内蒙古包头九中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 内蒙古包头九中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 324.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-10 09:16:29 | ||
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文档简介
2016-2017学年内蒙古包头九中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知命题p：抛物线方程是x=4y2，则它的准线方程为x=1，命题q：双曲线的一个焦点是（0，3），其中真命题是（ ）
A．p
B．￢q
C．p∧q
D．p∨q
4．某单位有840名职工，现采用系统抽样
( http: / / www.21cnjy.com )方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
5．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知A（﹣1，0），B（3，0），则与A距离为1且与B距离为4的点有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
7．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（ ）
A．11（2）
B．100（2）
C．101（2）
D．110（2）
8．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（ ）
A．在处取得最大值
B．在处取得最大值
C．在处取得最大值
D．无最大值
9．两个相关变量满足如表关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程：
=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ）
A．37
B．38.5
C．39
D．40.5
10．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，
( http: / / www.21cnjy.com )焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
12．设F1，F为椭圆C1：
+=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，++∞）
C．（1，4]
D．[，4]
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．某单位有职工750人
( http: / / www.21cnjy.com )，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．
14．设某总体是由编号为01，02，…
( http: / / www.21cnjy.com )，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 ．
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则= ．
17．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 ．
18．下列说法正确的是
①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0≥0，使得”；
④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；
⑤表示焦点在x轴上的双曲线．
三、解答题（每小题12分，共60分）
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．
20．一次测试中，为了了解学生的学
( http: / / www.21cnjy.com )习情况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；
（3）在选取的样本中，从成绩是80
( http: / / www.21cnjy.com )分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90，100]内的概率．
21．如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）直线与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求SEFGH的最大值．
22．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l1与抛物线C
( http: / / www.21cnjy.com )相交于A、B两点，经过点F与直线l1垂直的直线l2交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．
2016-2017学年内蒙古包头九中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，将椭圆方程变形可得：
+=1，分析可得a的值，又由椭圆的几何性质可得长轴长2a，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆方程2x2+3y2=1，变形可得：
+=1，
其中a==，
则它的长轴长2a=；
故选：A．
2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，，即可求出a的值．
【解答】解：由题意，，
∴a=2，
故选：C．
3．已知命题p：抛物线方程是x=4y2，则它的准线方程为x=1，命题q：双曲线的一个焦点是（0，3），其中真命题是（ ）
A．p
B．￢q
C．p∧q
D．p∨q
【考点】双曲线的标准方程；复合命题的真假；抛物线的标准方程．
【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得P为假命题，由双曲线标准方程分析可得q为真命题，进而结合复合命题的性质依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，分析2个命题，
对于命题p，抛物线方程是x=4y2，即y2=x，其准线方程为x=﹣，故命题P为假命题；
对于命题q，双曲线的方程，即﹣=1，焦点在y轴上，且c==3，坐标为（0，3），命题q为真命题；
分析选项可得：A、命题P为假命题；
B、命题q为真命题，命题q为假命题；
C、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∧q为假命题；
D、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∨q为真命题；
故选：D．
4．某单位有840名职工，
( http: / / www.21cnjy.com )现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．
故：B．
5．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有10种选法，则没有黑球只有3种，根据互斥事件的概率公式计算即可
【解答】解：从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有C62=15种选法，则没有黑球C32=3种，
∴每个小球被抽到的机会均等，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为1﹣=，
故选：D．
6．已知A（﹣1，0），B（3，0），则与A距离为1且与B距离为4的点有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】以A为圆心，1为
( http: / / www.21cnjy.com )半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=16，圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，可得结论．
【解答】解：以A为圆心，1为半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；
以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=16，
圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，
∴与A距离为1且与B距离为4的点有2个，
故选B．
7．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（ ）
A．11（2）
B．100（2）
C．101（2）
D．110（2）
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体：n=1，满足继续循环的条件，S=；
