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《变量与函数》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解函数的基本概念；
（2）掌握函数解析式的含义。
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
渗透事物是运动的，运动是有规律的辩证思想。
【教学重点】
了解函数的基本概念。
【教学难点】
正确写出函数关系式。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课的学习当中，我们学习了变量与常量的基本概念。那么什么是常量，什么是变量呢？
（学生回答）
【过渡】大家回答的都很正确，现在，我们来看几个问题，找出其中的变量与常量吧。
课件展示问题。
（1）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
（2）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）。21cnjy.com
【过渡】经过上节课的学习，大家能快速的分 ( http: / / www.21cnjy.com )辨常量与变量。在上节课结束的时候，我们讲过，一个问题一般存在两个变量，这两个变量是相互联系的，那么我们该如何去表达这种关系呢？这就是我们今天要学习的内容。【来源：21cnj*y.co*m】
二、新课教学
1．函数
【过渡】在上节课中，我们只是学习了语言表述 ( http: / / www.21cnjy.com )的问题中，两个变量的关系。现在大家来看一下课本的思考内容。对于思考1，心电图中，每个y都有唯一确定的值与其对应吗？
（学生回答）
【过渡】通过观察，我们发现，每个y都有唯一的值与其对应。
【过渡】大家再来看一下思考二，对于表格来说，也有同样的对应的关系吗？
（学生回答）
【过渡】因此，一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间的联系。那么两个变量之间的这种关系，我们就称之为函数关系。2-1-c-n-j-y
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 ( http: / / www.21cnjy.com )x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。【出处：21教育名师】
【过渡】现在，大家能告诉我思考问题的两个问题中，自变量都是什么吗？
（学生回答）
【过渡】根据函数的定义，谁能告诉我如何确定是否是函数呢？
判断是否是函数的关键：
是否存在两个变量；是否符合唯一对应性。
【练习】判断下列曲线是否表示y是x的函数。
( http: / / www.21cnjy.com / )； ( http: / / www.21cnjy.com / )； ( http: / / www.21cnjy.com / )； ( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】从上面的问题中，我们可以知道，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，很多问题变量之间的关系都可以用函数来表示。21教育网
现在，大家跟我一起看一下例1吧。
讲解课本例1.
【过渡】在（1）问中，根据情况，我们写出了关系式，在数学中，像这样的式子，我们称之为函数的解析式。
用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式。
【过渡】在（2）问中，自变量的取值范围在求取过程中，要注意两点：
使函数关系式有意义；问题的实际意义。
【过渡】现在，又有一个问题，我们该如何正确书写函数解析式呢？
认真审题，根据题意找出相等关系；按照相等关系，写出含有两个变量的等式；将等式变形为用含有自变量的代数式。21世纪教育网版权所有
【过渡】现在，我们来练习一下吧。
【练习】先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量。
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长xcm与面积Scm2的关系；
（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
（3）等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角y的度数；
（4）一个铜球在0℃的体积为1 000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，t℃时球的体积为Vcm3www.21-cn-jy.com
【知识巩固】1、下列等式中，y是x的函数的是（ A ）
A．y=|x| B．y2=x C．|y|=|x| D．y=±x
2、如果y=（m+2）x+m-1是常值函数，那么m= -2 。
3、表示两个变量之间的关系，下列说法错误的是（ D ）
A．用表格可以表示任意两个变量之间的关系
B．用关系式可以表示任意两个变量之间的关系
C．用图象可以表示任意两个变量之间的关系
D．在某一变化过程中，数值始终不变的量叫常量
4、一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ C ）21·cn·jy·com
A．Q=0.5t B．Q=15t
C．Q=15+0.5t D．Q=15-0.5t
5、函数y=+的自变量x的取值范围是（ A ）
A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4
【达标检测】1、据测试：拧 ( http: / / www.21cnjy.com )不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升。小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ B ）2·1·c·n·j·y
A．y=0.05x B．y=5x
C．y=100x D．y=0.05x+100
2、在下列关系中，y不是x的函数的是（ B ）
A．y+x=0 B．|y|=2x C．y=|2x| D．y+2x2=4．．
