20.3 数据的离散程度 同步练习
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20.3 数据的离散程度
核心笔记: 1.方差:将一组数据“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果叫做方差,它表示一组数据偏离平均值的情况.n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
2.用计算器求方差的步骤:①打开计算器;②启动统计计算功能;③输入所有数据;④得到一个数值,再将该数值平方.21教育网
基础训练
1.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( )
A.方差 B.众数
C.平均数 D.中位数
2.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
561
560
561
560
方差S2
3.5
3.5
15.5
16.5
根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.一般具有统计功能的计算器可以直接求出( )
A.平均数和标准差 B.方差和标准差
C.众数和方差 D.平均数和方差
4.以下说法中,①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的方差不变,正确的有( )21cnjy.com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知一组数据-3,x,-2,3,1,6的中位数为1,则其方差为 .?
6.甲、乙两台机器分别罐装每瓶标准质量为500克的矿泉水,从甲、乙两台机器罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶,测算得它们实际质量的方差是=4.8,=3.6,则 (填“甲”或“乙”)机器罐装的矿泉水质量比较稳定.?2·1·c·n·j·y
7. A、B两校举行初中数学联赛,各校从九年级学生中挑选50人参加,成绩统计如下表:
成绩(分)
50
60
70
80
90
100
人数
A
2
5
10
13
14
6
B
4
4
16
2
12
12
请你根据所学知识和表中数据,判断这两校学生在这次联赛中的成绩谁优谁次?
培优提升
1.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
2.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两个班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,由此可知( )
A.(1)班比(2)班的成绩稳定
B.(2)班比(1)班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪个班的成绩更稳定
3.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:吨/公顷):
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
经计算,=10吨/公顷,=10吨/公顷,根据这组数据估计 种水稻品种的产量比较稳定.?
4.统计学规定:某次测量得到n个结果x1,x2,…,xn.当函数y=(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2取最小值时,对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”.若某次测量得到5个结果分别为9.8,10.1,10.5,10.3,9.8,则这次测量的“最佳近似值”为 .
5.水稻种植是嘉兴的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻秧苗的长势,农技人员从两块试验田中分别随机抽取5株水稻秧苗,将测得的苗高数据绘制成如图所示的统计图.21·cn·jy·com
请你根据统计图所提供的数据,计算甲、乙两种水稻苗高的平均数和方差,并比较两种水稻的长势.
6.在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量.
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下:www.21-cn-jy.com
甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
(1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格:
极差(千克)
方差
平均差(千克)
甲鱼塘
乙鱼塘
(2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度?
参考答案
【基础训练】
1.【答案】A 2.【答案】A
3.【答案】A
解：根据计算器的功能可知不能直接求方差,只能先求标准差再平方,故答案为A.
4.【答案】B
解：①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等,正确;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零,错误,如2和-2的平均数是零,每一个数减去平均数,再将所得的差相加和为零,而方差为4;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变,正确;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,平均数不变,则各数与平均数的差的平方和不变,但数据的个数少了一个,所以数据的方差改变,错误.故选B.
5.【答案】9 6.【答案】乙
7.解:从众数看,A校学生成绩的众数为90分,B校学生成绩的众数为70分,A校学生的成绩较优;
从方差看,=172,=256,∵<,∴A校学生的成绩较稳定;
从中位数、平均数上看,两校学生成绩的中位数、平均数都是80分,但A校80分以上(包括80分)的人数为33人,B校只有26人,A校的成绩总体好些; 【来源：21·世纪·教育·网】
A校90分以上(包括90分)的有20人,B校有24人,且A校100分的只有6人,B校有12人,所以B校的尖子生较突出.21·世纪*教育网
【培优提升】
1.【答案】B
解：由于方差能反映数据的稳定性,故需要比较这两名同学5次短跑训练成绩的方差.故选B.
2.【答案】B
解：∵(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,
∴(1)班成绩的方差>(2)班成绩的方差,
∴(2)班比(1)班的成绩稳定.