第二次执行循环体：n=2，满足继续循环的条件，S=；
第三次执行循环体：n=3，满足继续循环的条件，S=；
第四次执行循环体：n=4，满足继续循环的条件，S=；
第五次执行循环体：n=5，不满足继续循环的条件，
故输出n值为5，
∵5（10）=101（2），
故选：C
8．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（ ）
A．在处取得最大值
B．在处取得最大值
C．在处取得最大值
D．无最大值
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，核对四个选项得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．
故选：C．
9．两个相关变量满足如表关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程：
=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ）
A．37
B．38.5
C．39
D．40.5
【考点】线性回归方程．
【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．
【解答】解：
=，∴=9.4×4+9.2=46.8．
设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．
解得a=39．
故选C．
10．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原
( http: / / www.21cnjy.com )点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形并求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．
【解答】解：如图，设椭圆方程为．
∵△ABF2周长为，∴4a=，得a=．
又，∴c=1．
则b2=a2﹣c2=2．
∴椭圆C的方程为：．
故选：B．
11．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线
( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．
【解答】解：把直线y=kx﹣1方程
( http: / / www.21cnjy.com )代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．
当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．
∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．
故选：A．
12．设F1，F为椭圆C1：
+=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，++∞）
C．（1，4]
D．[，4]
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】如图所示，设双曲线C2的离心
( http: / / www.21cnjy.com )率为e1，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出双曲线C2的离心率的取值范围．
【解答】解：如图所示，
设双曲线C2的离心率为e1．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．
由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，
∴﹣2=，
∵e∈[，]，∴∈[，]，
∴∈[，]．
∴e1∈[，4]．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．某单位有职工750人，其中青年职
( http: / / www.21cnjy.com )工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 15 ．
【考点】分层抽样方法；循环结构．
【分析】根据分层抽样的定义和方
( http: / / www.21cnjy.com )法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于
=．
设样本容量等于n，则有
=，解得n=15，
故答案为15．
14．设某总体是由编号为01，02，…
( http: / / www.21cnjy.com )，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 10 ．
【考点】简单随机抽样．
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6
( http: / / www.21cnjy.com )列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复．
可知对应的数值为08，02，14，07，10，
则第5个个体的编号为10．
故答案为：10
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．
【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二次方程，然后由及0＜e＜1可求
【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列
∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①
∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0
∵
∴5e2+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
∴
故答案为：
16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则= 4 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出|MF1|=m，|MF2|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，
则，
由②﹣①2得
mn=16
∴△F1MF2的面积S==4，
故答案为4．
17．设抛物线C：y2=2p
( http: / / www.21cnjy.com )x（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 y2=4x或y2=16x ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，求出p，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为y2=4x或y2=16x．
18．下列说法正确的是 ①④
①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0≥0，使得”；
④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；
⑤表示焦点在x轴上的双曲线．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由构成三角形的条件，两边之差小于第三边，即可判断①；由抛物线的定义，即可判断②；
由命题的否定形式，即可判断③；由构成三角形或线段的条件，判断④；
讨论m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，即可判断⑤．
【解答】解：①定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，
则满足||PF1|﹣|PF2||=3＞2的动点P的轨迹不存在，故①正确；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，若F在直线l上，可得P的轨迹为过F垂直于l的直线，
则动点P的轨迹为抛物线错，故②错误；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0＜0，使得”故③错误；
④定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2，故④正确；
⑤，当m＞0，n＞0表示焦点在x轴上的双曲线，当m＜0，n＜0表示焦点在y轴上的双曲线，
故⑤错误．
故答案为：①④．
三、解答题（每小题12分，共60分）
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，
( http: / / www.21cnjy.com )k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，
|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，
