28.2.3 实际中的视角问题 同步练习
文档属性
| 名称 | 28.2.3 实际中的视角问题 同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 606.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-09 22:29:23 | ||
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文档简介
28.2.3 实际中的视角问题
基础训练
知识点1 仰角的认识
1.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=7米,则树高BC为________米.(用含α的代数式表示)?2·1·c·n·j·y
2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学眼睛距离地面的高度(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为( )(结果精确到0.1 m,≈1.73)【来源：21·世纪·教育·网】
A.3.5 m B.3.6 m C.4.3 m D.5.1 m
3.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.【出处：21教育名师】
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).
(备用数据:≈1.7,≈1.4)
知识点2 俯角的认识
4.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )www-2-1-cnjy-com
A.100 m B.50 m
C.50 m D. m
5.如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,则旗杆AB的高度是 m.(结果保留根号)【版权所有：21教育】
6.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈,cos 35°≈,tan 35°≈)2-1-c-n-j-y
提升训练
考查角度1 利用三角函数测量同一位置的视角应用
7.如图,平台AB高为12米 ,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(≈1.7)
8.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离为120 m,求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)21教育网
考查角度2 利用三角函数测量不同位置的视角应用
9.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7 062.68米,某天该深潜器在海面下1 800米处作业(如图),测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行2 000米到B点,此时测得海底沉船C的俯角为60°.21教育名师原创作品
(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由.
(2)由于海流原因,“蛟龙”号需在B点处马上上浮,若平均垂直上浮速度为2 000米/时,求“蛟龙”号上浮回到海面的时间.(参考数据:≈1.414,≈1.732)www.21-cn-jy.com
10.如图,在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数)21*cnjy*com
11.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.21cnjy.com
12.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图,在一次数学课外实践活动中,老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,然后向电视塔前进224 m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.(≈1.73,结果精确到0.1 m)21·世纪*教育网
13.如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计)
14.如图,AB,CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;
(2)求建筑物CD的高度.(结果保留根号)
参考答案
1.【答案】7tan α
2.【答案】D
解：设CD=x m,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,则AD=x m,在Rt△CED中,CD=x m,∠CED=60°,则ED=x m,由题意得,AD-ED=x-x=4,解得:x=2,则这棵树的高度为2+1.6≈5.1(m).21*cnjy*com
3.解:如图,延长PQ交直线AB于点C,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°.
(2)∵∠PBC=60°,∠QBC=30°,
∴∠PBQ=30°,∴∠PBQ=∠BPQ,
∴QB=QP.设PQ=x m,则QB=QP=x m,
在Rt△BCQ中,BC=x·cos 30°=x m,
QC=x m.
在Rt△ACP中,CA=CP,
∴6+x=x+x,
解得x=2+6.
∴PQ=2+6≈9(m),即该电线杆PQ的高度约为9 m.
4.【答案】A
解：由题意可知,∠ABC=30°,AC=100 m.
在Rt△ABC中,tan ∠ABC=,
即tan 30°=,所以BC=100 m.故选A.
5.【答案】(3+9)
6.解:作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,
由题知:∠ACD=35°,∠ABD=45°,
在Rt△ACD中,∠ACD=35°,
tan 35°=≈,所以CD≈AD.
在Rt△ABD中,∠ABD=45°,
tan 45°==1,所以BD=AD.
由题知BC=CD-DB=100.
所以AD-AD=100.
解得AD≈233 m.
答:热气球离地面的高度约为233 m.
7.解:过点B作BE⊥CD,垂足为E.
∵AB⊥AC,DC⊥AC,BE⊥CD,
∴四边形ABEC是矩形.
∴AB=CE=12米.
在Rt△BEC中,
∵CE=12米,∠CBE=30°,∴BE=12米.
在Rt△BED中,
∵BE=12米,∠DBE=45°,∴DE=BE=12米.
∴CD=CE+BE=12+12≈32.4(米).
8.解:在Rt△ABD中,
∵tan 30°=,
∴BD=AD·tan 30°=120×=40.
在Rt△ACD中,
∵tan 65°=,
∴CD=120·tan 65°,
∴BC=BD+CD=40+120·tan 65°.
答:这栋高楼的高度为(40+120·tan 65°)米.
