19.3 正方形 同步练习
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19.3 正方形
核心笔记: 1.正方形的定义:定义①:有一个角是直角的菱形叫做正方形.定义②:有一组邻边相等的矩形叫做正方形.21世纪教育网版权所有
2.正方形的性质:①正方形的四条边都相等;②正方形的四个角都是直角;③正方形的对角线相等且互相垂直平分.21·世纪*教育网
3.正方形的判定:①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形;③既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
4.正方形有4条对称轴,正方形的对称中心是对角线的交点.
基础训练
1.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )2·1·c·n·j·y
A.BC=AC
B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
3.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,则∠AED等于( )
A.10° B.12.5° C.15° D.17.5°
4.如图,边长分别为2和4的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连结BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT等于( )
A. B.2 C.2 D.1
5.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是____________.?
6. 如图,在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为 . 21教育网
7.如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连结AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.21cnjy.com
培优提升
1.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了( )
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
2.如图,在正方形ABCD中,以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABE,连结DE、CE,则∠CED的大小是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.160° B.155° C.150° D.145°
3.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若∠CBF=20°,则∠AED等于___________度.?【版权所有：21教育】
5.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,设△AFC的面积为S,则S= .21教育名师原创作品
6.如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为 . 21*cnjy*com
7.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连结AP、EF.给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP.其中正确结论的序号是 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连结AF、CG.
(1)求证:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.
9.如图①,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连结AF、BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是__________,位置关系是 ;?
(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;21·cn·jy·com
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
参考答案
【基础训练】
1.D
解：A.符合正方形的判定方法,故此说法正确;B.符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故此说法正确;C.符合对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故此说法正确;D.符合矩形的判定方法,故此说法不正确.故选D.21*cnjy*com
2.【答案】D
3.【答案】C
解：∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°+90°=150°.又∵AD=AB=AE,∴∠AED=∠ADE=×(180°-150°)=15°.故选C.
4.【答案】A
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD和正方形CEFG的对角线,∴∠ADB=∠CGE=45°,
∴∠GDT=180°-∠GDA-∠ADB=180°-90°-45°=45°,
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°,
∴△DGT是等腰直角三角形.
∵两个正方形的边长分别为2和4,
∴DG=4-2=2,∴GT=.
故选A.
5.【答案】90° 6.【答案】1或5
7.解:线段AF、BF、EF之间的数量关系是:AF=BF+EF.
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AG,∴∠DEA=90°,∴∠DAE+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE.
又∵∠DEF=90°,BF∥DE,
∴∠BFA=90°,∴∠DEA=∠AFB,
∴在△DAE和△ABF中,
∴△DAE≌△ABF.
∴AE=BF,
∴AF=AE+EF=BF+EF.
【培优提升】
1.【答案】B
解：一次沿对角线对折能完全重叠;一次沿两条对边中点所在的直线对折能完全重叠.
2.【答案】C
解：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°.
∵△ABE为等边三角形,∴∠BAE=60°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°
-60°=30°.
∵AD=AB=AE,∴∠ADE=(180°-30°)÷2=75°,
∴∠EDC=90°-75°=15°.
同理可得∠ECD=15°.
∴∠CED=180°-2×15°=150°.故选C.
3.【答案】A
解：∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD,∠D=∠BAF=90°.又∵CE=DF,∴DE=AF.又∵AD=BA,www.21-cn-jy.com
∴△ADE≌△BAF.
∴AE=BF,S△ADE=S△BAF,
∠DEA=∠AFB.
又∵S△AOB=S△BAF-S△AOF,S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF,
∴S△AOB=S四边形DEOF.
∵∠DEA=∠AFB,∠EAD+∠DEA=90°,∴∠AFB+∠EAD=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.∴错误的结论是:www-2-1-cnjy-com
③AO=OE.故选A.
4.【答案】65
5.【答案】2
解：连结FB,如图所示.
∵四边形EFGB和四边形ABCD均为正方形,
∴∠FBA=∠BAC=45°,
∴FB∥AC,
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形.
∵2S△ABC=S正方形ABCD,S正方形ABCD=2×2=4,∴S△ABC=S△AFC=2,∴S=2.
6.【答案】5
解：连结BP,BQ,
∵点B和点D关于直线AC对称,∴QB=QD,∴BP的长就是DQ+PQ的最小值.