设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，
∴k=2，
∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．
20．一次测试中，为了了解学生的学习情
( http: / / www.21cnjy.com )况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；
（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上
( http: / / www.21cnjy.com )（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90，100]内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）根据频率分布直方图分别求出这40名同学成绩的平均数、中位数及众数即可；
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的有4人，分数在[90，100]内的有2人，根据条件概率求出即可．
【解答】解：（1）由题意可知，
样本容量n==40，
y=÷10=0.005，
x==0.025．
（2）由频率分布直方图得：
[50，60）有0.2×40=8人，
[60，70）有0.25×40=10人，
[70，80）有0.4×40=16人，
[80，9）有0.1×40=4人，
[90，100]有0.05×40=2人，
故平均数是：
=70.5；
中位数：71.25；众数：75；
（3）由题意，分数在[80，90）内的有4人，
分数在[90，100]内的有2人，
成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．
P（X=2）==．
21．如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）直线与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求SEFGH的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；
（2）联立直线方程与椭圆方程，求出|EG|，
( http: / / www.21cnjy.com )再由题意设出FH所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得|FH|的最大值，代入四边形面积公式求得答案．
【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp）
由已知得：xp=x，yp=y，
∵P是圆x2+y2=6上的动点，
∴x2+2y2=6，即；
（2）联立，得．
解得：．
∴|EG|==．
由题意可设F、H所在直线方程为y=x+m．
联立，得3x2+4mx+2m2﹣6=0．
由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=﹣8m2+72＞0，得﹣3＜m＜3．
，．
|FH|==．
∴当m=0时，|FH|max=4．
∴．
22．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l1与
( http: / / www.21cnjy.com )抛物线C相交于A、B两点，经过点F与直线l1垂直的直线l2交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）通过将P（2，m）代入抛物线C方程及抛物线的定义计算即得结论；
（Ⅱ）设l1：x=m（y﹣2）+3（m
( http: / / www.21cnjy.com )≠0），l2：x=﹣y+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x3，y3）、N（x4，y4），分别与抛物线方程联立，利用韦达定理及|QA| |QB|=|MN|2，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义得|PF|即为点P到准线的距离，
∴|PF|=2+=4，∴p=4，
又P（2，m）是抛物线C上一点，
∴m2=2×4×2=16，
∴m=±4；
（Ⅱ）由题可设l1：x=m（y﹣2）+3（m≠0），
则l2：x=﹣y+2，
由，得y2﹣8my+16m﹣24=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有y1+y2=8m，y1y2=16m﹣24，
∴|QA| |QB|=（1+m2）|y2﹣2||y1﹣2|=20（1+m2），
由，得m2y+8y﹣16m=0，
设M（x3，y3）、N（x4，y4），
则y3+y4=﹣，y3y4=﹣16，
故|MN|2=（1+）|y3﹣y4|2=，
由已知20（1+m2）=，
化简得5m4﹣16m2﹣16=0，
解得m2=4，
∴|MN|=10．
2017年3月9日
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知命题p：抛物线方程是x=4y2，则它的准线方程为x=1，命题q：双曲线的一个焦点是（0，3），其中真命题是（ ）
A．p
B．￢q
C．p∧q
D．p∨q
4．某单位有840名职工，现采用系统抽样
( http: / / www.21cnjy.com )方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
5．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知A（﹣1，0），B（3，0），则与A距离为1且与B距离为4的点有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
7．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（ ）
A．11（2）
B．100（2）
C．101（2）
D．110（2）
8．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（ ）
A．在处取得最大值
B．在处取得最大值
C．在处取得最大值
D．无最大值
9．两个相关变量满足如表关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程：
=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ）
A．37
B．38.5
C．39
D．40.5
10．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，
( http: / / www.21cnjy.com )焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
12．设F1，F为椭圆C1：
+=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，++∞）
C．（1，4]
D．[，4]
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．某单位有职工750人
( http: / / www.21cnjy.com )，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．
14．设某总体是由编号为01，02，…
( http: / / www.21cnjy.com )，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 ．
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则= ．
17．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 ．
18．下列说法正确的是
①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0≥0，使得”；
④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；
⑤表示焦点在x轴上的双曲线．
三、解答题（每小题12分，共60分）
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．
20．一次测试中，为了了解学生的学
( http: / / www.21cnjy.com )习情况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；
（3）在选取的样本中，从成绩是80
( http: / / www.21cnjy.com )分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90，100]内的概率．
21．如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）直线与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求SEFGH的最大值．
