黑龙江省大庆市肇源县2016-2017学年九年级（上）期末数学试卷（五四制）（解析版）

2016-2017学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷（五四制）
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又对称轴的数量大于2条的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在下列四个函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y=2x
B．
C．y=3x﹣2
D．y=x2
4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．频率
5．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（　　）
A．4个
B．6个
C．34个
D．36个
6．抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
7．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（　　）
A．极差是2环
B．中位数是8环
C．众数是9环
D．平均数是9环
8．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1
B．﹣3＜x＜1
C．x＜﹣4或x＞1
D．x＜﹣3或x＞1
9．已知AB是圆O的直径，点C，P在圆O上，PB=2，∠ABP=30°，PC=BC，则△PBC的面积为（　　）
A．
B．2
C．或3
D．或4
10．已知二次函数y=a（x+1）2+c（a＜0），当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若y1＞y2，则下列表达式正确的是（　　）
A．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0
B．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
C．﹣a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0
D．a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
　
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）
11．计算：tan45°+cos45°=　　．
12．已知=，则的值为　　．
13．二次函数y=（x+1）2+7的顶点坐标为　　．
14．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=　　．
15．一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为　　．
16．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和8cm，两圆的圆心距O1O2=12cm，则一条外公切线与连心线所夹的锐角为　　．
17．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　　．
18．若函数y=（2﹣m）x2+4x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　　．
19．如图所示，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是　　．
①AD=BD
②OD=CD
③∠OAD=∠DAC
④∠OAD=∠ABC．
20．如图所示，已知一长为2dm，宽为2dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，点A翻滚第一次到达点A1，翻滚到第二次时到达点A2，则点A经过的路线与x轴和y轴围成图形的面积为　　．
　
三、解答题（本大题共8个小题，共60分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．计算：﹣﹣tan60°．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
23．已知反比例函数y=的图象与直线y=x+1都过点（﹣3，n）
（1）求n，k的值；
（2）若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m﹣1的顶点在反比例函数y=的图象上，求这条抛物线的顶点坐标．
24．为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）统计如下：
学业考试体育成绩（分数段）统计表
分数段
人数（人）
频率
A
48
0.2
B
a
0.25
C
84
0.35
D
36
b
E
12
0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a的值为　　，b的值为　　，并将统计图补充完整；
（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？　　（填相应分数段的字母）
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该市今年12000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？
25．如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．
26．在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B
两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）
27．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D=∠E．
（1）求证：∠ADC=∠CBE；
（2）求证：CB=CE；
（3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
28．已知抛物线y=﹣x2+bx+3交x轴负、正半轴于A、B两点，交y轴与点C，且tan∠ACO=，△ABC的外接圆的圆心为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使S△BCP=3，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
（3）圆上是否存在Q点，使△AOC与△BQC相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由．
　
2016-2017学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期末数学试卷（五四制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又对称轴的数量大于2条的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念以及对称轴的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，有1条对称轴，故本选项错误；
B、是轴对称图形，有6条对称轴，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
　
2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据等腰直角三角形的锐角为45°求解．
【解答】解：cosα=cos45°=．
故选B．
　
3．在下列四个函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y=2x
B．
C．y=3x﹣2
D．y=x2
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．
【解答】解：A、函数y=2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y=，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项正确；
C、函数y=3x﹣2，y随着x增大而增大，故本选项错误．
D、函数y=x2，当x＜0时，y随着x增大而减小，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；
故选B．
　
4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．频率
【考点】统计量的选择．
【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．
【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选C．
　
5．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（　　）
A．4个
B．6个
C．34个
D．36个
【考点】利用频率估计概率．
【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%=6个．
故选B．
　
6．抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把原点坐标代入抛物线y=x2﹣mx﹣m2+1，即可求出．
【解答】解：根据题意得：﹣m2+1=0，
所以m=±1．
故选D．
　
7．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（　　）
A．极差是2环
B．中位数是8环
C．众数是9环
D．平均数是9环
【考点】众数；加权平均数；中位数；极差．
【分析】根据极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，以及众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后，最中间的一个即是中位数，所有数据的和除以数据个数即是平均数，分别求出即可．
【解答】解：A、极差是10﹣6=4环，故本选项错误；
B、把数从小到大排列起来；6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，位于中间的两个数都是8，所以中位数是（8+8）÷2=8，故本选项正确；
