第一章直角三角形单元检测题

湘教版八年级下册数学第一章直角三角形单元检测试题
一、选择题(本大题共10小题)
1.如果三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是（　　）
　 A． 等腰三角形 B． 直角三角形
　 C． 等边三角形 D． 等腰直角三角形
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的一组线段是(　　)
A.CD，EF，GH B.AB，EF，GH C.AB，CF，EF D.GH，AB，CD
3.若一个三角形的三边长为6，8，x，则此三角形是直角三角形时，x的值是（　　）
　 A． 8 B． 10 C． 2 D． 10或2
4. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
(A)b2=c2-a2
(B)a∶b∶c=3∶4∶5
(C)∠C=∠A-∠B
(D)∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
6. 下列说法中正确的是（　　）
A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方
C．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，若∠A=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
7. 如图，在△ABC中，AD是△ABC中∠BAC的平分线，且BD＞DC，则下列说法中正确的是( )
A.点D到AB边的距离大于点D到AC边的距离
B.点D到AB边的距离等于点D到AC边的距离
C.点D到AB边的距离小于点D到AC边的距离
D.点D到AB边的距离与点D到AC边的距离大小关系不确定
8. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D． 4
9. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
10. 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
二、填空题(本大题共8小题)
11. 如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC=　　．
12.已知一个直角三角形斜边上的中线长为6cm，那么这个直角三角形的斜边长为　　cm．
13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 　米．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5cm，则AB=　 　cm．
15. 生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？________(填“能”或“不能”)．
16. 已知：如图，GB＝FC，D、E是BC上两点，且BD＝CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA、CA的延长线交于点G，F，则GE和 FD.的数量关系式 。
17. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，则AE的长是 ．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是_____．
三、计算题(本大题共5小题)
19. 设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为h，斜边长为c，试判断以c+h，a+b，h为边的三角形的形状.
20. 某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B，结果离欲到达点B 240米，已知他在水中游了510米，求该河的宽度（两岸可近似看做平行）．
21. 如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
22. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
23. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF=2AE;
(2)若CD=，求AD的长.
参考答案：
一、选择题(本大题共10小题)
1. B
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵三角形中一边上的中线等于这边的一半，
∴这个三角形是直角三角形．故选B．
2.B
分析：首先根据网格图计算出AB2、DC2、EF2、GH2，再根据这些线段的平方值，看看哪两条的平方和等于第三条的平方，即可判断出哪三条线段能构成一个直角三角形的三边．
解：.AB2=22+22=8，
CD2=42+22=20
EF2=12+22=5，
GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2. 选B
3.D
分析： 根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
解：∵一个三角形的两边长分别为6、8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2=62+82，解得x=10；
当8是斜边时，x2+62=82，解得x=2．故选D．
4. D
分析：试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.
解：A选项，由b2=c2-a2得a2+b2=c2，
所以三角形是直角三角形；
B选项，设a=3x，则b=4x，c=5x，
经计算知a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形；
C选项，由∠C=∠A-∠B
知∠C+∠B=∠A，又∠A+∠B+∠C=180°，
所以2∠A=180°，即∠A=90°
所以三角形是直角三角形；只有D选项，三角形不是直角三角形.故选D
5. C
分析：角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、12+12=（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．
6.C
分析：据勾股定理对各选项进行逐一分析即可．
解：A、三角形的形状不能确定，故本选项错误；
B、在直角三角形中，两直角的边平方的和等于斜边长的平方，故本选项错误；
C、在Rt△ABC中，若∠C=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2，故本选项正确；
D、在Rt△ABC中，若∠A=90°，则三角形对应的三边满足c2+b2=a2，故本选项错误．故选C．
7.C
分析：根据角平分线的性质来分析即可。
解：根据角平分线的性质，点D到AB边的距离等于点D到AC边的距离．故选C．
8. C
分析：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形的面积公式求得即可。
解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线
∴EF=DE=2，
∴= =5，故选C.
9. A
分析：据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC===5，
∴BC边上的高=3×4÷5=，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC=×3h+ ×4h=×5×，
解得h=，
S△ABD=×3×=BD?，
解得BD=．故选A．
10. A
分析：结合角平分线的性质来解答即可．
解：：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；
点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．故选A.
二、填空题(本大题共8小题)
11. 分析： 利用勾股定理解出EC的长，再求CD的长，再利用勾股定理求AC的长．
解答： 解：EC=；
故CD=12﹣DE=12﹣7=5；
故AC==12．
12.分析：据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：∵直角三角形斜边上的中线长为6cm，
∴这个直角三角形的斜边长为12cm．
13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　12　米．
分析：图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=4米，
∴AB=8米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．
故答案为：12．
14.分析：据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=5cm，
∴AB=2CD=10cm．
故答案是：10．
15.分析：根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的13，且梯子的长度为9米，∴梯子底端离墙约为梯子长度为9×13=3米，∴梯子的顶端距离地面的高度为92?32=72=62，∵62＜8.5，∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．故答案为：不能．
16. 分析：由等边对等角得到∠B=∠C，由ASA证得△BEG≌△CDF得GE=FD．
证明：∵BD＝CE，∴BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD.∵GE⊥BC，FD⊥BC，∴∠GEB＝∠FDC＝90°.∵GB＝FC，∴Rt△BEG≌Rt△CDF(HL)．∴GE＝FD.
17.分析：由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
解：设AE＝x，则CE＝9－x.
∵BE平分∠ABC，CE⊥CB，ED⊥AB，
∴DE＝CE＝9－x.
又∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABE＝∠CBE.
∵在Rt△ACB中，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°.∴DE＝AE.即9－x＝x.解得x＝6.即AE的长为6.　
18.分析：先根据勾股定理求出AD的长，再过点D作DE⊥BC于点E，再由垂线段最短可知当P与E重合时FDP最短，根据角平分线的性质即可得出结论。
解：∵在△ACB中，，∠A＝90°， AB＝12，BD＝13，∴AD= = =5
过点D作DE⊥BC于点E，由垂线最短可知P和E重合的时候DP最短，
∵BD平分∠ABC交于AC于D，
∴DE=AD=3，即线段DP的最小值为5.故答案为：5.
三、计算题(本大题共5小题)
19.分析：利用勾股定理的逆定理即可判断。
解：根据勾股定理得，a2+b2=c2.
根据三角形的面积得，ab=ch，
所以2ab=2ch
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2ch+b2
因为(c+h) 2=c2+2ch+h2
=a2+b2+2ch+h2=(a+b)2+h2，
即(a+b)2+h2=(c+h)2，
所以，以c+h，a+b，h为边的三角形是直角三角形.
20. 分析：根据题意得出∠ABC=90°，由勾股定理求出AB即可．
解：根据题意得：∠ABC=90°，
则AB===450（米），
即该河的宽度为450米．
21. 分析：（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
22. 分析：（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
23. 分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
解： (1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF(ASA).
∴AC=BF.
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，即AC=2AE，
∴BF=2AE;
(2)∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=.
∴在Rt△CDF中，CF==2.
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=FC=2，
∴AD=AF+DF=2+.