2.2.3运用乘法公式进行计算同步练习
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湘教版版七年级下册数学2.2.3运用乘法公式进行计算同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 若a2+ab+b2+A=(a-b) 2,则A式应为( )
A.ab B.-3ab C.0 D.-2ab
2. 如果a2-b2=4，那么(a+b)2(a-b)2的结果是( )
A.32 B.16 C.8 D.4
3. 计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )
A.a4-1 B.a4+1 C.a4+2a2+1 D.a4-2a2+1
4. 计算(m-2n-1)(m+2n-1)的结果为( )
A.m2-4n2-2m+1 B.m2+4n2-2m+1
C.m2-4n2-2m-1 D.m2+4n2+2m-1
5. 若一个正方形的边长增加3 cm，它的面积增加45 cm2，则此正方形原来的边长为( )
A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.无法确定2·1·c·n·j·y
6.计算(2a+3b)2(2a-3b) 2的结果是( )
A.4a2-9b2 B.16a4-72a2b2+81b4
C.(4a2-9b2)2 D.4a4-12a2b2+9b4
7. 设正方形的面积为S1 cm2，长方形的面积为S2 cm2，如果长方形的长比正方形的边长多3 cm，宽比正方形的边长少3 cm.那么S1与S2的大小关系是( )www-2-1-cnjy-com
A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.不能确定
8.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得：(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,即：（a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.①【出处：21教育名师】
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.
下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A.(a+1)(a2+a+1)=a3+1 B.(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3
C.(a+3)(a2-3a+9)=a3+27 D.(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3
二、填空题(本大题共6小题)
9. 已知a-b=3,则a(a-2b)+b2的值为 .
10.计算(-3x+2y-z)(3x+2y+z)= .
11. 下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.21教育网
12. 已知a＋b＝2，ab＝1，则a2＋b2的值是 ．
13. 已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，则的值是__________．
14. 下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．2-1-c-n-j-y
三、计算题(本大题共4小题)
15. 计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；
(2)(－m＋n)(－m－n)；
(3)(－2x－3)(2x－3)．
16. 先化简，再求值：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2，其中m＝－2，n＝.
17. 一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？
18. 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．
19. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.21·cn·jy·com
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. B
分析：先根据完全平方差公式把等式的右边展开，然后移项、合并同类项，解答A值．
解：因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+ab+b2+A=a2-2ab+b2,所以A=-3ab. 选B.
2. B
分析：把（a+b）2（a-b）2利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可．
解：（a+b）2（a-b）2=[（a+b）（a-b）]2=（a2-b2）2，
∵a2-b2=4，∴原式=42=16．故选B．
3. D
分析：此题首先利用积的乘方公式把所求代数式变为[（a+1）（a-1）]2，然后利用平方差公式化简，再利用完全平方公式即可求出结果．21*cnjy*com
解：（a+1）2（a-1）2，
=[（a+1）（a-1）]2，
=（a2-1）2=a4-2a2+1．故选D．
4. A
分析：采用整体思想将（m-1）看成整体利用平方差计算即可。
解： (m-2n-1)(m+2n-1)
=[(m-1)-2n][(m-1)+2n]
=(m-1)2-4n2
=m2-2m+1-4n2
=m2-4n2-2m+1. 选A.
5.A
分析：利用方程思想求边长即可。
解：设此正方形原来的边长为x，则x2+45=（x+3）2，
∴（x+3+x）（x+3-x）=45，
∴x=6，故选A．
6B
分析：先利用平方差公式再利用完全平方公式解答即可。
解： (2a+3b)2(2a-3b)2
=[(2a+3b)(2a-3b)]2
=(4a2-9b2)2
=16a4-72a2b2+81b4. 选B.
