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《变量与函数》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解变量与常量的意义；
（2）体会运动变化过程中的数量变化．
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
渗透事物是运动的，运动是有规律的辩证思想。
【教学重点】
了解常量与变量的意义。
【教学难点】
常量与变量的确定及关系。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在我们生活的世界中，所有的事物都 ( http: / / www.21cnjy.com )是在不停的变化，行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；火箭的高度随时间而变化，雄鹰的飞翔也会变化。在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。21世纪教育网版权所有
课件展示图片。
【过渡】对于这些变化，我们从最基本的概念来进行认识。
二、新课教学
1．变量与常量
【过渡】大家先来思考一下几个问题。
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．
（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？21教育网
（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大 ( http: / / www.21cnjy.com ).在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？21cnjy.com
（4）用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？www.21-cn-jy.com
分别指出问题中的变化的量及不变的量。
【过渡】在刚刚的几个问题中 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们知道在事物变化的过程中，有些量的变化的，而有些量则是固定的数值，保持不变。在数学里，我们把这些变化的量称为变量，不变的量称为常量。
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
【练习】课本P71练习题，说出变量及常量。
【过渡】刚刚大家都很正确的说出了不同情 ( http: / / www.21cnjy.com )况下的变量和常量。现在，我们重新来看刚刚的几个思考题，并思考，是否都是有两个变量。这两个变量有什么关系呢？21·cn·jy·com
课件展示四个思考题的变量关系。
【过渡】从刚刚的思考中，我们知道两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。【来源：21·世纪·教育·网】
【过渡】现在大家就来练习一下吧。
【知识巩固】1、说出下列各个过程中的变量与常量：
（1）我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟，t分钟内卫星绕地球的周数为N，N= ；
（2）铁的质量m（g）与体积V（cm3）之间有关系式；
（3）矩形的长为2cm，它的面积为S（cm2）与宽a（cm）的关系式是S=2a．
解：（1）N和t是变量，106是常量；
（2）根据物理知识：m=ρV，（ρ=7.8）所以，m和V是变量，ρ是常量；
（3）S和a是变量，2是常量．
【达标检测】1、以固定的速度v0（ ( http: / / www.21cnjy.com )米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t-4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ C ）
A．4.9是常量，t、h是变量
B．v0是常量，t、h是变量
C．v0、-4.9是常量，t、h是变量
D．4.9是常量，v0、t、h是变量
2、下列说法正确的是（ B ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式V＝πr3中，变量是π，r．
3、甲、乙两地相距50千米，若一辆 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车以50千米/时的速度从甲地到乙地，则汽车距乙地的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系式s=50-50t（0≤t≤1）中，常量的个数为（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5 ( http: / / www.21cnjy.com )元，总金额为y（元），学生数为n（个），则变量是 y、n ，常量是 4.5 。 2·1·c·n·j·y
【板书设计】
1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
【教学反思】
本节内容是学习函数的基础， ( http: / / www.21cnjy.com )紧紧围绕着函数的定义解读，初步领会引例的意图，还要舍得用很到的篇幅举出一些变化的实例，指出其中的常量和变量，开始学生举出了几个例子，再由学习小组讨论交流，每个小组都收集五个以上的实例。安排这个活动的意图是让学生感知现实生活中有很多变化着的量，并且两个变化着的量都有各自的数量关系、我们要善于发现这些数量关系，用数学的眼光观察现实世界。21·世纪*教育网
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《变量与函数》练习
一、选择——基础知识运用
1．在圆的周长C=2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量
C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量
2．一长方体的宽为b（定值），长为x（x＞b），高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是（ ）
A．x B． h C．V D．x、h、V均为变量21·cn·jy·com
3．设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（ ）
A．当s一定时，v是常量，t是变量
B．当v一定时，t是常量，s是变量
C．当t一定时，t是常量，s，v是变量
D．当t一定时，s是常量，v是变量
4．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：
①a是常量时，y是变量；
②a是变量时，y是常量；
③a是变量时，y也是变量；
④a，y可以都是常量或都是变量。
上述判断正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知y与x之间有下列关系：y=x2-1．显然，当x=1时，y=0；当x=2时，y=3。在这个等式中（ ）www.21-cn-jy.com
A． x是变量，y是常量
B．x是变量，y是常量
C．x是常量，y是变量
D．x是变量，y是变量
二、解答——知识提高运用
6．饮食店里快餐每盒5元，买n盒需付S元，则其中常量是 ，变量是 。
7．汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )速度v之间有下列关系：s=vt。如果汽车以每时60km的速度行驶，那么在s=vt中，变量是 ，常量是 ；如果汽车行驶的时间t规定为1小时，那么在s=vt中，变量是 ，常量是 ；如果甲乙两地的路程s为200km，汽车从甲地开往乙地，那么在s=vt中，变量是 ，常量是 。【来源：21·世纪·教育·网】
8．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海 ( http: / / www.21cnjy.com )水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐。潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深。21·世纪*教育网
T（时） 0 3 6 9 12
h（米） 5 7.4 5.1 2.6 4.5
上述问题中，字母T，h表示的是变量还是常量，简述你的理由。
9．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）时针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n=6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s=40t。2·1·c·n·j·y
10．阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量。