∵正方形ABCD的边长是4,DP=1,
∴CP=3,∴BP==5,
∴DQ+PQ的最小值为5.
7.【答案】①②④
解：延长FP交AB于点G,则FG⊥AB,延长AP交BC于点H,连结CP.∵AB=BC,BP=BP,∠ABP=∠CBP=45°,∴△ABP≌△CBP,∴AP=PC.∵∠ABD=∠CBD,PE⊥BC,PG⊥AB,∴PE=PG,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形PECF为矩形,∴∠FPE=90°,PC=EF,∴AP=EF,故①正确;
∵PG=PE,AP=EF,∠AGP=∠FPE=90°,∴Rt△APG≌Rt△FEP,∴∠PAG=∠PFE,故④正确;2-1-c-n-j-y
∵∠AHB+∠PAG=90°,∠PAG=∠PFE,∠FEC=∠PFE,∴∠FEC+∠
AHB=90°,即AH⊥EF,故②正确.
8.证明:(1)∵AD=CD,点E是边AC的中点,∴DE⊥AC,∴DE是线段AC的垂直平分线,∴AF=CF,【出处：21教育名师】
∴∠FAC=∠ACB.
在Rt△ABC中,由∠BAC=90°得∠B+∠ACB=90°,∠FAC+∠BAF=90°,
∴∠B=∠BAF,∴AF=BF.
(2)∵AG∥CF,∴∠AGE=∠CFE.
又∵点E是边AC的中点,∴AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∴△AEG≌△CEF,
∴AG=CF.又∵AG∥CF,∴四边形AFCG是平行四边形.
∵AF=CF,∴四边形AFCG是菱形.
在Rt△ABC中,∵AF=CF,AF=BF,
∴BF=CF,∴点F是边BC的中点.
又∵AB=AC,∴AF⊥BC,即∠AFC=90°.
∴四边形AFCG是正方形.
9.解:(1)AF=BE;AF⊥BE
(2)结论成立.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°.
在△EAD和△FDC中,
∴△EAD≌△FDC.∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA,即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF.∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90°,∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴AF⊥BE.
(3)结论都能成立.
核心笔记: 1.正方形的定义:定义①:有一个角是直角的菱形叫做正方形.定义②:有一组邻边相等的矩形叫做正方形.21世纪教育网版权所有
2.正方形的性质:①正方形的四条边都相等;②正方形的四个角都是直角;③正方形的对角线相等且互相垂直平分.21·世纪*教育网
3.正方形的判定:①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形;③既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
4.正方形有4条对称轴,正方形的对称中心是对角线的交点.
基础训练
1.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )2·1·c·n·j·y
A.BC=AC
B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
3.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,则∠AED等于( )
A.10° B.12.5° C.15° D.17.5°
4.如图,边长分别为2和4的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连结BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT等于( )
A. B.2 C.2 D.1
5.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是____________.?
6. 如图,在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为 . 21教育网
7.如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连结AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.21cnjy.com
培优提升
1.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了( )
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
2.如图,在正方形ABCD中,以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABE,连结DE、CE,则∠CED的大小是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.160° B.155° C.150° D.145°
3.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若∠CBF=20°,则∠AED等于___________度.?【版权所有：21教育】
5.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,设△AFC的面积为S,则S= .21教育名师原创作品
6.如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为 . 21*cnjy*com
7.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连结AP、EF.给出下列四个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP.其中正确结论的序号是 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连结AF、CG.
(1)求证:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.
9.如图①,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连结AF、BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是__________,位置关系是 ;?
(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;21·cn·jy·com
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
参考答案
【基础训练】
1.D
解：A.符合正方形的判定方法,故此说法正确;B.符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故此说法正确;C.符合对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故此说法正确;D.符合矩形的判定方法,故此说法不正确.故选D.21*cnjy*com
2.【答案】D
3.【答案】C
解：∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°+90°=150°.又∵AD=AB=AE,∴∠AED=∠ADE=×(180°-150°)=15°.故选C.
4.【答案】A
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD和正方形CEFG的对角线,∴∠ADB=∠CGE=45°,
∴∠GDT=180°-∠GDA-∠ADB=180°-90°-45°=45°,
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°,
∴△DGT是等腰直角三角形.