7. A
分析：利用方程思想和面积公式可解答。
解; 设正方形边长为x，
可得长方形长为x+3，宽为x-3，
得出S1=x2，S2=（x+3）（x-3）=x2-9，
∴S1＞S2，故选A．
8.A
分析：本题需先根据多项式乘法的立方公式分别对每一项进行计算，即可得出答案．
解：解：A、（a+1）（a2+a+1）=a3+2a2+2a+1，故本选项错误；
B、（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3+y3，故本选项正确；
C、（a+3）（a2-3a+9）=a3+27，故本选项正确；
D、（x+4y）（x2-4xy+16y2）=x3+64y3，故本选项正确．故选A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：先将原式化简,然后将a-b=1整体代入求解。
解：a(a-2b)+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
当a-b=3时,原式=32=9.答案:9
10.分析：将（3x+z）看成一个整体利用平方差进行计算即可。
解：(-3x+2y-z)(3x+2y+z)
=[2y-(3x+z)][2y+(3x+z)]
=4y2-(3x+z)2
=4y2-9x2-6xz-z2.答案:4y2-9x2-6xz-z2
11. 分析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.21cnjy.com
解：(a＋b)2－4ab＝(a－b)2
12.分析：利用完全平方公式有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，把2ab移到等式的左边，可得(a＋b)2－2ab＝a2＋b2，然后代入求值即可．www.21-cn-jy.com
解：∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2aB．∵a＋b＝2，ab＝1，∴a2＋b2＝22－2×1＝2.21·世纪*教育网
13.分析：原等式可化为(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，根据非负数的特点知a＋2＝0且b－1＝0，从而可知a＝－2且b＝1.然后将其代入求的值即可．
解：
14. 分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于(b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【来源：21cnj*y.co*m】
解：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
三、计算题(本大题共4小题)
15.
分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将【来源：21·世纪·教育·网】
原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．
解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.
(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.
(3)(－2x－3)(2x－3)＝ (－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.
16.解：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2＝5(m2－n2)－2(m2＋2mn＋n2)－3(m2－2mn＋n2)＝5m2－5n2－2m2－4mn－2n2－3m2＋6mn－3n2＝－10n2＋2mn.当m＝－2，n＝时，原式＝－10n2＋2mn＝－10×2＋2×(－2)×＝－.【版权所有：21教育】
17.分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．21教育名师原创作品
解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，
即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．
故这个正方形的边长是5 cm.
18.分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.
19. 解：解：（1）∵（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），21世纪教育网版权所有
故答案为：1．
一、选择题(本大题共8小题)
1. 若a2+ab+b2+A=(a-b) 2,则A式应为( )
A.ab B.-3ab C.0 D.-2ab
2. 如果a2-b2=4，那么(a+b)2(a-b)2的结果是( )
A.32 B.16 C.8 D.4
3. 计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )
A.a4-1 B.a4+1 C.a4+2a2+1 D.a4-2a2+1
4. 计算(m-2n-1)(m+2n-1)的结果为( )
A.m2-4n2-2m+1 B.m2+4n2-2m+1
C.m2-4n2-2m-1 D.m2+4n2+2m-1
5. 若一个正方形的边长增加3 cm，它的面积增加45 cm2，则此正方形原来的边长为( )
A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.无法确定2·1·c·n·j·y
6.计算(2a+3b)2(2a-3b) 2的结果是( )
A.4a2-9b2 B.16a4-72a2b2+81b4
C.(4a2-9b2)2 D.4a4-12a2b2+9b4
7. 设正方形的面积为S1 cm2，长方形的面积为S2 cm2，如果长方形的长比正方形的边长多3 cm，宽比正方形的边长少3 cm.那么S1与S2的大小关系是( )www-2-1-cnjy-com
A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.不能确定
8.由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得：(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,即：（a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.①【出处：21教育名师】
我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.
下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A.(a+1)(a2+a+1)=a3+1 B.(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3
C.(a+3)(a2-3a+9)=a3+27 D.(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3
二、填空题(本大题共6小题)
9. 已知a-b=3,则a(a-2b)+b2的值为 .
10.计算(-3x+2y-z)(3x+2y+z)= .
11. 下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.21教育网
12. 已知a＋b＝2，ab＝1，则a2＋b2的值是 ．
13. 已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，则的值是__________．
14. 下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．2-1-c-n-j-y
三、计算题(本大题共4小题)
15. 计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；
(2)(－m＋n)(－m－n)；
(3)(－2x－3)(2x－3)．
16. 先化简，再求值：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2，其中m＝－2，n＝.
