18.2.5正方形练习
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《正方形》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）21世纪教育网版权所有
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）21教育网
A．7 B．8 C．7 D．7
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使?ABCD变为正方形．下面四种组
合，错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2C．+1 D．2+1
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）21cnjy.com
A．（，1） B．（-1，） C．（-，1） D．（-，-1）
二、解答——知识提高运用
7．如图，已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE。求证：
（1）DE=DF；
（2）若H点为BC的中点，求证：AH⊥ED。
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
9．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F，且∠ACB=90°，求证：四边形AECF是正方形。21·cn·jy·com
10．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P。
求证：（1）DQ=CP；
（2）OP⊥OQ。
11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC于E，DF∥AB交AC于F，连接EF。
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由。
12．（1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明AE=BF。
（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？
（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C。
2．【答案】B
【解析】设CH=x，则DH=EH=9-x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE= BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9-x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4。
故选B。
3．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
AB＝CD ；AE＝CF ；BE＝DF ，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
∠ABE＝∠DAG ；∠AEB＝∠DGA＝90° ；AB＝DA ，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12-5=7，
∵∠GEH=180°-90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF=EG=7；
故选：C。
4．【答案】C
【解析】A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C。
5．【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；
故选：B。
6．【答案】C
【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
∠OEC＝∠ADO ；∠3＝∠2 ；OC＝AO ，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1）；
故选：C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）在△AED和△DFC中，
CF＝AE；∠DCF＝∠DAE；AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；
（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，
DA＝AB；∠DAE＝∠ABH；AE＝BH，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE。
8．【答案】∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，
BC＝DC；∠C＝∠C；∠ABC＝∠EDC，
∴△DEC≌△BAC，
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=2。
答：DF的长为2。
9．【答案】∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF= ×180°=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠ACE= ∠ACB=45°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是正方形．°。
10．【答案】（1）∵AD=CD，∠DCP=∠ADQ，
∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
在△DCP和△ADQ中，
∠PDC＝∠DAQ；CD＝AD；∠PCD＝∠QDA，
∴△DCP≌△ADQ，
∴DQ=CP。
（2）证：
在△OPC和△OQD中，
∵CP＝DQ；∠OCP＝∠ODQ；DO＝CO，
∴△OPC≌△OQD，
∴∠POC=∠QOD，
∵∠QOD+∠QOC=90°
∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP。
11．【答案】（1）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
故答案为：∠BAC=90°；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
由（1）得：当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD是等腰直角三角形，
∵DE∥AC，
∴DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴DE= AB，
同理：DF=AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形；
故答案为：∠BAC=90°，且AB=AC。
12．【答案】
（1）AE=BF，
理由是：∵正方形ABCD，AE⊥BF，
∴AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∠ABE＝∠C；AB＝BC；∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF。
（2）结论还成立，
理由是：过H作HM⊥CD于M，
∵正方形ABCD，AE⊥HG，
∴AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，
∴∠BAE+∠AHP=90°，∠GHM+∠AHP=90°，
∴∠BAE=∠GHM，
与（1）证法类似：证△ABE≌△HMG，
即AE=HG。
（3）结论还成立，
理由是：过E作EN⊥BC于N，
由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，
∵∠EPH=∠HOE=90°，∠EQP=∠HQN，
∴∠NEF=∠GHM，
在△ENF和△HMG中
∠ENF＝∠HMG；EN＝HM；∠NEF＝∠MHG，
∴△ENF≌△HMG，
∴EF=HG。
一、选择——基础知识运用
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）21世纪教育网版权所有
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）21教育网
A．7 B．8 C．7 D．7
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD中，再选两个做为补充，使?ABCD变为正方形．下面四种组
合，错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2C．+1 D．2+1
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）21cnjy.com
A．（，1） B．（-1，） C．（-，1） D．（-，-1）
二、解答——知识提高运用
7．如图，已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE。求证：
（1）DE=DF；
（2）若H点为BC的中点，求证：AH⊥ED。
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
9．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F，且∠ACB=90°，求证：四边形AECF是正方形。21·cn·jy·com
10．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P。
求证：（1）DQ=CP；
（2）OP⊥OQ。
11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC于E，DF∥AB交AC于F，连接EF。
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由。
12．（1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明AE=BF。
（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？
（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C。
2．【答案】B
【解析】设CH=x，则DH=EH=9-x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE= BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9-x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4。
故选B。
3．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
AB＝CD ；AE＝CF ；BE＝DF ，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
∠ABE＝∠DAG ；∠AEB＝∠DGA＝90° ；AB＝DA ，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12-5=7，
∵∠GEH=180°-90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF=EG=7；
故选：C。
4．【答案】C
【解析】A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C。
5．【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；
故选：B。
6．【答案】C
【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD=1，AD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
∠OEC＝∠ADO ；∠3＝∠2 ；OC＝AO ，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1）；
故选：C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）在△AED和△DFC中，
CF＝AE；∠DCF＝∠DAE；AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DE=DF；
（2）在Rt△ADE和Rt△BAH中，
DA＝AB；∠DAE＝∠ABH；AE＝BH，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠EAG-∠AEG=90°，
即AH⊥DE。
8．【答案】∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，
BC＝DC；∠C＝∠C；∠ABC＝∠EDC，
∴△DEC≌△BAC，
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=2。
答：DF的长为2。
9．【答案】∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF= ×180°=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠ACE= ∠ACB=45°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是正方形．°。
10．【答案】（1）∵AD=CD，∠DCP=∠ADQ，
∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
在△DCP和△ADQ中，
∠PDC＝∠DAQ；CD＝AD；∠PCD＝∠QDA，
∴△DCP≌△ADQ，
∴DQ=CP。
（2）证：
在△OPC和△OQD中，
∵CP＝DQ；∠OCP＝∠ODQ；DO＝CO，
∴△OPC≌△OQD，
∴∠POC=∠QOD，
∵∠QOD+∠QOC=90°
∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP。
11．【答案】（1）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
故答案为：∠BAC=90°；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
由（1）得：当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD是等腰直角三角形，
∵DE∥AC，
∴DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴DE= AB，
同理：DF=AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形；
故答案为：∠BAC=90°，且AB=AC。
12．【答案】
（1）AE=BF，
理由是：∵正方形ABCD，AE⊥BF，
∴AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∠ABE＝∠C；AB＝BC；∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF。
（2）结论还成立，
理由是：过H作HM⊥CD于M，
∵正方形ABCD，AE⊥HG，
∴AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，
∴∠BAE+∠AHP=90°，∠GHM+∠AHP=90°，
∴∠BAE=∠GHM，
与（1）证法类似：证△ABE≌△HMG，
即AE=HG。
（3）结论还成立，
理由是：过E作EN⊥BC于N，
由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，
∵∠EPH=∠HOE=90°，∠EQP=∠HQN，
∴∠NEF=∠GHM，
在△ENF和△HMG中
∠ENF＝∠HMG；EN＝HM；∠NEF＝∠MHG，
∴△ENF≌△HMG，
∴EF=HG。