22．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l1与抛物线C
( http: / / www.21cnjy.com )相交于A、B两点，经过点F与直线l1垂直的直线l2交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．
2016-2017学年内蒙古包头九中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，将椭圆方程变形可得：
+=1，分析可得a的值，又由椭圆的几何性质可得长轴长2a，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆方程2x2+3y2=1，变形可得：
+=1，
其中a==，
则它的长轴长2a=；
故选：A．
2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，，即可求出a的值．
【解答】解：由题意，，
∴a=2，
故选：C．
3．已知命题p：抛物线方程是x=4y2，则它的准线方程为x=1，命题q：双曲线的一个焦点是（0，3），其中真命题是（ ）
A．p
B．￢q
C．p∧q
D．p∨q
【考点】双曲线的标准方程；复合命题的真假；抛物线的标准方程．
【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得P为假命题，由双曲线标准方程分析可得q为真命题，进而结合复合命题的性质依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，分析2个命题，
对于命题p，抛物线方程是x=4y2，即y2=x，其准线方程为x=﹣，故命题P为假命题；
对于命题q，双曲线的方程，即﹣=1，焦点在y轴上，且c==3，坐标为（0，3），命题q为真命题；
分析选项可得：A、命题P为假命题；
B、命题q为真命题，命题q为假命题；
C、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∧q为假命题；
D、命题P为假命题，命题q为真命题，则p∨q为真命题；
故选：D．
4．某单位有840名职工，
( http: / / www.21cnjy.com )现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．
故：B．
5．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有10种选法，则没有黑球只有3种，根据互斥事件的概率公式计算即可
【解答】解：从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有C62=15种选法，则没有黑球C32=3种，
∴每个小球被抽到的机会均等，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为1﹣=，
故选：D．
6．已知A（﹣1，0），B（3，0），则与A距离为1且与B距离为4的点有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】以A为圆心，1为
( http: / / www.21cnjy.com )半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=16，圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，可得结论．
【解答】解：以A为圆心，1为半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；
以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=16，
圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，
∴与A距离为1且与B距离为4的点有2个，
故选B．
7．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（ ）
A．11（2）
B．100（2）
C．101（2）
D．110（2）
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体：n=1，满足继续循环的条件，S=；
第二次执行循环体：n=2，满足继续循环的条件，S=；
第三次执行循环体：n=3，满足继续循环的条件，S=；
第四次执行循环体：n=4，满足继续循环的条件，S=；
第五次执行循环体：n=5，不满足继续循环的条件，
故输出n值为5，
∵5（10）=101（2），
故选：C
8．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（ ）
A．在处取得最大值
B．在处取得最大值
C．在处取得最大值
D．无最大值
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，核对四个选项得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．
故选：C．
9．两个相关变量满足如表关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程：
=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ）
A．37
B．38.5
C．39
D．40.5
【考点】线性回归方程．
【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．
【解答】解：
=，∴=9.4×4+9.2=46.8．
设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．
解得a=39．
故选C．
10．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原
( http: / / www.21cnjy.com )点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形并求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．
【解答】解：如图，设椭圆方程为．
∵△ABF2周长为，∴4a=，得a=．
又，∴c=1．
则b2=a2﹣c2=2．
∴椭圆C的方程为：．
故选：B．
11．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线
( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．
【解答】解：把直线y=kx﹣1方程
( http: / / www.21cnjy.com )代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．
当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．
∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．
故选：A．
12．设F1，F为椭圆C1：
+=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，++∞）
C．（1，4]
D．[，4]
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】如图所示，设双曲线C2的离心
( http: / / www.21cnjy.com )率为e1，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出双曲线C2的离心率的取值范围．
【解答】解：如图所示，
设双曲线C2的离心率为e1．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．
由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，
∴﹣2=，
∵e∈[，]，∴∈[，]，
∴∈[，]．
∴e1∈[，4]．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．某单位有职工750人，其中青年职
( http: / / www.21cnjy.com )工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 15 ．
【考点】分层抽样方法；循环结构．
【分析】根据分层抽样的定义和方
( http: / / www.21cnjy.com )法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于
=．
设样本容量等于n，则有
=，解得n=15，
故答案为15．
14．设某总体是由编号为01，02，…
( http: / / www.21cnjy.com )，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 10 ．
【考点】简单随机抽样．
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6
