课件14张PPT。广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版第四章 因式分解1 因式分解自学导航学习目标1. 经历探索因式分解方法的过程，体会整式乘法与因式分解之间的关系.
2. 掌握因式分解的定义.
3. 能用整式乘法对多项式因式分解的正确性进行判断. 知识清单知识点1 因式分解的定义
把一个____________化成几个____________的_________的形式，这种变形叫做因式分解.
点拨：因式分解的对象是多项式；因式分解的结果要化成整式的积的形式；因式分解要彻底，必须分解到每个因式都不能再分解为止. 多项式整式积知识点2 因式分解与整式乘法的关系
如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形. 实质上，整式乘法和因式分解就是互逆的恒等变形过程.
m（a+b+c） ____________；
（a+b）（a-b） ____________；
____________ a2+2ab+b2.ma+mb+mca2-b2（a+b）2自学检测1. （x+3）2=x2+6x+9从左到右的变形是____________.
2. 4x2-9=（2x+3）（2x-3）从左到右的变形是____________.
3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的为 （ ）
A. x（a-b）=ax-bx B. x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2
C. x2-1=（x+1）（x-1） D. ax+bx+c=x（a+b）+c
4. 下列各式从左到右的变形：①15x2y=3x·5xy；②（x+y）
（x-y）=x2-y2；③x2-6x+9=（x-3）2；④x2+4x+1=
其中是因式分解的有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个整式乘法因式分解AC一讲一练新知1 因式分解的定义【例1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A. x2－9+6x=（x+3）（x－3）+6x
B. （x+5）（x－2）=x2+3x－10
C. x2－8x+16=（x－4）2
D. （x－2）（x+3）=（x+3）（x－2）
答案 C【即时练】
1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A. a（x－y）＝ax－ay
B. x2+2x+1＝x（x+2）+1
C. （x+1）（x+3）＝x2+4x+3
D. x3－x＝x（x+1）（x－1）D【例2】9993-999能被998整除吗？能被1 000整除吗？为什么？
解 ∵原式=999×（9992-1）
=999×（999+1）（999-1）
=999×1 000×998.
∴9993-999能被998整除，也能被1 000整除. 【即时练】
2. 32 013-4×32 012+10×32 011能被7整除吗？为什么？解：32 013-4×32 012+10×32 011
=32 011×（9-4×3+10）
=32 011×7.
∴32 013-4×32 012+10×32 011能被7整除. 新知2 因式分解与整式乘法的关系【例3】（1） 5a（a-1）=5a2-5a是____________运算；
（2）5a2-5a=5a（a-1）是____________运算.
答案 （1）整式乘法 （2）因式分解
【即时练】
1. 计算：
（1）（x-5）（x+7）=______________;
（2）x2+2x-35=__________________. x2+2x-35（x-5)(x+7）【例4】若（x-3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为 （ ）
A. -15 B. -2
C. 8 D. 2
答案 D
【即时练】
2. 已知多项式2x2+bx+c因式分解为2（x+1）（x-2），则b，c的值为 （ ）
A. b=2，c=-4 B. b=-2，c=4
C. b=-2，c=-4 D. b=3，c=-1C达标训练基础过关2. 下列从左到右的变形：
①15x2y=3x·5xy；②（a+b）（a-b）=a2-b2；③a2-2a+1=（a-
1）2；④x2+3x+1= 其中是因式分解的有（ ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个B4. 下列各式是因式分解且完全正确的是 （ ）
A. ab+ac+d=a（b+c）+d
B. x3-x=x（x2-1）
C. （a+2）（a-2）=a2-4
D. a2-1=（a+1）（a-1）
8. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值
为____________. D能力提升11. 运用整式乘法公式进行计算：2 0002-2 001×1 999. 解：原式=2 0002-（2 000+1）×（2 000-1）
=2 0002-2 0002+1
=1. 课件14张PPT。广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版第四章 因式分解2 提公因式法自学导航学习目标1. 理解“公因式”的含义，并能在具体问题中，确定多项式各项的公因式.
2. 能够用提公因式法将多项式进行因式分解. 知识清单知识点1 公因式的定义
多项式各项都含有的____________，叫做这个多项式各项的公因式.
