课件14张PPT。 10.2 等腰三角形（1）你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 议一议定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).D 回顾与思考定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.∵ AB=AC , BD=CD, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD（SSS）.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.此时AD还是什么线?证明:
取底边BC的中点D，连接AD.你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.定理: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC.∵AB=AC, BD=CD，
∴∠1=∠2,AD⊥BC.1.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,
且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1) 求证:△ABD是等腰三角形.
(2)求∠ABD的度数.ABCD课内练习前面已经证明了“等边对等角”，反过来，
“等角对等边”成立吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线
作BC边上的高.想一想定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.在△ABC中，
∵∠C＝∠ B （已知），
∴AB=AC（等角对等边）.定理证明这又是一个判定两条线段相等的方法.练一练 1.如图,△ABC中,D，E分别是AC，AB边上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO =∠DCO ， ②∠BEO=∠CDO，
③BE=CD ， ④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形).
(2)选择的（1）小题的一种情形,
证明△ABC是等腰三角形.O①③; ①④;
②③; ②④在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.与同伴交流你在探索思路过程中的具体做法.你能发现其中的一些相等的线段吗?你能发现其中的一些相等的角吗?你能证明发现的结论吗? 例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB(已知),
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵∠ACB=∠ ABC（已知）,
BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.例题解析例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 证明:∵AC=AB (已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM= AC,BN= AB(已知),
∴CM=BN(等式性质).
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已证）, CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）.
∴BM=CN(全等三角形的对应边相等). 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.命题证明例3 求证:等腰三角形两腰上的高相等. 证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的定义).
在△BPC与△CQB中，
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（AAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等). 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.命题证明练一练2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形顶角的度数? 90°，36°，108°课后作业课件20张PPT。10.2 等腰三角形（2）（1）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ （2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
把你的证明思路与同伴进行交流.定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60° (等边对等角) .
∴∠A=600°(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形的定义).已知:如图,在△ABC中 ,AB=AC,∠B=60°.
求证:△ABC是等边三角形. 命题证明定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=60°(已知)，
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据.回顾与反思定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC(等角对等边).
又∠B=∠C(已知),
∴ AC=AB(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式的性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形的定义).已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.命题证明′定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).回顾与反思1 操作:用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？做一做定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证:BC= AB.分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题“线段相等”问题命题的证明证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵ ∠ACB=90° (已知),∴∠ACD=90°(平角的定义).
在△ABC与△ADC中，
∵BC=DC，
∠ACB=∠ACD（已证），
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴ AB=AD.
∵∠BAC=∠DAC=30°,
∴∠BAD=60°.
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形).
∴BC= BD= AB(等式性质).命题的证明定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°，
∴BC= AB(在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).回顾反思解:∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB= 15°+15°=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例 已知:如图,在△ABC中,已知AB=AC=2a,∠ABC=15°,CD是腰
AB上的高，求CD的长.2a2a例题解析已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,
∠A=30°,CD⊥AB,垂足为D.
求证:BD=AB/4.300随堂练习你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?等边三角形的判定:
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300课堂小结小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C.想一想小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗?假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件AB≠AC相矛盾，
因此假设不成立,原命题成立.
即∠B≠∠C.想一想先假设命题的结论反面成立，
然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，
所以假设不成立,原命题成立.你可要结识“反证法”这个新朋友噢!反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.这种证明方法称为反证法
(reduction to absurdity)
假设归谬结论开启智慧例 如何证明这个结论:
如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.例题讲解用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．随堂练习用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,
且都大于60°, 则∠A > 60°,∠B > 60°, ∠C > 60°,∴ ∠A+∠B+∠C >180°.
这与三角形的内角和是1800定理矛盾.∴假设不成立.∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
随堂练习