9.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB交AB于点D.
在Rt△ACD中,tan ∠CAD=,则AD=.
在Rt△BCD中,tan ∠CBD=,则BD=,
由已知得AB=2 000,
∴-=2 000,
解得CD≈4 732,
∴沉船C距离海面1 800+4 732=6 532(米).
∵6 532<7 062.68,
∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内.
(2)“蛟龙”号上浮回到海面的时间为1 800÷2 000=0.9(小时).
10.解:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD的长即为潜艇C离开海平面的下潜深度.
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x米.则BD=BA+AD=(1 000+x)米.【来源：21cnj*y.co*m】
在Rt△ACD中,CD===x(米).
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°,
∴1 000+x=x·tan 68°,
∴x=≈304.
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为304米.
11.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,
则四边形ABFE为矩形,所以AB=EF,AE=BF,
由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米),CD=19 900米.
∵在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=900米,∴CE=900米.
在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900米,
∴DF===300(米).
∴AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300-900=19 000+300(米).
答:两海岛间的距离AB是(19 000+300)米.
12.解:∵∠CAF=∠AFG-∠ACG=60°-30°=30°.又∵∠ACF=30°,∴∠CAF=∠ACF.∴AF=CF=DE=224 m.在Rt△AFG中,AG=AF·sin 60°=224×=112(m).21·cn·jy·com
∴AB=AG+GB=112+1.5≈195.3(m).
答:电视塔的高度AB约为195.3 m.
13.解:过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,
∴AF=BE,EF=AB=3米,设DE=x米,在Rt△CDE中,CE===x米.
在Rt△ABC中,∵=,AB=3米,∴BC=3米.
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=(x-3)米,∴AF===(x-3)米.
∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.
答:树DE的高度为9米.
14.解:(1)根据题意得:BD∥AE,∴∠ADB=∠EAD=45°.
∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB=45°,∴BD=AB=60,
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米.
(2)延长AE,DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,∴AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中,∠FAC=30°,21世纪教育网版权所有
∴CF=AF·tan ∠FAC=60×=20.又∵FD=60,
∴CD=60-20.∴建筑物CD的高度为(60-20)米.
基础训练
知识点1 仰角的认识
1.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=7米,则树高BC为________米.(用含α的代数式表示)?2·1·c·n·j·y
2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学眼睛距离地面的高度(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为( )(结果精确到0.1 m,≈1.73)【来源：21·世纪·教育·网】
A.3.5 m B.3.6 m C.4.3 m D.5.1 m
3.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.【出处：21教育名师】
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).
(备用数据:≈1.7,≈1.4)
知识点2 俯角的认识
4.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )www-2-1-cnjy-com
A.100 m B.50 m
C.50 m D. m
5.如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,则旗杆AB的高度是 m.(结果保留根号)【版权所有：21教育】
6.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈,cos 35°≈,tan 35°≈)2-1-c-n-j-y
提升训练
考查角度1 利用三角函数测量同一位置的视角应用
7.如图,平台AB高为12米 ,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(≈1.7)
8.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离为120 m,求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)21教育网
考查角度2 利用三角函数测量不同位置的视角应用
9.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7 062.68米,某天该深潜器在海面下1 800米处作业(如图),测得正前方海底沉船C的俯角为45°,该深潜器在同一深度向正前方直线航行2 000米到B点,此时测得海底沉船C的俯角为60°.21教育名师原创作品
(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内?并说明理由.
(2)由于海流原因,“蛟龙”号需在B点处马上上浮,若平均垂直上浮速度为2 000米/时,求“蛟龙”号上浮回到海面的时间.(参考数据:≈1.414,≈1.732)www.21-cn-jy.com
10.如图,在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数)21*cnjy*com
11.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.21cnjy.com
12.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图,在一次数学课外实践活动中,老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,然后向电视塔前进224 m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.(≈1.73,结果精确到0.1 m)21·世纪*教育网
13.如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计)
14.如图,AB,CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;
(2)求建筑物CD的高度.(结果保留根号)
参考答案
1.【答案】7tan α
2.【答案】D
解：设CD=x m,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,则AD=x m,在Rt△CED中,CD=x m,∠CED=60°,则ED=x m,由题意得,AD-ED=x-x=4,解得:x=2,则这棵树的高度为2+1.6≈5.1(m).21*cnjy*com
3.解:如图,延长PQ交直线AB于点C,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°.