3、如图中的每次个图是由若干盆花组成的 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（ C ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. S=n2 B. S=4n
C. S=4n-4 D. S=4n+4
4、某地市话的收费标准为：
（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；
（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算。
在一次通话中，如果通话时间超过3分 ( http: / / www.21cnjy.com )钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为 y=0.11x-0.03 ． 【来源：21·世纪·教育·网】
5、 如图①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）比较①路和②路这两条线路的长短；
（2）小利坐出租车由体育馆去少年宫 ( http: / / www.21cnjy.com )．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米s＞3）之间的关系；
（3）若这段路程有4.5千米，小利身上有10元钱，够不够付车费？
解：（1）①路和②路这两条线路的长相等；
（2）根据题意得：p=7+1.8（s-3）=（1.8s+1.6）（元）
（3）当s=4.5时，p=1.8×4.5+1.6=8.1+1.6=9.7；
∵10＞9.7，
∴小利身上的钱，够付车费。
【拓展提升】已知矩形ABCD中，AB=60c ( http: / / www.21cnjy.com )m，BC=40cm，动点P从A点出发，沿着矩形的边自A→B→C→D运动到点D，速度为1m/s，设运动时间为 t（s），线段AP的长为y（cm），求此函数的解析式21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：当点P在AB上运动时，y=t（0≤t≤60）；
当点P在BC上运动时，y==（60＜t≤100）；www-2-1-cnjy-com
当点P在线段CD上运动时，y==（100＜t＜160）；
当点P在线段AD上运动时，y=200-t（160≤t≤200）．
【板书设计】
1、函数的定义：
2、如何确定函数：
是否存在两个变量；是否符合唯一对应性。
3、函数解析式：
【教学反思】
本节内容是学习函数的基础， ( http: / / www.21cnjy.com )紧紧围绕着函数的定义解读，初步领会引例的意图，还要舍得用很到的篇幅举出一些变化的实例，指出其中的常量和变量，开始学生举出了几个例子，再由学习小组讨论交流，每个小组都收集五个以上的实例。安排这个活动的意图是让学生感知现实生活中有很多变化着的量，并且两个变化着的量都有各自的数量关系、我们要善于发现这些数量关系，用数学的眼光观察现实世界。结合上节课的内容，进一步理解函数的定义及意义。21*cnjy*com
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《变量与函数》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列四个关系式：（1）y=x；（2）y=x2；（3）y=x3；（4）|y|=x，其中y不是x的函数的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
2．如果每盒钢笔有10支，售价25元，那么购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为（ ）
A．y=10x B．y=25x C．y= x D．y= x
3．如图，y是x的函数图像的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )
D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．下列说法正确的是（ ）
A．变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
B．变量x、y满足x+3y=1，则y是x的函数
C．代数式πr3是它所含字母r的函数
D．在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数
5．已知x=3-k，y=2+k，则y与x的关系是（ ）
A．y=x-5 B．x+y=1 C．x-y=1 D．x+y=5
6．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表，则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
x -1 0 1
y -3 -4 -3
A．y=3x B．y=x-4 C．y=x2-4 D．y=
二、解答——知识提高运用
7．圆柱的底面半径为10cm，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，
（1）在这个变化过程中自变量是什么？因变量是什么？
（2）设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系是什么？
（3）当h每增加2，V如何变化？
8．某镇居民生活用水的收费标准如表。
月用水量x（立方米） 0＜x≤8 8＜x≤16 x＞16
收费标准y（元/立方米） 1.50 2.5 4
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）小王同学家9月份用水10立方米，10月份用水8立方米，两个月合计应付水费多少元？
9．瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y。www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？
11．用一根长是20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为x cm，它的面积为y cm2。
（1）写出y与x之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？它的取值应在什么范围内？