故选B.
3.【答案】甲
解：甲种水稻产量的方差是:
×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02,
乙种水稻产量的方差是:
×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244.
∵0.02<0.244,
∴产量比较稳定的水稻品种是甲,
故答案为:甲.
4.【答案】10.1
解：根据题意得: x=(9.8+10.1+10.5+10.3+9.8)÷5=10.1,故答案
为:10.1.
5.解:每种水稻的苗高如下表所示:(单位:cm)
编号
1
2
3
4
5
甲种水稻苗高
7
5
4
5
8
乙种水稻苗高
6
4
5
6
5
因为=×(7+5+4+5+8)=5.8(cm),
=×(6+4+5+6+5)=5.2(cm),
所以甲种水稻比乙种水稻长得更高一些.
因为=×
[(7-5.8)2+(5-5.8)2+(4-5.8)2+(5-5.8)2+(8-5.8)2]=2.16,=×
[(6-5.2)2+(4-5.2)2+(5-5.2)2+(6-5.2)2+(5-5.2)2]=0.56,所以乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些.21世纪教育网版权所有
6.解:(1)甲鱼塘中鱼的质量的极差为7-3=4(千克),
平均数=(3×2+5×6+7×2)÷10=5(千克),
==1.6,
T甲=×(|3-5|+|5-5|+…+|3-5|)=0.8(千克);
乙鱼塘中鱼的质量的极差为6-4=2(千克),
平均数=(4×4+6×4+5×2)÷10=5(千克),
=×[(4-5)2+(4-5)2+…+(4-5)2]=0.8,
T乙=×(|4-5|+|4-5|+…+|4-5|)=0.8(千克).
极差(千克)
方差
平均差(千克)
甲鱼塘
4
1.6
0.8
乙鱼塘
2
0.8
0.8
(2)根据极差与方差可以得出甲鱼塘的风险更大.极差与方差更能说明鱼质量的离散程度.
分析：本题的精彩之处在于新定义了平均差的概念,有利于培养学生的创新思维.
核心笔记: 1.方差:将一组数据“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果叫做方差,它表示一组数据偏离平均值的情况.n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
2.用计算器求方差的步骤:①打开计算器;②启动统计计算功能;③输入所有数据;④得到一个数值,再将该数值平方.21教育网
基础训练
1.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的( )
A.方差 B.众数
C.平均数 D.中位数
2.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
561
560
561
560
方差S2
3.5
3.5
15.5
16.5
根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.一般具有统计功能的计算器可以直接求出( )
A.平均数和标准差 B.方差和标准差
C.众数和方差 D.平均数和方差
4.以下说法中,①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的方差不变,正确的有( )21cnjy.com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知一组数据-3,x,-2,3,1,6的中位数为1,则其方差为 .?
6.甲、乙两台机器分别罐装每瓶标准质量为500克的矿泉水,从甲、乙两台机器罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶,测算得它们实际质量的方差是=4.8,=3.6,则 (填“甲”或“乙”)机器罐装的矿泉水质量比较稳定.?2·1·c·n·j·y
7. A、B两校举行初中数学联赛,各校从九年级学生中挑选50人参加,成绩统计如下表:
成绩(分)
50
60
70
80
90
100
人数
A
2
5
10
13
14
6
B
4
4
16
2
12
12
请你根据所学知识和表中数据,判断这两校学生在这次联赛中的成绩谁优谁次?
培优提升
1.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
2.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两个班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,由此可知( )
A.(1)班比(2)班的成绩稳定
B.(2)班比(1)班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪个班的成绩更稳定
3.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:吨/公顷):
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
经计算,=10吨/公顷,=10吨/公顷,根据这组数据估计 种水稻品种的产量比较稳定.?
4.统计学规定:某次测量得到n个结果x1,x2,…,xn.当函数y=(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2取最小值时,对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”.若某次测量得到5个结果分别为9.8,10.1,10.5,10.3,9.8,则这次测量的“最佳近似值”为 .
