浙江省温州市重点高中2016年保送生文化水平测试九年级数学试卷及答案

温州市重点高中2016年保送生文化水平测试九年级数学试卷
2016.1
（本卷满分：150分
考试时间：100分钟）
注：不得使用计算器及其他任何电子产品
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
若可以写成个连续的正整数之和，则的最大值为············(
)
A、65
B、64
C、54
D、27
已知中，BC=a，AC=b，AB=c，且2b=a+c，延长CA到D，使AD=AB
连结BD，则的值为·······················(
)
A、
B、
C、
D、
方程组的有理数解的个数为·············(
)
A、1
B、2
C、3
D、4
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话
( http: / / www.21cnjy.com )一次，他们中的任意n-2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，则n的所有可能值有(
)
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PAC=θ，若MN⊥PA，则2-的值为········(
)
A、1
B、
C、
D、
二、简答题（本大题分10小题，每空5分，共50分）
北京市实行汽车限行，每一辆车周一到周五工作
( http: / / www.21cnjy.com )日5天内限行一天，某公司因工作需要，周一到周四要用9辆车，周五要用11辆车，如果公司能够自行选择车辆的停驶日期，那么该公司至少应有
辆车．
在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每
( http: / / www.21cnjy.com )一个小方格中，写上一个数．如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n的最大值是
．
设等边的内切圆半径为2，圆心为．若点满足，则与的面积之比的最大值为
．
对一个5×n的方格阵用红蓝
( http: / / www.21cnjy.com )两色进行染色．如果对任意一种染色方案，总可以找到由3行及3列相交所得到的同色9个方格，则n的最小值为
．
抛物线族(m是参数)与为圆心、1为半径的圆内部相交部分的面积为
．
某市发出车牌号码均由6个数字(从0到9
( http: / / www.21cnjy.com ))组成，该市规定：任意2个车牌至少要有2对同一某市发出车牌号码均由6个数字(从0到9)组成，该市规定：任意2个车牌至少要有2对同一数位上的数字不同(如车牌号038471和030471不能同时使用)．则该市最多能发出
个不同车牌．
在锐角三角形ABC中，AB上的高C
( http: / / www.21cnjy.com )E与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，则AK的长为
．
从1,2,…,2008中选出总和为
( http: / / www.21cnjy.com )1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和等于
．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，B，C，P的坐标分别为(6,0)，(6,3)，(,)，(4,2)，过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分为两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值为
．
三个半径为r的圆能覆盖边长为16的正方形，则r的最小值为
．
三、分析解答题（本大题分6小题，分值依次为15分、15分、15分、15分、20分、20分，20、21题选做一题，共80分）
(15分)如图，在四边形ABCD中，对角线A
( http: / / www.21cnjy.com )C平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC．
[证明]
(15分)设是十进制中的素数，证明：b2-4ac不是完全平方数．
[证明]
(15分)试求出所有满足下
( http: / / www.21cnjy.com )列条件的正整数a，b，c，d，其中1(15分)已知有限张卡片
( http: / / www.21cnjy.com )，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S1，满足S1≤120，且S1要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片(其数字之和为S2)；如此继续构成第三批(其数字之和为S3)；第四批(其数字之和为S4)；…直到第N批(其数字之和为SN)取完所有卡片为止．
(1)
判断S1，S2，…，SN的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
(2)
当n=1，2，3，…，N-2时，求证：；
(3)
对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．
[注意]
20、21题选做一题，如有时间空余两题均正确者，得分乘80%计入总分
(20分)如图，中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OH⊥MN．
[证明]
(20分)如图，的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH=90°．
[证明]
2016年重高保送生文化水平测试
数学试卷
参
考
答
案
及
评
分
建
议
[改卷须知]
本卷20、21题选做一题，如有时间空余两题均正确者，得分乘80%计入总分
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
[
1~5
]
C
B
B
B
A
二、简答题(本大题分10小题，每空5分，共50分)
[本大题评分建议：若数字书写不清晰，不给分]
6、
12
7、
3
8、
9、
41
10、
11、
105
12、
13、
1351373940
14、
10
15、
三、分析解答题(本大题分6小题，分值依次为15分、15分、15分、15分、20分、20分，共80分)
16、(10分)(4分+2分+2分+2分=10分)
【证明】连结BD交AC于H．对BCD用塞瓦定理，可得
因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得．(4分)
故．(2分)
过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．
则，．所以，
从而，CI=CJ．(2分)
又因为
CI∥AB，CJ∥AD，
故∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ．
因此，ACI≌ACJ．(2分)
从而，∠IAC=∠JAC，即
∠GAC=∠EAC
17、(10分)(可能有多种解法)
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18、(15分)(解法可能有多种)【解】
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( http: / / www.21cnjy.com )
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19、(3+5+7=15分)
【解答】(1)解：对于任意满足条件的有
( http: / / www.21cnjy.com )限张卡片，满足S1≥S2≥…≥SN；假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30，由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张．
(2)证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N-2，此时第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120-Sn+1，余下数之和更大于120-Sn+1，即1080-(S1+S2+…+Sn+1)＞120-Sn+1，由此可得S1+S2+…+Sn<960，因为nSn≤S1+S2+…+Sn，从而；
(3)证明：假设N>11，即第11批卡片取走后，还有卡片没被分完，由已知可知余下的每个数都大于120-S11，且120-S11≥120-S10，故余下的每个数>120-S11≥120-S10>120-=24，因为第11组卡片中至少含有4张，所以第11组卡片上的所有数之和S11大于24×4=96，从而S10≥S11＞96，这与(2)中的S10＜96矛盾，所以N≤11．
20、(20分)(解法可能有多种，细致
( http: / / www.21cnjy.com )找分点，给分分为5档：0分、5分、10分、15分、20分，注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)
【证明】(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF=∠BAC
又∠OBC=(180°-∠BOC)＝90°-∠BAC
∴OB⊥DF．
(2)∵CF⊥MA∴MC
2-MH
2=AC
2-AH
2(①)
∵BE⊥NA∴NB
2-NH
2=AB
2-AH
2
(②)
∵DA⊥BC∴BD
2-CD
2=BA
2-AC
2
(③)
∵OB⊥DF∴BN
2-BD
2=ON
2-OD
2
(④)
∵OC⊥DE∴CM
2-CD
2=OM
2-OD
2(⑤)………………………………15分
①－②＋③＋④－⑤，得NH
2-MH
2=ON
2-OM
2
MO
2-MH
2=NO
2-NH
2
∴OH⊥MN………………………………………………………………20分
【另证】以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则
∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由
，得E点坐标为E()，
同理可得F()，直线AC的垂直平分线方程为，直线BC的垂直平分线方程为，由
得O()，
，
∵，∴OB⊥DF．同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，)．∴，直线DF的方程为，由，得N
()．同理可得M
()，∴，∵kOH
·kMN
＝－1，∴OH⊥MN．
21、(20分)(解法可能有多种，
( http: / / www.21cnjy.com )细致找分点，给分分为5档：0分、5分、10分、15分、20分，注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)
【证明】作高BP、CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．一方面，，另一方面，由Ceva定理(塞瓦定理)：，由①、②，，又∠MBA=∠MCA．得，于是M、A、P、Q四点共圆，即M、A、P、Q、H五点共圆，而AH为直径，∴∠AMH=90°．
【另证】取BC中点G，连结AG、EG、GC、BH、CI、BI(作点令，连结交⊙O于I)，有，四边形BHCI为平行四边形，A、、D、G四点共圆
第5题
第12题
第16题
第20题
第21题
第16题解