（2）用表格表示当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值；
（3）从上面的表格中，你能看出什么规律？
（4）猜想一下，怎样围能使得到的长方形的面积最大？最大是多少？
（5）估计一下，当围成的长方形的面积是22cm2时，x的值应在哪两个相邻整数之间？
12．直角三角形ABC中，∠ABC=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC=10，BC=6，AB=8．P是AC上的一个动点，当P在AC上运动时，设PC=x，△ABP的面积为y。2·1·c·n·j·y
（1）求y与x之间的关系式。
（2）点P在什么位置时，△ABP的面积等于△ABC的面积的。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】根据对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，
（1）y=x，（2）y=x2，（3）y=x3满足函数的定义，y是x的函数，
（4）|y|=x，当x取值时，y不是有唯一的值对应，y不是x的函数，
故选：D。
2．【答案】D
【解析】25÷10= (元)
所以购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为：
y= x。
故选：D。
3．【答案】C
【解析】∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
而A、B、D的图像上两个或三个点的横坐标相同，也就是说对于x的每一个取值，y的值不唯一，
故选：C。
4．【答案】B
【解析】A、y与x不是唯一的值对应，所以A错误；
B、当x取一值时，y有唯一的值与之对应，所以B正确；
C、代数式，故错误；
D、在V=πr3中，π是常量，r是自变量，V是r的函数，故错误。
故选B。
5．【答案】D
【解析】∵x=3-k，y=2+k，
∴x+y=3-k+2+k=5．
故选：D。
6．【答案】C
【解析】A．y=3x，根据表格对应数据代入得出y≠3x，故此选项错误；
B．y=x-4，根据表格对应数据代入得出y≠x-4，故此选项错误；
C．y=x2-4，根据表格对应数据代入得出y=x2-4，故此选项正确；
D．y= ，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误。
故选：C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）由于圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，所以自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）圆柱的体积V与圆柱的高的关系式是：V=100πh；
（3）由于V=100π（h+2）=100πh+200π；所以当h每增加2时，V增加200πcm3。
8．【答案】（1）存在两个变量：用水量x和收费标准y（单价），对于x每取一个值，都有唯一确定的y值与之相对应，符合函数的定义，21教育网
∴y是关于x的函数。
（2）1.5×8+（10-8）×2.5+1.5×8=29（元）。
答：两个月合计应付水费29元。
9．【答案】填表如下：
x 1 2 3 4 …
y 1 3 6 10 …
依题意得：y=1+2+3+…+x= （x≥1）。
10．【答案】（1）设PB=x，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，
则图中阴影部分的面积为：y= （4-x+4）×8=32-4x（0＜x≤4）。
（2）当y=20时，20=32-4x，
解得x=3，
即PB=3。
11．【答案】（1）y=（20÷2-x）×x=（10-x）×x=10x-x2；
x是自变量，0＜x＜10；
（2）当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 9 16 21 24 25 24 21 16 9
（3）从上面的表格中，可以看出的规律：①当x ( http: / / www.21cnjy.com )逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越块；③当x取距5等距离的两数时，得到的两个y值相等；21世纪教育网版权所有
（4）当长方形的长与宽相等即x为5时，y的值最大，最大值为25cm2；
（5）由表格可知，当围成的长方形的面积是22cm2时，x的值应在3～4之间或6～7之间．
12．【答案】解：（1）如图，作PD⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ADP∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得，PD= ，
∴S△ABP= AB×PD=×8× = -x+24，21cnjy.com
∴y与x之间的关系式为：y=-x+24；
（2）由题意，S△ABC= ×6×8=24，
∵△ABP的面积等于△ABC的面积的，
∴S△ABP=S△ABC=×24=8，
即-x+24=8，
解得，x=，
∴点P在距点C处。
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人教版 八年级下册
19.1 变量与函数
导入新课
你能指出下列问题中的变量与常量吗？
（1）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
（2）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）。
变量：两个锐角α和β；常量：直角90°
变量：y、t；常量：30，0.5
新课学习
函数
（1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的每一个确定的值，纵坐标表示心脏部位的生物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？
思考一
答：有
新课学习
思考二
（2）在我国人口数统计表中，对于每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间的联系.