( http: / / www.21cnjy.com )列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复．
可知对应的数值为08，02，14，07，10，
则第5个个体的编号为10．
故答案为：10
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．
【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二次方程，然后由及0＜e＜1可求
【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列
∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①
∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0
∵
∴5e2+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
∴
故答案为：
16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则= 4 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出|MF1|=m，|MF2|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，
则，
由②﹣①2得
mn=16
∴△F1MF2的面积S==4，
故答案为4．
17．设抛物线C：y2=2p
( http: / / www.21cnjy.com )x（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 y2=4x或y2=16x ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，求出p，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为y2=4x或y2=16x．
18．下列说法正确的是 ①④
①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0≥0，使得”；
④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；
⑤表示焦点在x轴上的双曲线．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由构成三角形的条件，两边之差小于第三边，即可判断①；由抛物线的定义，即可判断②；
由命题的否定形式，即可判断③；由构成三角形或线段的条件，判断④；
讨论m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，即可判断⑤．
【解答】解：①定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，
则满足||PF1|﹣|PF2||=3＞2的动点P的轨迹不存在，故①正确；
②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，若F在直线l上，可得P的轨迹为过F垂直于l的直线，
则动点P的轨迹为抛物线错，故②错误；
③命题“ x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“ x0＜0，使得”故③错误；
④定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2，故④正确；
⑤，当m＞0，n＞0表示焦点在x轴上的双曲线，当m＜0，n＜0表示焦点在y轴上的双曲线，
故⑤错误．
故答案为：①④．
三、解答题（每小题12分，共60分）
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，
( http: / / www.21cnjy.com )k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，
|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，
设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，
∴k=2，
∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．
20．一次测试中，为了了解学生的学习情
( http: / / www.21cnjy.com )况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；
（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上
( http: / / www.21cnjy.com )（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90，100]内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）根据频率分布直方图分别求出这40名同学成绩的平均数、中位数及众数即可；
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的有4人，分数在[90，100]内的有2人，根据条件概率求出即可．
【解答】解：（1）由题意可知，
样本容量n==40，
y=÷10=0.005，
x==0.025．
（2）由频率分布直方图得：
[50，60）有0.2×40=8人，
[60，70）有0.25×40=10人，
[70，80）有0.4×40=16人，
[80，9）有0.1×40=4人，
[90，100]有0.05×40=2人，
故平均数是：
=70.5；
中位数：71.25；众数：75；
（3）由题意，分数在[80，90）内的有4人，
分数在[90，100]内的有2人，
成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．
P（X=2）==．
21．如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）直线与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求SEFGH的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；
（2）联立直线方程与椭圆方程，求出|EG|，
( http: / / www.21cnjy.com )再由题意设出FH所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得|FH|的最大值，代入四边形面积公式求得答案．
【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp）
由已知得：xp=x，yp=y，
∵P是圆x2+y2=6上的动点，
∴x2+2y2=6，即；
（2）联立，得．
解得：．
∴|EG|==．
由题意可设F、H所在直线方程为y=x+m．
联立，得3x2+4mx+2m2﹣6=0．
由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=﹣8m2+72＞0，得﹣3＜m＜3．
，．
|FH|==．
∴当m=0时，|FH|max=4．
∴．
22．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l1与
( http: / / www.21cnjy.com )抛物线C相交于A、B两点，经过点F与直线l1垂直的直线l2交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）通过将P（2，m）代入抛物线C方程及抛物线的定义计算即得结论；
（Ⅱ）设l1：x=m（y﹣2）+3（m
( http: / / www.21cnjy.com )≠0），l2：x=﹣y+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x3，y3）、N（x4，y4），分别与抛物线方程联立，利用韦达定理及|QA| |QB|=|MN|2，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义得|PF|即为点P到准线的距离，
∴|PF|=2+=4，∴p=4，
又P（2，m）是抛物线C上一点，
∴m2=2×4×2=16，
∴m=±4；
（Ⅱ）由题可设l1：x=m（y﹣2）+3（m≠0），
则l2：x=﹣y+2，
由，得y2﹣8my+16m﹣24=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有y1+y2=8m，y1y2=16m﹣24，
∴|QA| |QB|=（1+m2）|y2﹣2||y1﹣2|=20（1+m2），
由，得m2y+8y﹣16m=0，
设M（x3，y3）、N（x4，y4），
则y3+y4=﹣，y3y4=﹣16，
故|MN|2=（1+）|y3﹣y4|2=，
由已知20（1+m2）=，
化简得5m4﹣16m2﹣16=0，
解得m2=4，
∴|MN|=10．
2017年3月9日