19.1.1 矩形的性质 同步练习

19.1.1 矩形的性质
基础训练
1.在?ABCD中,添加一个条件使?ABCD变成矩形,则添加的条件可以是(　　)
A.AD=CD B.∠B+∠D=180°
C.AC=2AB D.对角线互相垂直
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是(　　)
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,∠DAE∶∠BAE=3∶1,则∠EAO等于(　　)
A.22.5°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.67.5°
4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC、BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为_________.?
5.如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F,连结CE,已知△CDE的周长为24,则矩形ABCD的周长是　　　　.
6.如图,在矩形ABCD中,E、F为BC上两点,且BE=CF,连结AF、DE交于点O.求证:
(1)△ABF≌△DCE;
(2)△AOD是等腰三角形.
培优提升
1. 矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A.对角线互相平分 B.两组对角分别相等
C.两组对边分别相等 D.对角线相等
2.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
3. 如图,将矩形ABCD沿AE折叠,若∠BAD'=30°,则∠AED'等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有(　　)
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
5.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2,则S1、S2的大小关系是(　　)
A.S1>S2 B.S1=S2
C.S16.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,点P是AB上除A、B外任一点,对角线AC、BD相交于点O,DP、CP分别交AC、BD于点E、F,且△ADE和△BCF的面积之和为4 cm2,则四边形PEOF的面积为(　　)
A.1 cm2　 B.1.5 cm2　 C.2 cm2　 D.2.5 cm2
7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连结B'D,则B'D的最小值是(　　)
A.-2 B.6
C.-2 D.4
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,点E、F分别是边BC、AD上一点,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C、D分别落在点C'、D'处.若C'E⊥AD,则EF的长为　　　　cm.
9.如图,在矩形ABCD中,沿EF将矩形折叠,使A、C两点重合,AC与EF相交于点H.
(1)求证:△ABE≌△AGF;
(2)若AB=6,BC=8,求△ABE的面积.
10.如图,四边形ABCD是矩形,E为AD上一点,且∠CBD=∠EBD,P为对角线BD上一点,PN⊥BE于点N,PM⊥AD于点M.
(1)求证:BE=DE;
(2)试判断AB和PM、PN的数量关系,并说明理由.(提示:面积法)
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B　
解：在?ABCD中,∠B=∠D,若∠B+∠D=180°,则∠B=90°.由“有一个
角是直角的平行四边形是矩形”可知,这时?ABCD是矩形.
2.【答案】D　3.【答案】B　
4.【答案】　
解：本题考查线段垂直平分线的性质及矩形的性质.
∵AE垂直平分OB,∴AO=AB=3,∴BD=AC=2AO=6.
在Rt△BAD中,AD===.
5.【答案】48　
解：∵OA=OC,EF⊥AC,∴AE=CE,∵DE+CD+CE=24,∴矩形ABCD的周长=2(AD+DC)=2(AE+DE+DC)=2(CE+DE+CD)=48.
6.证明:(1)∵BE=CF,∴BF=CE.∵AB=DC,∠B=∠C=90°,BF=CE,∴△ABF≌△DCE.
(2)由(1)知△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,又∵AD∥BC,∴∠DEC=∠ADO,∠DAF=∠AFB,∴∠ADO=∠DAF,∴OA=OD,∴△AOD为等腰三角形.
【培优提升】
1.【答案】D
2.【答案】B　
解：∵四边形ABCD为矩形,∴AO=OD,∵∠AOD=60°,∴△AOD为等边三角形.∴AO=AD=2,∴AC=4,故选B.
3.【答案】C　
解：根据题意得:∠DAE=∠EAD',∠D'=∠D=90°.∵∠BAD'=30°,∴∠EAD'=×(90°-30°)=30°.∴∠AED'=90°-30°=60°.故选C.
4.【答案】C　
解：题图中全等的直角三角形有:Rt△AED≌Rt△FEC,Rt△BDC≌Rt△FDC≌Rt△DBA,共4对.故选C.
5.【答案】B　
解：∵S△ABC=S1=S2,∴S1=S2.
6.【答案】A　
解：由已知条件,根据矩形的性质可以求出△CPD的面积,那么△APD与△BCP的面积之和可以求出,减去△ADE与△BCF的面积之和就是△AEP与△BFP的面积之和,根据矩形的性质能求出△AOB的面积,减去△AEP与△BFP的面积之和即得四边形PEOF的面积.
7.【答案】A　
解：连结DE,在△DEB'中,D、E均为定点,B'随着F的位置移动而改变位置且EB'=2.当B'在线段DE上时B'D最小,此时DB'=DE-EB'=-2=-2.
8.【答案】
9.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠BAD=∠BCD.
由折叠的性质得:AG=CD,∠EAG=∠BCD,
∴AB=AG,∠BAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠GAF.
∵AD∥BC,AE∥GF,
∴∠BEA=∠EAF=∠GFA.
在△ABE和△AGF中,
∴△ABE≌△AGF(A.A.S.).
(2)解:根据折叠的性质可得AE=EC,
设BE=x,则AE=EC=8-x,
在Rt△ABE中,根据勾股定理可得62+x2=(8-x)2,
解得x=,
则S△ABE=AB·BE=×6×=.
10.(1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EDB=∠CBD.
又∵∠CBD=∠EBD,
∴∠EDB=∠EBD.
∴BE=DE.
(2)解:AB=PM+PN.理由如下:连结EP.
S△BDE=DE·AB,
S△PDE=DE·PM,
S△PBE=BE·PN,
又∵S△BDE=S△PDE+S△PBE,
由(1)可知DE=BE,
∴AB=PM+PN.