点拨：公因式可以是单项式，也可以是多项式，它是多项式各项系数的最大公约数与各项相同字母或因式的最低次幂的积.
知识点2 确定公因式的方法
确定公因式的一般步骤：
（1）确定公因式的系数，即多项式各项系数的____________.
（2）确定公因式的字母及其指数：字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数____________的.
（3）当第一项系数为负时，应将公因式的符号取为_________. 相同因式最大公约数最低负号知识点3 提公因式法
（1）定义：如果一个多项式的各项含有____________，那么就可以把这个____________提出来，从而将多项式化成两个____________的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
（2）用提公因式法因式分解的一般步骤：
①确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.
②将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一个因式. 公因式公因式因式乘积自学检测1. 把多项式x2-x提取公因式x后，余下的部分是 （ ）
A. x B. x-1
C. x+1 D. x2
2. 多项式4x2-4与多项式x2-2x+1的公因式是 （ ）
A. x-1 B. x+1
C. x2-1 D. （x-1）2BA3. 将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是 （ ）
A. 3x-9y B. 3x+9y
C. a-b D. 3（a-b）
4. 对下列多项式分解因式，正确的是 （ ）
A. 12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B. 3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C. -x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D. a2b+5ab-b=b（a2+5a）DB一讲一练第1课时新知1 公因式及确定公因式【例1】下列各式中，公因式是a的是 （ ）
A. ax+ay+5 B. 3ma-6ma2
C. 4a2+10ab D. a2-2a+ma
答案 D
【即时练】
1. 多项式12ab3c-8a3b的公因式是 （ ）
A. 4ab2 B. -4abc C. -4ab2 D. 4abD【例2】分别写出下列多项式的公因式：
（1）ax+ay：____________；
（2）3x3y4+12x2y：____________；
（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：____________；
解 （1）多项式ax+ay含有两项，每项都含有因式a，所以公因式是a；
（2）多项式3x3y4+12x2y含有两项，每项都含有因式3x2y，所以公因式是3x2y；
（3）多项式25a3b2+15a2b-5a3b3含有三项，每项都含有因式5a2b，所以公因式是5a2b.【即时练】
2.（1）多项式x2y-y的公因式是____________；
（2）多项式5x3-10x2+5x的公因式是____________；
（3）多项式-2a2b+6a3b2的公因式是____________.y5x-2a2b新知2 提公因式法【例3】因式分解：
（1）a2x2-ax; （2）-14abc-7ab+49ab2c.
解 （1）a2x2-ax=ax（ax-1）；
（2）-14abc-7ab+49ab2c=7ab（-2c-1+7bc）.
【即时练】
1. 因式分解：
（1）2x2-12xy2+8xy3; （2）3a2-6a2b+2ab.
解：（1）2x2-12xy2+8xy3=2x（x-6y2+4y3）；
（2）3a2-6a2b+2ab=a（3a-6ab+2b）.【例4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值.
解 ∵a+b=2，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4.
【即时练】
2. 已知x+2y+4=0，xy=3，求-6x2y-12xy2的值. 解：由x+2y+4=0，得x+2y=-4.
∴-6x2y-12xy2
=-6xy（x+2y）
=-6×3×（-4）
=72. 达标训练基础过关1. 多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是 （ ）
A. 5mn B. 5m2n2
C. 5m2n D. 5mn2
6. 把多项式x3-4x提取公因式x后，余下的部分是 （ ）
A. x-4 B. x2-1
C. x+4 D. x2-4CD10. 将下列多项式因式分解：
（1）6x3-18x2+3x； （2）4x4y2-5x2y2-9y；
（3）2m3n-6m2n+mn； （4）-8x2y2-4x2y+2xy. 解：（1）6x3-18x2+3x=3x（2x2-6x+1）；
（2）4x4y2-5x2y2-9y=y（4x4y-5x2y-9）；
（3）2m3n-6m2n+mn=mn（2m2n-6mn+1）；
（4）-8x2y2-4x2y+2xy=-2xy（4xy+2x-1）. 能力提升13. 已知（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a，b，c均为整数，求a+
b+c的值. 解：（19x-31）（13x-17）-（ 17-13x）（11x-23）
=（19x-31）（13x-17）+（ 13x-17）（11x-23）
=（13x-17）（30x-54）.