年份 x 人口数y/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
答：有
新课学习
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
函数的定义
比如：如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。
新课学习
判断是否是函数的关键
是否存在两个变量
是否符合唯一对应性
想一想
如何确定是否是函数呢？
两个关键因素
牛刀小试
判断下列曲线是否表示y是x的函数。
给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数。
是
是
是
不是
知识巩固
1.下列等式中，y是x的函数的是（ ）
A．y=|x| B．y2=x C．|y|=|x| D．y=±x
分析：在B选项中档x=1时，y=±1；
在C选项中x=1时，y=±1；
D中，x=1时，y=±1；
只有在A中当x=1时y=1，即对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故选A
A
知识巩固
2.如果y=（m+2）x+m-1是常值函数，那么m= 。
分析：由题意得，m+2=0，
m=-2，
故答案为：-2
-2
新课学习
例1 ：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系式。
（2）指出自变量x的取值范围。
（3） 汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
新课学习
解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为：
y=50-0.1x
用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式
0.1x表示：
行驶x km时的耗油量。
新课学习
（2）因为x代表的实际意义为行驶路程，所以x不能取负数。且行驶中的耗油量为 ，它不能超过油箱中现有汽油量的值50，即 ；
因此，自变量x的取值范围是_______________。
0.1x
0.1x≤50
0≤ x ≤ 50
怎样确定自变量的取值范围？
(1)使函数关系式有意义；
(2)问题的实际意义。
新课学习
（3）汽车行驶x=200时，油箱中的汽油量是函数____________在x=200时的函数值。
即:y = ＝_______
y=50-0.1x
50-0.1×200
30
新课学习
如何书写函数解析式？
1、认真审题，根据题意找出相等关系
2、按照相等关系，写出含有两个变量的等式
3、将等式变形为用含有自变量的代数式。
牛刀小试
先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量。
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长xcm与面积Scm2的关系；
（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
S=（20÷2-x）x=-x2+10x（0＜x＜10），即y=-x2+10x（0＜x＜10）；其中10是常量，x与y是变量。
α=90°-β；其中90°是常量，α、 β是变量。
牛刀小试
（3）等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角y的度数；
（4）一个铜球在0℃的体积为1 000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，t℃时球的体积为Vcm3
y==90-，即y=90- （0＜x＜180°）；
其中90°是常量，底角、顶角的度数是变量。
V=1000+0.051t；
其中体积增加量是常量，温度t及对应体积的变量
知识巩固
3.表示两个变量之间的关系，下列说法错误的是（ ）
A．用表格可以表示任意两个变量之间的关系
B．用关系式可以表示任意两个变量之间的关系
C．用图象可以表示任意两个变量之间的关系
D．在某一变化过程中，数值始终不变的量叫常量
D
知识巩固
4.一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ ）
A．Q=0.5t B．Q=15t
C．Q=15+0.5t D．Q=15-0.5t
C
知识巩固
5.函数y=+的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4
A
总结：（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零；（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
课堂小结
3、正确书写函数解析式
1、函数的定义
2、如何确定是否是函数
达标检测
1.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升。小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=0.05x B．y=5x
C．y=100x D．y=0.05x+100
B
达标检测
2.在下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．y+x=0 B．|y|=2x C．y=|2x| D．y+2x2=4．
B
|y|=2x可以变形为y=±2x，对于x的每一个值，y=±2x有两个互为相反数的值，而不是唯一确定的值，所以y=±2x不是函数。
达标检测
3.如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（ ）
A. S=n2 B. S=4n
C. S=4n-4 D. S=4n+4
C
达标检测
4.某地市话的收费标准为：
（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；
（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算。
在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为 ．
y=0.11x-0.03
达标检测
5.如图①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．
（1）比较①路和②路这两条线路的长短；
（2）小利坐出租车由体育馆去少年宫．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米s＞3）之间的关系；
（3）若这段路程有4.5千米，小利身上有10元钱，
够不够付车费？
达标检测
解：（1）①路和②路这两条线路的长相等；
（2）根据题意得：p=7+1.8（s-3）=（1.8s+1.6）（元）
（3）当s=4.5时，p=1.8×4.5+1.6=8.1+1.6=9.7；
∵10＞9.7，
∴小利身上的钱，够付车费。
拓展提升
1.已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=40cm，动点P从A点出发，沿着矩形的边自A→B→C→D运动到点D，速度为1m/s，设运动时间为 t（s），线段AP的长为y（cm），求此函数的解析式。
拓展提升
4.当点P在AB上运动时，y=t（0≤t≤60）；
当点P在BC上运动时，y==（60＜t≤100）；
当点P在线段CD上运动时，y==（100＜t＜160）；
当点P在线段AD上运动时，y=200-t（160≤t≤200）．
综上所述：
y=
t(0≤t≤60)
（60＜t≤100）
（100＜t＜160）
y=200-t（160≤t≤200）
