19.1.2 矩形的判定 同步练习

19.1.2 矩形的判定
基础训练
1.下列命题正确的是(　　)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相平分的四边形是矩形
2.四边形ABCD的对角线相交于点O,且OA=OB=OC=OD,则这个四边形(　　)
A.仅是轴对称图形
B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
C.仅是中心对称图形
D.既是轴对称图形,又是中心对称图形
3.在?ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是(　　)
A.AB=AD B.OA=OB
C.AC=BD D.DC⊥BC
4.如图,AB∥CD,PM、PN、QM、QN分别为∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线,则四边形PMQN是_____________.?
5.如图,要使平行四边形ABCD为矩形,应添加的条件是_____.(只填一个)
6.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从 ①AB=CD;②AB∥CD;③OA=OC;④OB=OD;⑤AC=BD;⑥∠ABC=90°这六个条件中,可选取三个推出四边形ABCD是矩形,如由①②⑤可推出四边形ABCD是矩形.请再写出符合要求的两组条件:　　　　;　　　　.?
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.求证:四边形ADCE为矩形.
培优提升
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是(　　)
A.AB∥CD,AB=CD,AC=BD
B.∠BAC=∠ABC=∠ADC=90°
C.AB=BC,AD=CD,∠BCD=90°
D.AB=CD,AD=BC,∠BAC=90°
2.在?ABCD中,AB=3,BC=4,当?ABCD的面积最大时,下列结论正确的有(　　)
①AC=5;②∠A+∠C=180°;
③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
3.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=2,过D作DH⊥AB于H.BH=3,DH=6,则CD的长是(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A'、D'处,则整个阴影部分图形的周长为(　　)
A.18 cm B.36 cm C.40 cm D.72 cm
5.如图,在矩形ABCD中,AB=20 cm,BC=4 cm,点P从点A开始沿折线
A—B—C—D以4 cm/s的速度运动,点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,若其中一点到达D点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s,当t=　　　时,四边形APQD为矩形.
6.如图,将边长为2个单位的等边三角形ABC沿边BC向右平移1个单位后得到△DEF,则四边形AECD为　　　　.?
7.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°,得到△FEC,连结AE、BF.当∠ACB=　　　　时,四边形ABFE是矩形.
8.在?ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF、BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若CF=3,BF=4,DF=5.求证:AF平分∠DAB.
9.如图,过原点的两条直线分别与双曲线y=(k>0)交于A、B、P、Q四点,点A、P在第一象限,设点A的横坐标为m.
(1)点B的坐标为　　　　(用含m,k的式子表示);?
(2)说明四边形APBQ一定是平行四边形;
(3)设点P的横坐标为n,则四边形APBQ可能是矩形吗?若可能,写出mn满足的条件.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】C
2.【答案】D　
解：由四边形ABCD的对角线相交于点O且OA=OB=OC=OD,易知四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选D.
3.【答案】A　
解：根据矩形的判定方法进行判断即可.
4.【答案】矩形
5.【答案】AC=BD　
解：答案不唯一.
6.【答案】①②⑥;③④⑥　
解：∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,本题答案不唯一.
7.证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
【培优提升】
1.【答案】C　
解：A.∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形;B.∵∠BAC=∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形;C.根据AB=BC,AD=CD,∠BCD=90°不能推出四边形ABCD是矩形;D.∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠BAC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.故选C.
2.【答案】B　
解：根据题意得:当?ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,∴AC==5.
①正确,②正确,④正确,③不正确.
3.【答案】A　
解：过C作DH的垂线CE交DH于E,易得四边形BCEH是矩形,所以CE=BH=3,HE=BC=2,所以DE=DH-HE=4,在Rt△DCE中由勾股定理可求得CD的长.
4.【答案】B　
解：由题意可知,AE=A'E,DF=D'F,AD=A'D',而阴影部分的周长=CF+FD'+CB+BE+EA'+A'D'=CF+FD+CB+BE+EA+AD=2(AB+BC)=2×(12+6)=36(cm),故选B.
5.【答案】4　
解：∵四边形APQD为矩形,∴AP=DQ,即4t=20-t,t=4.
6.【答案】矩形　
解：易知AD=BE=1,AD∥EC,∴CE=2-1=1=AD,∴四边形AECD是平行四边形,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,又∵BE=EC=1,∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴平行四边形AECD是矩形.
7.【答案】60°　
解：易知AC=CF,BC=CE,∴四边形ABFE是平行四边形.要使?ABFE是矩形,只需AF=BE,即AC=BC,∴AC=BC=AB,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.
8.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形.
∴DC∥AB,即DF∥BE.
又∵DF=BE,∴四边形BFDE为平行四边形.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE为矩形.
(2)∵四边形BFDE为矩形.
∴∠BFC=90°.
∵CF=3,BF=4,∴BC==5,
∴AD=BC=5,
∵DF=5,∴AD=DF,
∴∠DAF=∠DFA.
∵DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,
∴∠DAF=∠FAB,
即AF平分∠DAB.
9.解:(1)
(2)∵双曲线的两个分支关于原点对称,
∴OA=OB,OP=OQ,∴四边形APBQ是平行四边形.
(3)四边形APBQ可能是矩形.
∵点A的横坐标为m,点P的横坐标为n,
∴点A的纵坐标为,点P的纵坐标为.
若四边形APBQ是矩形,则OA=OP,即m2+=n2+,解得mn=±k.
∵点A、P在第一象限,
∴m>0,n>0,
∴mn=k.