∴a=13，b=-17，c=-54.
∴a+b+c=-58. 课件10张PPT。广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版第四章 因式分解2 提公因式法第2课时一讲一练新知3 用提公因式法因式分解【例5】把多项式3m（x-y）-2（y-x）2分解因式的结果是 （ ）
A. （x-y）（3m-2x-2y） B. （x-y）（3m-2x+2y）
C. （x-y）（3m+2x-2y） D. （y-x）（3m+2x-2y）
答案 B
【即时练】
1. 多项式（x+2）（2x-1）-（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m-n的值是 （ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4C【例6】因式分解：
（1）m（a2+b2）+n（a2+b2）；
（2）18（a-b）3-12b（b-a）2；
（3）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）；
（4）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2.
解 （1） m（a2+b2）+n（a2+b2）
=（a2+b2）（m+n）；
（2） 18（a-b）3-12b（b-a）2 ；
=6（a-b）2［3（a-b）+2b）］
=6（a-b）2（3a-b）；（3）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）
=（2a+b）（2a-3b-3a）
=-（2a+b）（a+3b）；
（4）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2
=x（x+y）［x-y-（x+y）］
=-2xy（x+y）. 【即时练】
2. 因式分解：
（1）7ab（m-n）+21bc（n-m）；
（2）a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）；
（3）p2（a-1）+p（1-a）；
（4）a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）. 解：（1） 7ab（m-n）+21bc（n-m）=7b（m-n）（a-3c）；
（2） a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）=（x-y）（a+b+c）；
（3） p2（a-1）+p（1-a）=p（a-1)(p-1）；
（4） a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）=a（a-b)[(a-
b）2+2a（a-b）+2b］. 【例7】求（2x-y)(2x+y）-（2y+x)(2y-x）的值，其中x=2，y=1.
解 （2x-y)(2x+y）-（2y+x)(2y-x）
=4x2-y2-（4y2-x2）
=5x2-5y2.
当x=2，y=1时，原式=5×22-5×12=15. 【即时练】
3. 当x=2，y=-2时，求15x2（y+4）-30x（y+4）的值. 解：∵x=2，y=-2，
∴15x2（y+4）-30x（y+4）
=15x（y+4)(x-2）
=15×2×（-2+4）×（2-2）
=0. 达标训练基础过关5. 因式分解：
（1）-6（2a-b）2-4（b-2a）2；
（2）6（x+y）2-2（x-y）（x+y）；
（3）-3（x-y）2-（y-x）3；
（4）3a（m-n）-2b（n-m）；
（5）9（a-b）（a+b）-3（a-b）2. 解：（1） -6（2a-b）2-4（b-2a）2
=-10（2a-b）2；
（2） 6（x+y）2-2（x-y)(x+y）
=2（x+y)[3（x+y）-（x-y)］
=2（x+y)(2x+4y）
=4（x+y)(x+2y）；
（3） -3（x-y）2-（y-x）3
=-3（x-y）2+（x-y）3
=（x-y）2（-3+x-y）；
（4） 3a（m-n）-2b（n-m）
=3a（m-n）+2b（m-n）
=（m-n)(3a+2b）；
（5） 9（a-b)(a+b）-3（a-b）2
=3（a-b)[3（a+b）-（a-b)］
=3（a-b)(2a+4b）
=6（a-b)(a+2b）.能力提升7. 先化简，再求值：
（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1，其中a=1，b=2.
（2）2a（a+b）-（a+b）2，其中a=3，b=5. 解：（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1
=2a2b-2ab2-3a2b+3+2ab2+1
=-a2b+4.
当a=1，b=2时，原式=-12×2+4=2；
（2）2a（a+b）-（a+b）2
=（a+b)(2a-a-b）
=（a+b)(a-b）
=a2-b2.
当a=3，b=5时，原式=32-52=-16. 课件17张PPT。广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版第四章 因式分解3 公式法自学导航学习目标1. 经历探索运用整式乘法的平方差公式和完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）.
3. 归纳多项式因式分解的一般步骤. 知识清单知识点1 用平方差公式因式分解
（1）根据整式乘法和因式分解的互逆关系，可以得到形如a2-b2的多项式因式分解的方法，即a2-b2=________________，我们把它称为分解因式的________________，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差.
