19.2.1 菱形的性质 同步练习
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19.2.1 菱形的性质
基础训练
1.边长为3 cm的菱形的周长是( )
A.6 cm B.9 cm
C.12 cm D.15 cm
2.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O,当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的长为( )
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
4.如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,若∠BAC=50°,则∠ABC等于( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
5.已知一个菱形的周长为40,两条对角线的长度比为4∶3,则菱形的高为( )
A.10 B.96 C.9.6 D.以上都不对
6.如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点O在原点,点C的坐标为(4,0),点B的纵坐标是-1,则顶点A的坐标是_________.?
7.如图,AC是?ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.
(1)求证:AB=BC;
(2)若AB=5,AC=8,求?ABCD的面积.
培优提升
1.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于( )
A. B. C.5 D.4
2.如图,四边形ABCD是菱形,AC、BD交于点O,过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E,则下列式子不成立的是( )
A.DA=DE B.BD=CE
C.∠EAC=90° D.∠ABC=2∠E
3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连结DF,则∠CDF等于( )
A.60° B.65° C.70° D.80°
4.如图, 在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC上,连结BM、DN,若四边形MBND是菱形,则等于( )
A. B. C. D.
5.如图,在菱形ABCD中,BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,且AE=DE,则∠EBF等于 .
6. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=6,BD=8,将△AOB沿AD方向平移,平移的距离为线段AD的长度,平移后得△DEC,则四边形ACED的周长等于 .
7.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值为 .
8.已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,E、F分别为BC和CD的中点,求证:△AEF为等边三角形.
9.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连结BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
10.如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A. B.2 C.3 D.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D
4.【答案】C
解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=50°,∴∠ABC=180°-50°-50°=80°,故选C.
5.【答案】C
6.【答案】(2,1)
解：∵点C的坐标为(4,0),∴OC=4.又∵点B的纵坐标是-1,∴结合题意,易得顶点A的坐标为(2,1).
7.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
(2)解:连结BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=AC=4,OB=OD=BD,
∴OB===3,
∴BD=2OB=6,
∴?ABCD的面积=AC·BD=×8×6=24.
【培优提升】
1.【答案】A
解：由菱形的对角线互相垂直平分,易得AB==5;根据菱形面积等于两对角线乘积的一半,可得S菱形ABCD=×6×8=24,所以S△ABD=AB·DH=×5×DH=12,解得DH=.
2.【答案】B
解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CE,AB=DA,∠ABC=2∠ABD,BD⊥AC,
∴∠OAD+∠ODA=90°.
又∵BD∥AE,∴四边形ABDE是平行四边形,∠EAD=∠ODA,
∴DA=AB=DE,∠E=∠ABD,∠EAC=∠EAD+∠OAD=90°,
∴∠ABC=2∠E,故不成立的是BD=CE.故选B.
3.【答案】A
解：如图,连结BD、BF,
∵∠BAD=80°,∴∠ADC=100°,易知∠FAD=40°,∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,∴AF=BF,BF=DF,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD=40°,
∴∠CDF=100°-40°=60°.故选A.
4.【答案】C
解：此题中求的是线段的比值,所以在解题过程中用取特殊值法较为简单,设AB=1,则AD=2,若四边形MBND是菱形,则MB=MD,又因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°,设AM=x,则MB=2-x,由勾股定理得:AM2+AB2=MB2,所以x2+12=(2-x)2,解得:x=,所以MD=2-=,所以=,故选C.
5.【答案】60°
解：连结BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,由菱形ABCD,可知
AB=AD,∴AB=BD=AD,∴∠ADB=60°,∴∠ADC=120°.在四边形DEBF
中,∵∠ADC=120°,∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EBF=60°.
6.【答案】18
解：∵在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,∴易得AD=5.由平移的性质,得DE=AO=AC=3,CE=BO=BD=4,
∴四边形ACED的周长=AD+DE+CE+AC=5+3+4+6=18.
7.【答案】
解：连结DE交AC于点F,则EF+BF的最小值为DE的长.连结BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵∠DAB=60°,∴△ADB为等边三角形,∵点E为AB的中点,∴AE=BE=1,DE⊥AB,∴在Rt△AED中,由勾股定理得:DE==.
8.证明:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF.
(2)连结AC,∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
又∵E是BC的中点
∴AE⊥BC,∴∠BAE=90°-60°=30°.
同理∠DAF=30°.∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴∠BAD=120°,
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°.
又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.
9.(1)证明:由旋转可知,AF=AC,AE=AB,∠EAF=∠BAC,∴∠BAE=∠CAF.
又∵AB=AC,∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
(2)解:∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1,
∴AC∥DE,DE=AE=AB=1.
又∵∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,
∴∠BAE=90°.
∴BE===,
∴BD=BE-DE=-1.
10.【答案】A
解：连结CF,由菱形ABCD和菱形ECGF易证BD∥CF,故S△BDF=S△BCD.所以S△BDF=S菱形ABCD=.
