
和点
，若抛物线
上存在不同两点
、
满足
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）当
时，抛物线
上是否存在异于
、
的点
，使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
22．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个根，证明：.
文科数学试题答案
一、选择题
1、A
2、
D
3、C
4、
D5、
B
6、
C
7、
D8、
B
9、
C
10、
B
11、
D
12、
D
二、填空题
13、
14、
2012
15、
(－∞，0]
16、
f(3)2
f(－1)
17、
3
三、解答题
18、
解．（1）按题意，得
．
　
∴　
　即　
．

3分
又
∴　关于x的方程
．
在（2，＋∞）内有二不等实根x＝
、
．
关于x的二次方程
在（2，＋∞）内有二异根
、
．
．　　故　
．
6分
（2）令
，则
．
∴　
．
10分
（3）∵　
，
．
∵　
，　∴　当
（
，4）时，
；当
（4，
）是
．
又
在上连接，　　∴　
在上递增，在上递减．
故　
．

12分
∵　
，　　∴　0＜9a＜1．故M＞0．　若M≥1，则
．
∴　
，矛盾．故0＜M＜1．

14分
19、
（1）当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－
)，(－1＋
，＋∞)；减区间为(－1－
，－1＋
)．（2）(－∞，0]
20、
解（1）动点
到定点
的距离与到定直线
：
的距离相等，所以
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，轨迹方程为
（4分）
（2）方法一：由题意，直线
的方程为
（5分）
故A、B两点的坐标满足方程组
得
，

设
，则
，

由
，所以
不可能为钝角。
若
为钝角时，
,
得


若
为钝角时，点C纵坐标的取值范围是


注：忽略
扣1分
方法二：由题意，直线
的方程为

故A、B两点的坐标满足方程组
得
，
设
，则
，

由
，所以
不可能为钝角。
过
垂直于直线
的直线方程为
令
得
为钝角时，点C纵坐标的取值范围是


注：忽略
扣1分
21、
解法1：（1）不妨设
A
，
B
，且
，
∵
，∴
．
∴
，
．…………………4分
∵
（
），即
，
∴
，即
的取值范围为
．…………………6分
（2）当
时，由（1）求得
.
的坐标分别为
.
．
假设抛物线
上存在点
（
且
），………
使得经过
.
.
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线．
设经过
.
.
三点的圆的方程为
，
则

整理得
．
①………
∵函数
的导数为
，
∴抛物线
在点
处的切线的斜率为
，
∴经过
.
.
三点的圆
在点
处的切线
斜率为
．………10分
∵
，∴直线
的斜率存在．
∵圆心
的坐标为
，
∴
，
即
．
②…………………
∵
，由①.②消去
，得
．
即
．
∵
，∴
．
故满足题设的点
存在，其坐标为
．…………………
解法2：（1）设
，
两点的坐标为
，且
。
∵
，可得
为
的中点，
即
．…………………2分
显然直线
与
轴不垂直，
设直线
的方程为
，
即
，………………
将
代入
中，
得
． ………………
∴
∴
．
故
的取值范围为
．
………………
（2）当
时，由（1）求得
，
的坐标分别为
．
假设抛物线
上存在点
（
且
），
使得经过
.
.
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为
，
∵

∴
即
………………
解得
…………………
∵抛物线
在点
处切线的斜率为
，
而
，且该切线与
垂直，∴
．
即
．…………………
将
，
代入上式，
得
．
即

∵
且
，∴
．
故满足题设的点
存在，其坐标为
．

22、
（22．解：（1），
所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.
（2）若方程有两个根，
则，即.
要证，需证，即证，
设，则等价于.
令，则，
所以在上单调递增，，即，故.