5.水稻种植是嘉兴的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻秧苗的长势,农技人员从两块试验田中分别随机抽取5株水稻秧苗,将测得的苗高数据绘制成如图所示的统计图.21·cn·jy·com
请你根据统计图所提供的数据,计算甲、乙两种水稻苗高的平均数和方差,并比较两种水稻的长势.
6.在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量.
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下:www.21-cn-jy.com
甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
(1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格:
极差(千克)
方差
平均差(千克)
甲鱼塘
乙鱼塘
(2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度?
参考答案
【基础训练】
1.【答案】A 2.【答案】A
3.【答案】A
解：根据计算器的功能可知不能直接求方差,只能先求标准差再平方,故答案为A.
4.【答案】B
解：①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等,正确;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零,错误,如2和-2的平均数是零,每一个数减去平均数,再将所得的差相加和为零,而方差为4;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变,正确;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,平均数不变,则各数与平均数的差的平方和不变,但数据的个数少了一个,所以数据的方差改变,错误.故选B.
5.【答案】9 6.【答案】乙
7.解:从众数看,A校学生成绩的众数为90分,B校学生成绩的众数为70分,A校学生的成绩较优;
从方差看,=172,=256,∵<,∴A校学生的成绩较稳定;
从中位数、平均数上看,两校学生成绩的中位数、平均数都是80分,但A校80分以上(包括80分)的人数为33人,B校只有26人,A校的成绩总体好些; 【来源：21·世纪·教育·网】
A校90分以上(包括90分)的有20人,B校有24人,且A校100分的只有6人,B校有12人,所以B校的尖子生较突出.21·世纪*教育网
【培优提升】
1.【答案】B
解：由于方差能反映数据的稳定性,故需要比较这两名同学5次短跑训练成绩的方差.故选B.
2.【答案】B
解：∵(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,
∴(1)班成绩的方差>(2)班成绩的方差,
∴(2)班比(1)班的成绩稳定.
故选B.
3.【答案】甲
解：甲种水稻产量的方差是:
×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02,
乙种水稻产量的方差是:
×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244.
∵0.02<0.244,
∴产量比较稳定的水稻品种是甲,
故答案为:甲.
4.【答案】10.1
解：根据题意得: x=(9.8+10.1+10.5+10.3+9.8)÷5=10.1,故答案
为:10.1.
5.解:每种水稻的苗高如下表所示:(单位:cm)
编号
1
2
3
4
5
甲种水稻苗高
7
5
4
5
8
乙种水稻苗高
6
4
5
6
5
因为=×(7+5+4+5+8)=5.8(cm),
=×(6+4+5+6+5)=5.2(cm),
所以甲种水稻比乙种水稻长得更高一些.
因为=×
[(7-5.8)2+(5-5.8)2+(4-5.8)2+(5-5.8)2+(8-5.8)2]=2.16,=×
[(6-5.2)2+(4-5.2)2+(5-5.2)2+(6-5.2)2+(5-5.2)2]=0.56,所以乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些.21世纪教育网版权所有
6.解:(1)甲鱼塘中鱼的质量的极差为7-3=4(千克),
平均数=(3×2+5×6+7×2)÷10=5(千克),
==1.6,
T甲=×(|3-5|+|5-5|+…+|3-5|)=0.8(千克);
乙鱼塘中鱼的质量的极差为6-4=2(千克),
平均数=(4×4+6×4+5×2)÷10=5(千克),
=×[(4-5)2+(4-5)2+…+(4-5)2]=0.8,
T乙=×(|4-5|+|4-5|+…+|4-5|)=0.8(千克).
极差(千克)
方差
平均差(千克)
甲鱼塘
4
1.6
0.8
乙鱼塘
2
0.8
0.8
(2)根据极差与方差可以得出甲鱼塘的风险更大.极差与方差更能说明鱼质量的离散程度.
分析：本题的精彩之处在于新定义了平均差的概念,有利于培养学生的创新思维.