基础训练
1.边长为3 cm的菱形的周长是( )
A.6 cm B.9 cm
C.12 cm D.15 cm
2.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O,当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的长为( )
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
4.如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,若∠BAC=50°,则∠ABC等于( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
5.已知一个菱形的周长为40,两条对角线的长度比为4∶3,则菱形的高为( )
A.10 B.96 C.9.6 D.以上都不对
6.如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点O在原点,点C的坐标为(4,0),点B的纵坐标是-1,则顶点A的坐标是_________.?
7.如图,AC是?ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.
(1)求证:AB=BC;
(2)若AB=5,AC=8,求?ABCD的面积.
培优提升
1.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于( )
A. B. C.5 D.4
2.如图,四边形ABCD是菱形,AC、BD交于点O,过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E,则下列式子不成立的是( )
A.DA=DE B.BD=CE
C.∠EAC=90° D.∠ABC=2∠E
3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连结DF,则∠CDF等于( )
A.60° B.65° C.70° D.80°
4.如图, 在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC上,连结BM、DN,若四边形MBND是菱形,则等于( )
A. B. C. D.
5.如图,在菱形ABCD中,BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,且AE=DE,则∠EBF等于 .
6. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=6,BD=8,将△AOB沿AD方向平移,平移的距离为线段AD的长度,平移后得△DEC,则四边形ACED的周长等于 .
7.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值为 .
8.已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,E、F分别为BC和CD的中点,求证:△AEF为等边三角形.
9.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连结BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
10.如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A. B.2 C.3 D.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D
4.【答案】C
解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=50°,∴∠ABC=180°-50°-50°=80°,故选C.
5.【答案】C
6.【答案】(2,1)
解：∵点C的坐标为(4,0),∴OC=4.又∵点B的纵坐标是-1,∴结合题意,易得顶点A的坐标为(2,1).
7.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
(2)解:连结BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=AC=4,OB=OD=BD,
∴OB===3,
∴BD=2OB=6,
∴?ABCD的面积=AC·BD=×8×6=24.
【培优提升】
1.【答案】A
解：由菱形的对角线互相垂直平分,易得AB==5;根据菱形面积等于两对角线乘积的一半,可得S菱形ABCD=×6×8=24,所以S△ABD=AB·DH=×5×DH=12,解得DH=.
2.【答案】B
解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CE,AB=DA,∠ABC=2∠ABD,BD⊥AC,
∴∠OAD+∠ODA=90°.
又∵BD∥AE,∴四边形ABDE是平行四边形,∠EAD=∠ODA,
∴DA=AB=DE,∠E=∠ABD,∠EAC=∠EAD+∠OAD=90°,
∴∠ABC=2∠E,故不成立的是BD=CE.故选B.
3.【答案】A
解：如图,连结BD、BF,
∵∠BAD=80°,∴∠ADC=100°,易知∠FAD=40°,∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,∴AF=BF,BF=DF,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD=40°,
∴∠CDF=100°-40°=60°.故选A.
4.【答案】C
解：此题中求的是线段的比值,所以在解题过程中用取特殊值法较为简单,设AB=1,则AD=2,若四边形MBND是菱形,则MB=MD,又因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°,设AM=x,则MB=2-x,由勾股定理得:AM2+AB2=MB2,所以x2+12=(2-x)2,解得:x=,所以MD=2-=,所以=,故选C.
5.【答案】60°
解：连结BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,由菱形ABCD,可知
AB=AD,∴AB=BD=AD,∴∠ADB=60°,∴∠ADC=120°.在四边形DEBF
中,∵∠ADC=120°,∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EBF=60°.
6.【答案】18
解：∵在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,∴易得AD=5.由平移的性质,得DE=AO=AC=3,CE=BO=BD=4,
∴四边形ACED的周长=AD+DE+CE+AC=5+3+4+6=18.
7.【答案】
解：连结DE交AC于点F,则EF+BF的最小值为DE的长.连结BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵∠DAB=60°,∴△ADB为等边三角形,∵点E为AB的中点,∴AE=BE=1,DE⊥AB,∴在Rt△AED中,由勾股定理得:DE==.
8.证明:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF.
(2)连结AC,∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
又∵E是BC的中点
∴AE⊥BC,∴∠BAE=90°-60°=30°.
同理∠DAF=30°.∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴∠BAD=120°,
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°.
又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.
9.(1)证明:由旋转可知,AF=AC,AE=AB,∠EAF=∠BAC,∴∠BAE=∠CAF.
又∵AB=AC,∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
(2)解:∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1,
∴AC∥DE,DE=AE=AB=1.
又∵∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,
∴∠BAE=90°.
∴BE===,
∴BD=BE-DE=-1.
10.【答案】A
解：连结CF,由菱形ABCD和菱形ECGF易证BD∥CF,故S△BDF=S△BCD.所以S△BDF=S菱形ABCD=.