（2）平方差公式的特点：左边是____________，两项都能写成____________的形式，且符号____________；右边是两个数的和与这两个数的差的____________. （a+b)(a-b）平方差公式二项式平方相反积知识点2 用完全平方公式因式分解
（1）乘法公式中形如（a±b）2可以运用完全平方公式（a±
b）2=________________进行计算. 因为因式分解是整式乘法的逆变形，故可以得到因式分解的________________，即a2±2ab+b2=（a±b）2. 形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
（2）完全平方公式的特点：左边是____________，其中首尾两项分别是两个数（或式子）的____________，中间一项是这两个数（或式子）的____________，符号可为正也可为负；右边是两个数（或式子）的和（或差）的____________. a2±2ab+b2完全平方公式三项式平方积的2倍平方知识点3 因式分解的一般步骤
（1）如果多项式各项有____________，应先提取__________.
（2）如果各项没有____________（或已提取完），可以（再）尝试使用公式法，当多项式为两项时，考虑用_______________；当多项式为三项式时，考虑用________________.
（3）检查因式分解是否____________，要求必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
点拨：因式分解的步骤可以概括为“一提”“二套”“三检查”. 公因式公因式公因式平方差公式完全平方公式彻底自学检测1. 下列各式能用平方差公式因式分解的是 （ ）
A. 4x2+y2 B. -a2+81
C. -25m2-n2 D. p2-2p+1
2. 一个多项式分解因式的结果是（b3+2）（2-b3），那么这个多项式是 （ ）
A. b6-4 B. 4-b6
C. b6+4 D. 4-b9BB3. 分解因式：16-x2= （ ）
A. （4-x）（4+x）
B. （x-4）（x+4）
C. （8+x）（8-x）
D. （4-x）2
4. 下列因式分解错误的是 （ ）
A. x2-y2=（x+y）（x-y）
B. x2+y2=（x+y）2
C. x2+xy=x（x+y）
D. x2+6x+9=（x+3）2AB一讲一练第1课时新知1 用平方差公式因式分解【例1】下列各式中，能用平方差公因式分解的是 （ ）
A. x2+x B. x2+8x+16 C. x2+4 D. x2-1
答案 D
【即时练】
1. 下列各式能用平方差公式分解因式的有 （ ）
①x2+y2；②x2-y2；③-x2-y2；④-x2+y2；⑤-x2+2xy-y2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个B【例2】因式分解：9（m+n）2-（m-n）2.
解 9（m+n）2-（m-n）2
=［3（m+n）+（m-n）］［3（m+n）-（m-n）］
=4（2m+n）（m+2n）.
【即时练】
2. 因式分解：（9x2+y2）2-36x2y2. 解： （9x2+y2）2-36x2y2
=（9x2+y2+6xy)(9x2+y2-6xy）
=（3x+y）2（3x-y）2. 新知2 用完全平方公式因式分解【例3】下面各整式能直接运用完全平方公式分解因式的是 （ ）
A. x2-x+1 B. x2+2x-1 C. -2x+x2+1 D. 2x-x2+1
答案 C
【即时练】
1. 下列各式不能用完全平方公式分解的个数为 （ ）
①x2-10x+25；②4a2+4a-1；③x2-2x-1；
④-m2+m- ；⑤4x4-x2+ .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C【例4】因式分解4+a2-4a正确的是 （ ）
A. 4（1-a）+a2 B. （2-a）2
C. （2+a）（2-a） D. （2+a）2
答案 B
【即时练】
2. 将多项式（x2-1）2+6（1-x2）+9因式分解，正确的是 （ ）
A. （x-2）4 B. （x2-2）2
C. （x2-4）2 D. （x+2）2（x-2）2D【例5】因式分解：m4-2m2+1.
解 m4-2m2+1
=（m2-1）2
=（m+1）2（m-1）2.