一次乌龟与兔子举行500米赛 ( http: / / www.21cnjy.com )跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先．当兔子以20米/分的速度跑了10分时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢!兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10米/分的速度匀速爬向终点.40分后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣，等它再以30米/分的速度跑向终点时，它比乌龟足足晚了10分。
11．某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：
项目 月基本服务费 月免费通话时间 超出后每分收费
标准 40元 150分 0.6元
则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y=
40(0≤x≤150)
0.6x 50(x＞150)，在这个关系式中，常量是什么？变量是什么？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】∵在圆的周长公式C=2πr中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π。
故选：B。
2．【答案】D
【解析】一长方体的宽为b（定值），长为x（x＞b），高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是：x、h、V；21世纪教育网版权所有
常量是b。
故选D。
3．【答案】C
【解析】A、当s一定时，s是常量，v、t是变量，故原题说法错误；
B、当v一定时，v是常量，t、s是变量，故原题说法错误；
C、当t一定时，t是常量，s，v是变量，说法正确；
D、当t一定时，t是常量，v、s是变量，故原题说法错误；
故选：C。
4．【答案】B
【解析】由题意得：y=3a，
此问题中a、y都是变量，3是常量，或a，y都是常量，则③④，
故选：B。
5．【答案】D
【解析】y=x2-1中，x、y是变量，-1是常量，
故选：D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】5；n，s。
【解析】单价5元固定，是常量，
付费S元随着盒数n的变化而变化，是变量，
故常量是5，变量是n，s；
故答案为：5；n，s。
7．【答案】s，t；60；s，v；1；v，t；200
【解析】汽车以每时60km的速度行驶， ( http: / / www.21cnjy.com )那么在s=vt中，变量是s，t，常量 60；如果汽车行驶的时间t规定为1小时，那么在s=vt中，变量是s，v，常量是1；如果甲乙两地的路程s为200km，汽车从甲地开往乙地，那么在s=vt中，变量是v，t，常量是200。21教育网
故答案为：s，t；60；s，v；1；v，t；200。
8．【答案】根据变量和常量的定义：在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量。字母T，h表示的是变量．因为水深h随着时间T的变化而变化。21cnjy.com
9．【答案】（1）常量：6；变量：n，t。
（2）常量：40；变量：s，t。
10．【答案】500米、乌龟的速度10米/分等在整个变化过程中是常量，兔子的速度是变量。
11．【答案】在0≤x≤150中，y，40是常量，x是变量；在x＞150时，0.6，50是常量，x，y是变量。
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人教版 八年级下册
19.1 变量与函数
导入新课
世间万物都在运动变化
新课学习
变量与常量
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．
思考一
变化的数值
不变的数值
速度v
时间t
路程s
新课学习
思考二
（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？
变化的数值
不变的数值
售价10元
售票张数
票房收入
新课学习
（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？
思考三
变化的数值
不变的数值
π
半径
面积
新课学习
（4）用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？
思考四
变化的数值
不变的数值
绳子的总长度10m
边长
新课学习
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
变量与常量
牛刀小试
指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元.
（2）某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元.
变量：月用水量x吨和月应交水费y元，常量：自来水价4元／吨.
变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元.
新课学习
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径的比）为π.
（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本.
变量：半径r和圆周长c，常量：圆周率π及计算公式中的数字2.
变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本，常量：书的总数10本.
新课学习
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间
为t h，行驶的路程为s km；
S=60t
两个变量之间有什么关系？
行驶时间 t/h 1 3 3.4 4 9 …
行驶里程s/km …
60
180
204
240
540
当时间t每取定一个值时，路程S就有唯一确定的值与其对应。
新课学习
票房收入y元与售票数量x张的关系式：y=10x
X=150时 y= ；
X=205时 y= ；
X=310时 y= ；
1500
2050
3100
当售票数量X每确定一个值时，票房收入y就有唯一确定的值与其对应。
（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出
x张票，票房收入为 y 元；
新课学习
当半径r每确定一个值时，面积s就有唯一确定的值与其对应。
（2）当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？
圆的面积s与半径r的关系式：s=πr2
r=10时 s= ；
r=20时 s= ；
r=30时 s= ；
100π
400π
900π
新课学习
当边长x每确定一个值时，邻边长y就有唯一确定的值与其对应。
（4）当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？
两个边长的关系是：y=5-x
x=3时 y= ；
x=3.5时 y= ；
x=4时 y= ；
x=4.5时 y= .
2
1.5
1
0.5
新课学习
这两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有
通过对以上这些变化过程的分析，我们发现每个变化的过程中都存在着两个变量.
唯一确定的一个 值与 其对应
知识巩固
1.说出下列各个过程中的变量与常量：
（1）我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟，t分钟内卫星绕地球的周数为N，N=；
（2）铁的质量m（g）与体积V（cm3）之间有关系式；
（3）矩形的长为2cm，它的面积为S（cm2）与宽a（cm）的关系式是S=2a．
知识巩固
解：（1）N和t是变量，106是常量；
（2）根据物理知识：m=ρV，（ρ=7.8）所以，m和V是变量，ρ是常量；
（3）S和a是变量，2是常量．
课堂小结
当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量
达标检测
1.以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t-4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ ）
A．4.9是常量，t、h是变量
B．v0是常量，t、h是变量
C．v0、-4.9是常量，t、h是变量
D．4.9是常量，v0、t、h是变量
C
达标检测
2.下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式V＝πr3中，变量是π，r．
B
达标检测
3.甲、乙两地相距50千米，若一辆汽车以50千米/时的速度从甲地到乙地，则汽车距乙地的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系式s=50-50t（0≤t≤1）中，常量的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
达标检测
4.每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5元，总金额为y（元），学生数为n（个），则变量是 ，常量是 。
y、n
4.5
