17.1.2勾股定理的应用练习
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《勾股定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有（ ）21·cn·jy·com
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
2．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是（ ）cm，周长最小的是（ ）cm．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. 72，56
B. 70，56
C. 70，54
D. 74，54
3．如图，是由16个边长为1的小正方形拼成 ( http: / / www.21cnjy.com )的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到五条线段CA、CB、CD、CE、CF，其中长度是有理数的有（ ）2·1·c·n·j·y
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A. l条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
4．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于（ ）21·世纪*教育网
A. 15厘米2
B. 30厘米2
C. 45厘米2
D. 60厘米2
5．如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 13
B. 14
C. 15
D. 162
二、解答——知识提高运用
6．如图，某居民小区，有矩形地ABCD一块 ( http: / / www.21cnjy.com )，为美化环境要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的一条绳子，如何量出道路的宽度？【来源：21·世纪·教育·网】
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7．如图，3个全等的菱形构 ( http: / / www.21cnjy.com )成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为16厘米，要使两排挂钩之间的距离为8厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
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8．如图，在矩形ABCD中，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=12 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t。21cnjy.com
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求：（1）当t为多少时，△PBQ的面积等于8 cm2？
（2）当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
9．某电力公司为了改善农村用电电费 ( http: / / www.21cnjy.com )过高的问题，准备在各地农村进行电网改造．富康乡有三个村庄A、B、C、正好位于一个正三角形的三个顶点，现计划在三个村庄联合架设一条线路，他们设计了三种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：=1.414，=1.732，=2.236）2-1-c-n-j-y
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10如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，求CN的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
（2）设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式+的最小值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】（1）当AB为斜边时，点C到AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图；www.21-cn-jy.com
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（2）当AB为直角边时，AC=2cm或者BC=2cm，符合要求的C点有4个，如图；
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符合要求的C点共8个。
故选D。
2．【答案】A
【解析】如图所示：已知一个长为16cm、宽为12cm的长方形，
∴根据勾股定理得：对角线的长为=20（cm），
那么拼出各种三角形和四边形的周长有以下情况：
（12+16）×2=56（cm），
（12+20）×2=64（cm），
（16+20）×2=72（cm），
所以周长最大的是72cm，
周长最小的是56cm，
故选：A。
3．【答案】B
【解析】∵CA=4、AB=1、AD=3，
∴CB===，
CD===5；
CE==2；
CF==，
∴长度为有理数的一共有2条，
故选B。
4．【答案】B
【解析】设一直角边为x，
x2+（30-13-x）2=132，
解得x=12或x=5，
当x=12时 另一边为30-13-12=5，
当x=5时 另一边为30-13-5=12，
所以面积为×12×5=30。
故选B。
5．【答案】C
【解析】矩形ABCD，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=CD
∵AE，AF三等分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF=∠DAF=30°，
∵BE=2，CF=1，
∴AE=4，
由勾股定理得：AB==2，
∴CD=2，
即：DF=2-1，
∴AF=2DF=4-2，
由勾股定理得：AD=6-，
∴矩形的面积是：AB×AD=（6-）×2=12-6≈14.784．
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】设道路的宽为x，AB=a，AD=b，
则（a-2x）（b-2x）=ab，
x=，
∵2x=＞＞b（不合题意，舍去）
故x= =．
具体做法是：用绳量出AB+AD，再减去BD之长，将余下的AB+AD-BD对折两次，即得道路的宽x=。21*cnjy*com
7．【答案】连接AC，BD交于点O，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=4
∴BO= ==4，
∴BD=8，
BM=24。
8．【答案】（1）AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
△PBQ的面积等于8cm2
则（6-t）×2t=8
整理得t2-6t+8=0，解得t1=2，t2=4
即当t为2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）易得PD2=t2+122，PQ2=（6-t）2+（2t）2，QD2=（12-2t）2+62，
∵△PQD是以PD为斜边的直角三角形
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=（6-t）2+（2t）2+（12-2t）2+62，
整理得2t2-15t+18=0，解之得t1=6，t2=，
即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形。
9．【答案】∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
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设边长为2a，
则图（1）中电线长度为：l1=2a×2=4a；
图（2）中，电线的长度为：l2=2a+2a sin60°=2a+2a×=2a+a≈3.73a；
图（3）中，电线的长度为：l3=3× =3× =2a≈3.46a，【出处：21教育名师】
故l1＞l2＞l3。
故第3种方案最省电线。
10．【答案】设CN=x，则AN=CN=x，
∵AB=8，
∴BN=8-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△CBN中，CN2=NB2+BC2，
又∵BC=6，
∴x2=（8-x）2+62
解得，x=6.25
答：CN的长为6.25。
11．【答案】（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD==；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC==；
（2）如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即为y的最小值。21教育网
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过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′==13，
故y的最小值为13；
（3）如图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=，PC=，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′=CD′==25．
故代数式的最小值为25。
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《勾股定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有（ ）21·cn·jy·com