(2)∵∠PBC=60°,∠QBC=30°,
∴∠PBQ=30°,∴∠PBQ=∠BPQ,
∴QB=QP.设PQ=x m,则QB=QP=x m,
在Rt△BCQ中,BC=x·cos 30°=x m,
QC=x m.
在Rt△ACP中,CA=CP,
∴6+x=x+x,
解得x=2+6.
∴PQ=2+6≈9(m),即该电线杆PQ的高度约为9 m.
4.【答案】A
解：由题意可知,∠ABC=30°,AC=100 m.
在Rt△ABC中,tan ∠ABC=,
即tan 30°=,所以BC=100 m.故选A.
5.【答案】(3+9)
6.解:作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,
由题知:∠ACD=35°,∠ABD=45°,
在Rt△ACD中,∠ACD=35°,
tan 35°=≈,所以CD≈AD.
在Rt△ABD中,∠ABD=45°,
tan 45°==1,所以BD=AD.
由题知BC=CD-DB=100.
所以AD-AD=100.
解得AD≈233 m.
答:热气球离地面的高度约为233 m.
7.解:过点B作BE⊥CD,垂足为E.
∵AB⊥AC,DC⊥AC,BE⊥CD,
∴四边形ABEC是矩形.
∴AB=CE=12米.
在Rt△BEC中,
∵CE=12米,∠CBE=30°,∴BE=12米.
在Rt△BED中,
∵BE=12米,∠DBE=45°,∴DE=BE=12米.
∴CD=CE+BE=12+12≈32.4(米).
8.解:在Rt△ABD中,
∵tan 30°=,
∴BD=AD·tan 30°=120×=40.
在Rt△ACD中,
∵tan 65°=,
∴CD=120·tan 65°,
∴BC=BD+CD=40+120·tan 65°.
答:这栋高楼的高度为(40+120·tan 65°)米.
9.解:(1)如图,过点C作CD⊥AB交AB于点D.
在Rt△ACD中,tan ∠CAD=,则AD=.
在Rt△BCD中,tan ∠CBD=,则BD=,
由已知得AB=2 000,
∴-=2 000,
解得CD≈4 732,
∴沉船C距离海面1 800+4 732=6 532(米).
∵6 532<7 062.68,
∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内.
(2)“蛟龙”号上浮回到海面的时间为1 800÷2 000=0.9(小时).
10.解:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD的长即为潜艇C离开海平面的下潜深度.
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x米.则BD=BA+AD=(1 000+x)米.【来源：21cnj*y.co*m】
在Rt△ACD中,CD===x(米).
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°,
∴1 000+x=x·tan 68°,
∴x=≈304.
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为304米.
11.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,
则四边形ABFE为矩形,所以AB=EF,AE=BF,
由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米),CD=19 900米.
∵在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=900米,∴CE=900米.
在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900米,
∴DF===300(米).
∴AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300-900=19 000+300(米).
答:两海岛间的距离AB是(19 000+300)米.
12.解:∵∠CAF=∠AFG-∠ACG=60°-30°=30°.又∵∠ACF=30°,∴∠CAF=∠ACF.∴AF=CF=DE=224 m.在Rt△AFG中,AG=AF·sin 60°=224×=112(m).21·cn·jy·com
∴AB=AG+GB=112+1.5≈195.3(m).
答:电视塔的高度AB约为195.3 m.
13.解:过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,
∴AF=BE,EF=AB=3米,设DE=x米,在Rt△CDE中,CE===x米.
在Rt△ABC中,∵=,AB=3米,∴BC=3米.
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=(x-3)米,∴AF===(x-3)米.
∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.
答:树DE的高度为9米.
14.解:(1)根据题意得:BD∥AE,∴∠ADB=∠EAD=45°.
∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB=45°,∴BD=AB=60,
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米.
(2)延长AE,DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,∴AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中,∠FAC=30°,21世纪教育网版权所有
∴CF=AF·tan ∠FAC=60×=20.又∵FD=60,
∴CD=60-20.∴建筑物CD的高度为(60-20)米.