17. 一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？
18. 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．
19. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.21·cn·jy·com
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. B
分析：先根据完全平方差公式把等式的右边展开，然后移项、合并同类项，解答A值．
解：因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+ab+b2+A=a2-2ab+b2,所以A=-3ab. 选B.
2. B
分析：把（a+b）2（a-b）2利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可．
解：（a+b）2（a-b）2=[（a+b）（a-b）]2=（a2-b2）2，
∵a2-b2=4，∴原式=42=16．故选B．
3. D
分析：此题首先利用积的乘方公式把所求代数式变为[（a+1）（a-1）]2，然后利用平方差公式化简，再利用完全平方公式即可求出结果．21*cnjy*com
解：（a+1）2（a-1）2，
=[（a+1）（a-1）]2，
=（a2-1）2=a4-2a2+1．故选D．
4. A
分析：采用整体思想将（m-1）看成整体利用平方差计算即可。
解： (m-2n-1)(m+2n-1)
=[(m-1)-2n][(m-1)+2n]
=(m-1)2-4n2
=m2-2m+1-4n2
=m2-4n2-2m+1. 选A.
5.A
分析：利用方程思想求边长即可。
解：设此正方形原来的边长为x，则x2+45=（x+3）2，
∴（x+3+x）（x+3-x）=45，
∴x=6，故选A．
6B
分析：先利用平方差公式再利用完全平方公式解答即可。
解： (2a+3b)2(2a-3b)2
=[(2a+3b)(2a-3b)]2
=(4a2-9b2)2
=16a4-72a2b2+81b4. 选B.
7. A
分析：利用方程思想和面积公式可解答。
解; 设正方形边长为x，
可得长方形长为x+3，宽为x-3，
得出S1=x2，S2=（x+3）（x-3）=x2-9，
∴S1＞S2，故选A．
8.A
分析：本题需先根据多项式乘法的立方公式分别对每一项进行计算，即可得出答案．
解：解：A、（a+1）（a2+a+1）=a3+2a2+2a+1，故本选项错误；
B、（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3+y3，故本选项正确；
C、（a+3）（a2-3a+9）=a3+27，故本选项正确；
D、（x+4y）（x2-4xy+16y2）=x3+64y3，故本选项正确．故选A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：先将原式化简,然后将a-b=1整体代入求解。
解：a(a-2b)+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
当a-b=3时,原式=32=9.答案:9
10.分析：将（3x+z）看成一个整体利用平方差进行计算即可。
解：(-3x+2y-z)(3x+2y+z)
=[2y-(3x+z)][2y+(3x+z)]
=4y2-(3x+z)2
=4y2-9x2-6xz-z2.答案:4y2-9x2-6xz-z2
11. 分析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.21cnjy.com
解：(a＋b)2－4ab＝(a－b)2
12.分析：利用完全平方公式有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，把2ab移到等式的左边，可得(a＋b)2－2ab＝a2＋b2，然后代入求值即可．www.21-cn-jy.com
解：∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2aB．∵a＋b＝2，ab＝1，∴a2＋b2＝22－2×1＝2.21·世纪*教育网
13.分析：原等式可化为(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，根据非负数的特点知a＋2＝0且b－1＝0，从而可知a＝－2且b＝1.然后将其代入求的值即可．
解：
14. 分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于(b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【来源：21cnj*y.co*m】
解：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
三、计算题(本大题共4小题)
15.
分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将【来源：21·世纪·教育·网】
原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．
解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.
(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.
(3)(－2x－3)(2x－3)＝ (－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.
16.解：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2＝5(m2－n2)－2(m2＋2mn＋n2)－3(m2－2mn＋n2)＝5m2－5n2－2m2－4mn－2n2－3m2＋6mn－3n2＝－10n2＋2mn.当m＝－2，n＝时，原式＝－10n2＋2mn＝－10×2＋2×(－2)×＝－.【版权所有：21教育】
17.分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．21教育名师原创作品
解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，
即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．
故这个正方形的边长是5 cm.
18.分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.
19. 解：解：（1）∵（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），21世纪教育网版权所有
故答案为：1．