∵两个正方形的边长分别为2和4,
∴DG=4-2=2,∴GT=.
故选A.
5.【答案】90° 6.【答案】1或5
7.解:线段AF、BF、EF之间的数量关系是:AF=BF+EF.
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AG,∴∠DEA=90°,∴∠DAE+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE.
又∵∠DEF=90°,BF∥DE,
∴∠BFA=90°,∴∠DEA=∠AFB,
∴在△DAE和△ABF中,
∴△DAE≌△ABF.
∴AE=BF,
∴AF=AE+EF=BF+EF.
【培优提升】
1.【答案】B
解：一次沿对角线对折能完全重叠;一次沿两条对边中点所在的直线对折能完全重叠.
2.【答案】C
解：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°.
∵△ABE为等边三角形,∴∠BAE=60°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°
-60°=30°.
∵AD=AB=AE,∴∠ADE=(180°-30°)÷2=75°,
∴∠EDC=90°-75°=15°.
同理可得∠ECD=15°.
∴∠CED=180°-2×15°=150°.故选C.
3.【答案】A
解：∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD,∠D=∠BAF=90°.又∵CE=DF,∴DE=AF.又∵AD=BA,www.21-cn-jy.com
∴△ADE≌△BAF.
∴AE=BF,S△ADE=S△BAF,
∠DEA=∠AFB.
又∵S△AOB=S△BAF-S△AOF,S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF,
∴S△AOB=S四边形DEOF.
∵∠DEA=∠AFB,∠EAD+∠DEA=90°,∴∠AFB+∠EAD=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.∴错误的结论是:www-2-1-cnjy-com
③AO=OE.故选A.
4.【答案】65
5.【答案】2
解：连结FB,如图所示.
∵四边形EFGB和四边形ABCD均为正方形,
∴∠FBA=∠BAC=45°,
∴FB∥AC,
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形.
∵2S△ABC=S正方形ABCD,S正方形ABCD=2×2=4,∴S△ABC=S△AFC=2,∴S=2.
6.【答案】5
解：连结BP,BQ,
∵点B和点D关于直线AC对称,∴QB=QD,∴BP的长就是DQ+PQ的最小值.
∵正方形ABCD的边长是4,DP=1,
∴CP=3,∴BP==5,
∴DQ+PQ的最小值为5.
7.【答案】①②④
解：延长FP交AB于点G,则FG⊥AB,延长AP交BC于点H,连结CP.∵AB=BC,BP=BP,∠ABP=∠CBP=45°,∴△ABP≌△CBP,∴AP=PC.∵∠ABD=∠CBD,PE⊥BC,PG⊥AB,∴PE=PG,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形PECF为矩形,∴∠FPE=90°,PC=EF,∴AP=EF,故①正确;
∵PG=PE,AP=EF,∠AGP=∠FPE=90°,∴Rt△APG≌Rt△FEP,∴∠PAG=∠PFE,故④正确;2-1-c-n-j-y
∵∠AHB+∠PAG=90°,∠PAG=∠PFE,∠FEC=∠PFE,∴∠FEC+∠
AHB=90°,即AH⊥EF,故②正确.
8.证明:(1)∵AD=CD,点E是边AC的中点,∴DE⊥AC,∴DE是线段AC的垂直平分线,∴AF=CF,【出处：21教育名师】
∴∠FAC=∠ACB.
在Rt△ABC中,由∠BAC=90°得∠B+∠ACB=90°,∠FAC+∠BAF=90°,
∴∠B=∠BAF,∴AF=BF.
(2)∵AG∥CF,∴∠AGE=∠CFE.
又∵点E是边AC的中点,∴AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∴△AEG≌△CEF,
∴AG=CF.又∵AG∥CF,∴四边形AFCG是平行四边形.
∵AF=CF,∴四边形AFCG是菱形.
在Rt△ABC中,∵AF=CF,AF=BF,
∴BF=CF,∴点F是边BC的中点.
又∵AB=AC,∴AF⊥BC,即∠AFC=90°.
∴四边形AFCG是正方形.
9.解:(1)AF=BE;AF⊥BE
(2)结论成立.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°.
在△EAD和△FDC中,
∴△EAD≌△FDC.∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA,即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF.∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90°,∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴AF⊥BE.
(3)结论都能成立.