【即时练】
3. 分解因式：-x2+4xy-4y2解：-x2+4xy-4y2
=-（x2-4xy+4y2）
=-（x-2y）2. 达标训练基础过关2. 分解因式（2x+3）2-x2的结果是 （ ）
A. 3（x2+4x+3）
B. 3（x2+2x+3）
C. （3x+3)(x+3）
D. 3（x+1)(x+3）D5. 因式分解：
（1）25x2-16y2; （2）x2y2-x2（y-1）2. 解：（1）25x2-16y2
=（5x-4y）（5x+4y）;
（2）x2y2-x2（y-1）2
=x2［y2-（y-1）2］
=x2［y+（y-1）］［y-（y-1）］
=x2（y+y-1)(y-y+1）
=x2（2y-1）. 6. 下列各式能用完全平方公式分解的是 （ ）
①x2-4x+4；
②6x2+3x+1；
③4x2-4x+1；
④x2+4xy+2y2；
⑤9x2-20xy+16y2.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①⑤B10. 因式分解：
（1）x4-2x2y2+y4； （2）（x2-3）2+2（3-x2）+1.解：（1）x4-2x2y2+y4
=（x2-y2）2
=（x-y）2（x+y）2;
（2）（x2-3）2+2（3-x2）+1
=（x2-3）2-2（x2-3）+1
=（x2-3-1）2
=（x2-4）2
=（x+2）2（x-2）2. 能力提升13. 248-1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数. 解：248-1
=（224-1)(224+1）
=（212-1)(212+1)(224+1）
=（26-1)(26+1)(212+1)(224+1）
= 63×65×（212+1)(224+1）.
则这两个数为63与65. 课件9张PPT。广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版第四章 因式分解3 公式法第2课时一讲一练新知3 综合运用提公因式法和公式法因式分解【例6】下列各式的因式分解结果中，正确的是 （ ）
A. 6x2-8x=x（6x-8）
B. a2+4b2-4ab=（a-2b）2
C. 8xyz-6x2y2=2xyz（4-3xy）
D. 4a2-b2=（4a-b）（4a+b）
答案 B【即时练】
1. 下列因式分解正确的是 （ ）
A. 9-b2=（3-b）（3+b）
B. x2-1=（1+x）（1-x）
C. a2-2a+2=（a-1）2+1
D. 4a2-8a=2a（2a-4）
A【例7】因式分解：
（1）x3-6x2+9x；
（2）xy3-2x2y2+x3y；
（3）a2（x-y）-9（x-y）.
解 （1）x3-6x2+9x
=x（x2-6x+9）=x（x-3）2；
（2）xy3-2x2y2+x3y
=xy（y2-2xy+x2）=xy（y-x）2；
（3）a2（x-y）-9（x-y）
=（x-y）（a2-9）
=（x-y）（a+3）（a-3）. 【即时练】
2. 将下列各式因式分解：
（1）3x2+6xy+3y2； （2）a2（x-y）-b2（x-y）；
（3）y4-8y2+16. 解：（1）3x2+6xy+3y2
=3（x2+2xy+y2）
=3（x+y）2；
（2）a2（x-y）-b2（x-y）
=（x-y）（a2-b2）
=（x-y）（a+b）（a-b）；
（3）y4-8y2+16
=（y2-4）2
=（y+2）2（y-2）2. 【例8】先化简后求值：求代数式xya2+xyb2-2abxy的值，其中xy=5，a-b=-1.
解 xya2+xyb2-2abxy=xy（a2+b2-2ab）=xy（a-b）2.
当xy=5，a-b=-1时，
原式=5×（-1）2=5×1=5.
【即时练】
3. 已知x-y=1，xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值. 解：x3y-2x2y2+xy3=xy（x2-2xy+y2）=xy（x-y）2.
当x-y=1，xy=3时，
原式=xy（x-y）2=3×12=3. 达标训练基础过关2. 下列因式分解正确的是 （ ）
A. x2+25=（x+5）（x-5）
B. 4x2-9y2=（2x+3y）（3x-2y）
C. 4x2-6x+1=（2x-3）2
D. 3x-12x3=3x（1+2x）（1-2x）D7. 因式分解：
（1）ax2-4axy+4ay2； （2） m2-2mn+3n2；
（3）（a2+b2）2-4a2b2； （4）4x2-4x+1-y2.能力提升11. 已知a+b=－ ，求代数式（a－1）2+b（2a+b）+2a的值.解：原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a
=a2+1+2ab+b2
=（a+b）2+1
=（－2）2+1
=3.