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
2．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是（ ）cm，周长最小的是（ ）cm．21世纪教育网版权所有
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A. 72，56
B. 70，56
C. 70，54
D. 74，54
3．如图，是由16个边长为1的小正方形拼成 ( http: / / www.21cnjy.com )的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到五条线段CA、CB、CD、CE、CF，其中长度是有理数的有（ ）2·1·c·n·j·y
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B. 2条
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D. 4条
4．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于（ ）21·世纪*教育网
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B. 30厘米2
C. 45厘米2
D. 60厘米2
5．如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 13
B. 14
C. 15
D. 162
二、解答——知识提高运用
6．如图，某居民小区，有矩形地ABCD一块 ( http: / / www.21cnjy.com )，为美化环境要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的一条绳子，如何量出道路的宽度？【来源：21·世纪·教育·网】
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7．如图，3个全等的菱形构 ( http: / / www.21cnjy.com )成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为16厘米，要使两排挂钩之间的距离为8厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
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8．如图，在矩形ABCD中，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=12 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t。21cnjy.com
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（2）当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
9．某电力公司为了改善农村用电电费 ( http: / / www.21cnjy.com )过高的问题，准备在各地农村进行电网改造．富康乡有三个村庄A、B、C、正好位于一个正三角形的三个顶点，现计划在三个村庄联合架设一条线路，他们设计了三种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：=1.414，=1.732，=2.236）2-1-c-n-j-y
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10如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，求CN的长．
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11如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
（2）设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式+的最小值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】（1）当AB为斜边时，点C到AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图；www.21-cn-jy.com
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（2）当AB为直角边时，AC=2cm或者BC=2cm，符合要求的C点有4个，如图；
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符合要求的C点共8个。
故选D。
2．【答案】A
【解析】如图所示：已知一个长为16cm、宽为12cm的长方形，
∴根据勾股定理得：对角线的长为=20（cm），
那么拼出各种三角形和四边形的周长有以下情况：
（12+16）×2=56（cm），
（12+20）×2=64（cm），
（16+20）×2=72（cm），
所以周长最大的是72cm，
周长最小的是56cm，
故选：A。
3．【答案】B
【解析】∵CA=4、AB=1、AD=3，
∴CB===，
CD===5；
CE==2；
CF==，
∴长度为有理数的一共有2条，
故选B。
4．【答案】B
【解析】设一直角边为x，
x2+（30-13-x）2=132，
解得x=12或x=5，
当x=12时 另一边为30-13-12=5，
当x=5时 另一边为30-13-5=12，
所以面积为×12×5=30。
故选B。
5．【答案】C
【解析】矩形ABCD，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=CD
∵AE，AF三等分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF=∠DAF=30°，
∵BE=2，CF=1，
∴AE=4，
由勾股定理得：AB==2，
∴CD=2，
即：DF=2-1，
∴AF=2DF=4-2，
由勾股定理得：AD=6-，
∴矩形的面积是：AB×AD=（6-）×2=12-6≈14.784．
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】设道路的宽为x，AB=a，AD=b，
则（a-2x）（b-2x）=ab，
x=，
∵2x=＞＞b（不合题意，舍去）
故x= =．
具体做法是：用绳量出AB+AD，再减去BD之长，将余下的AB+AD-BD对折两次，即得道路的宽x=。21*cnjy*com
7．【答案】连接AC，BD交于点O，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=4
∴BO= ==4，
∴BD=8，
BM=24。
8．【答案】（1）AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
△PBQ的面积等于8cm2
则（6-t）×2t=8
整理得t2-6t+8=0，解得t1=2，t2=4
即当t为2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）易得PD2=t2+122，PQ2=（6-t）2+（2t）2，QD2=（12-2t）2+62，
∵△PQD是以PD为斜边的直角三角形
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=（6-t）2+（2t）2+（12-2t）2+62，
整理得2t2-15t+18=0，解之得t1=6，t2=，
即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形。
9．【答案】∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
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设边长为2a，
则图（1）中电线长度为：l1=2a×2=4a；
图（2）中，电线的长度为：l2=2a+2a sin60°=2a+2a×=2a+a≈3.73a；
图（3）中，电线的长度为：l3=3× =3× =2a≈3.46a，【出处：21教育名师】
故l1＞l2＞l3。
故第3种方案最省电线。
10．【答案】设CN=x，则AN=CN=x，
∵AB=8，
∴BN=8-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△CBN中，CN2=NB2+BC2，
又∵BC=6，
∴x2=（8-x）2+62
解得，x=6.25
答：CN的长为6.25。
11．【答案】（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD==；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC==；
（2）如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即为y的最小值。21教育网
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过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′==13，
故y的最小值为13；
（3）如图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=，PC=，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′=CD′==25．
故代数式的最小值为25。
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