湖北省枣阳市育才中学2016-2017学年高一下学期第一次质量检测数学试题

湖北省枣阳市育才中学2016-2017学年下学期高一年级第一次质量检测数学试题
★祝考试顺利★
时间：120分钟
分值150分_
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．
如图，一个不透明圆柱体的正视图和侧视图（
( http: / / www.21cnjy.com )左视图）为两全等的正方形，若将它竖直放在桌面上，则该圆柱体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过程中，其在水平桌面上的正投影不可能是
（
）
3．设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.
考察下列命题,其中真命题是
A.
B.∥,∥
C.∥
D.
4．如图是正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（
）
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A．4
B．5
C．6
D．7
5．（2015秋 石景山区期末）某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（
）
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A．左前
B．右前
C．左后
D．右后
6．已知正方体的棱长为2，则其外接球的半径为
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
7．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是（
）
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A．
B．
C.
D．
9．在空间中，下列命题错误的是（
）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C．平行于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行
10．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（
）
A.1∶　
B.
1∶9
C.
1∶
D.
1∶
11．在三棱锥中，侧面、侧面、侧两两互相垂直，且，设三棱锥的体积为，三棱锥的外接球的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（
）
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二
、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．某几何体的三视图如图所示（单位；cm），则该几何体的体积为
，表面积为
．
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14．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为
．
15．四面体ABCD四个面重心分别为E、F
( http: / / www.21cnjy.com )、G、H,则四面体EFGH表面积与四面体ABCD表面积的比值为
16．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.
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三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题10分）如图，在四棱锥中，
，底面是正方形，且.
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（Ⅰ）若是中点，是的中点，求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的侧面积.
18．（本题12分）如图，四棱锥中，
底面是直角梯形，
∥，，，侧面⊥底面，且是以为底的等腰三角形．
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（1）证明：⊥；
（2）若三棱锥的体积等于，问：是否存
在过点的平面，分别交、于点，使得平面∥平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由．
19．（本题12分）在如图所示的四棱锥中,
四边形为正方形,
平面,且、、分别为、、的中点,.
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（1）证明：平面；
（2）若,求二面角的余弦值.
20．（本题12分）如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（1）求证：PQ∥平面BCE；
（2）求证：AM⊥平面BCM；
（3）求点F到平面BCE的距离．
21．（本题12分）（本小题满分12分）如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，.
（1）求证：∥平面；
（2）若∠＝90°，求证;
（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.
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22．（本题12分）
如图1，已知矩形中，，分别是的中点，对角线与交于点，沿将矩形折起，使平面与平面所成角为60°，在图2中：
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（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值。
答案
选择：1_5ABBCC
6_10
DDCDD
11_12
AD
填空：13．，．
14．
15．1：9
16．
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连结.
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因为是三角形的中位线，
所以.
又因为，所以.
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，，所以.
（Ⅱ）依题意得.
因为所以,
又因为，且，所以.
又因为，所以.
所以是直角三角形.
，所以.
同理可得.
所以四棱锥的侧面积是.
考点：直线与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定定理；棱锥的侧面积。
18．（1）证明见解析；（2）存在，且面积为.
试题分析：（1）要证明线线垂直，可以通过线面垂直来证明，取中点，连，即证明平面.利用侧面⊥底面和在底面解三角形即可证明；（2）由三棱锥的体积，求出，取中点，中点，连得平面平面,取中点,．
试题解析：（1）取中点，连
∵为等腰三角形，
∴
在直角梯形中，由,，
得，
则为正三角形，∴
∴平面，⊥．
（2）由（1）知，又平面底面
∴平面
则，∴
取中点，中点，连
由
可知平面平面
取中点，∴
考点：空间立体几何证明平行与垂直.
19．（1）详见解析（2）
试题解析：（1）证明：连结分别交、于点、连结、为中点,
为中点,,
又为中点,
又为的中点,
平面平面平面.
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（2）平面,又平面.如图,
以
为坐标原点,
所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
设,可知,则,平面,平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,
即,令,则,,
由图可知,
二面角为钝角,
二面角的余弦值为.
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`
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
试题分析：（1）因为分别是，的中点，由三角形的中位线性质知，∥，从而证明∥平面；（2）由题意易知，，又，所以，故，所以由线面垂直的判定定理可得结论；（3）可转化为到平面的距离的倍，再利用三棱锥的等体积法求到平面的距离．
试题解析：（1）因为AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形．
连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，
所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE．
∵CE 平面BCE，PQ 平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（2）AD⊥平面ABEF BC⊥平面ABEF BC⊥AM．
在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，
可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，
∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM．
又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM．
（3）解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，
∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB⊥BE，
∵MB⊥BC，BC∩BE＝B，
∴MB⊥平面BCE，∴d＝2MB＝4．
解法二：VC－BEF＝S△BEF·BC＝BC，
VF－BCE＝S△BCE·d＝BC．
∵VC－BEF＝VF－BCE，∴d＝4．
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）该五面体的体积为
。
（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证
( http: / / www.21cnjy.com )FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；
（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；
（Ⅲ）连接AC，由ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．
（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，
∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,
∴∥ED，且
∴四边形EFOD是平行四边形
--------------------------------2分
即EF∥DO
又EF平面PDC
∴EF∥平面PDC．
----------------------
4分
（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC
∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD,
-------------
6分
∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP
------------
8分
（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，
所以三棱锥与三棱锥体积相等，
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，
由余弦定理并整理得,
解得DC=2
-------------------
10分
∴三棱锥的体积
∴该五面体的体积为
--------------------
12分
22．（1）证明见解析；（2）。
试题分析：（1），由勾股定理的逆定理可知；（2）以为坐标原点，分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，算出平面的法向量，而为平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得平面与平面所成角的余弦值。
试题解析：（1）由题设知，，，，连接，在中，，
所以，由勾股定理的逆定理可知。
（2）以为坐标原点，分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题设可知，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以可取，另外为平面的法向量。所以，所以平面为平面所成角的余弦值为。
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侧(左)视图
正(主)视图
俯视图
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1