C、7和9都出现了3次，次数最多，所以众数是7环和9环，故本选项错误；
D、平均数=（6+7×3+8×2+9×3+10）=8，故本选项错误；
故选：B．
　
8．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1
B．﹣3＜x＜1
C．x＜﹣4或x＞1
D．x＜﹣3或x＞1
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
　
9．已知AB是圆O的直径，点C，P在圆O上，PB=2，∠ABP=30°，PC=BC，则△PBC的面积为（　　）
A．
B．2
C．或3
D．或4
【考点】圆周角定理．
【分析】如图1，连接PA，过C作CD⊥PB于D，根据垂径定理得到PD=BD=，解直角三角形得到CD=1，于是得到△PBC的面积=PB CD=；如图2，连接PA，过C作CD⊥PB于D，根据等腰三角形的性质得到PD=BD=，解直角三角形得到CD=3，于是得到△PBC的面积=PB CD=3．
【解答】解：如图1，
连接PA，过C作CD⊥PB于D，
∴PD=BD=，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵∠ABP=30°，
∴∠A=60°，
∵PC=PB，
∴∠CPB=∠CBP=30°，
∴CD=1，
∴△PBC的面积=PB CD=；
如图2，连接PA，过C作CD⊥PB于D，
∵PC=PB，
∴PD=BD=，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵∠ABP=30°，
∴∠A=60°，
∴∠PCB=∠A=60°，
∴CD=3，
∴△PBC的面积=PB CD=3；
综上所述：△PBC的面积为或3，
故选C．
　
10．已知二次函数y=a（x+1）2+c（a＜0），当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若y1＞y2，则下列表达式正确的是（　　）
A．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0
B．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
C．﹣a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0
D．a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意可以得到a、x1和x2的关系，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵y=a（x+1）2+c（a＜0），
∴该二次函数的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，
又∵当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，y1＞y2，
∴假设a=﹣1，x1=0，x2=1或a=﹣1，x1=0，x2=﹣3或a=﹣1，x1=﹣2，x2=﹣3，
当a=﹣1，x1=0，x2=1时，则A选项错、B选项正确，C选项错，D选项错误；
当a=﹣1，x1=0，x2=﹣3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
当a=﹣1，x1=﹣2，x2=﹣3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
故选B．
　
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）
11．计算：tan45°+cos45°=　2　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解．
【解答】解：原式=1+×=1+1=2．
故答案是：2．
　
12．已知=，则的值为　﹣　．
【考点】比例的性质．
【分析】已知等式两边都减去1，即可得出答案．
【解答】解：∵=，
∴﹣1=﹣1，
∴=﹣，
故答案为：﹣．
　
13．二次函数y=（x+1）2+7的顶点坐标为　（﹣1，7）　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【解答】解：
∵y=（x+1）2+7，
∴顶点坐标为（﹣1，7），
故答案为：（﹣1，7）．
　
14．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=　　．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据同角三角函数关系，可得cotA，根据一个角的正切等于它余角的余切，可得答案．
【解答】解：cosA==，
cotA==，
△ABC中，∠C=90°，sinA=，
tanB=cotA==，
故答案为：．
　
15．一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为　　．
【考点】概率公式．
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球和5个红球，
∴球的总数=3+4+5=12，
∴从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率==．
故答案为：．
　
16．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和8cm，两圆的圆心距O1O2=12cm，则一条外公切线与连心线所夹的锐角为　30°　．
【考点】圆与圆的位置关系；切线的性质．
【分析】要能够把要求的角转化到直角三角形中，根据解直角三角形的知识求解．
【解答】解：连接O1O2，AB，过O1作OC⊥OB于点C．
直角△O1O2C边O2C=8﹣2=6，另一直角边即是两圆的外公切线长AB==6．
∵sin∠CO2O1=，
∴所求的角为30°．
故答案为：30°．
　
17．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　6　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】求抛物线与x轴的交点，令y=0，方程的解，即为交点的横坐标，求抛物线与y轴的交点，令x=0，则可得交点的纵坐标，进而可求三角形的面积．
【解答】解：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
令x=0，则y=﹣3，
∴与y轴的交点的坐标为C（0，﹣3），
∴OC=3，
∴S△ABC=AB OC=×4×3=6，
故答案为6．
　
18．若函数y=（2﹣m）x2+4x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　2或﹣2　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．
【解答】解：①当2﹣m=0，即m=2时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当2﹣m≠0，即m≠2时，该函数是二次函数，则
△=（4）2﹣4（2﹣m）=0，
解得
m═﹣2
综上所述，m的值是2或﹣2，
故答案为2或﹣2
　
19．如图所示，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是　②或③或④　．
①AD=BD
②OD=CD
③∠OAD=∠DAC
④∠OAD=∠ABC．
【考点】垂径定理；菱形的判定．
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD，
∴AC=BC，
∵OD=CD，
∴OA=AC，
∴OA=OB=AC=BC，
∴四边形OACB为菱形，故②正确，
∵∠OAD=∠DAC，
∴OA=AC，
∴∴OA=OB=AC=BC，
∴四边形OACB为菱形，故③正确，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=∠ABC，
∴∠OBA=∠ABC，
∴OB=BC，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB为菱形，故④正确，
故答案为：②或③或④．
　
20．如图所示，已知一长为2dm，宽为2dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，点A翻滚第一次到达点A1，翻滚到第二次时到达点A2，则点A经过的路线与x轴和y轴围成图形的面积为　（4+5π）dm2　．
【考点】轨迹．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，依据点A经过的路线与x轴和y轴围成图形的面积为S△AOB+++列式计算可得．
【解答】解：∵AB===4，
∴点A经过的路线与x轴和y轴围成图形的面积为S△AOB+++
=×2×2+++×2×2
=4+5π，
故答案为：（4+5π）dm2．
　
三、解答题（本大题共8个小题，共60分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．计算：﹣﹣tan60°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用算术平方根及立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣2﹣=2﹣2．
　
22．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理；解直角三角形．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再根据平行线的性质即可证明；
（2）根据垂径定理得到AD=CD，再根据三角形的中位线定理进行求解；
（3）由已知可以求得∠A=30°，在直角三角形ABC中，根据30度所对的直角边是斜边的一半进行求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°．
∴AC⊥OD．
（2）解：∵OD∥BC，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴点D是AC的中点，
∴OD=BC=×4=2cm；
（3）解：∵2sinA﹣1=0，
∴sinA=．
∴∠A=30°．
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
∴AB=2BC=8（cm）．
即⊙O的直径是8cm．
　
23．已知反比例函数y=的图象与直线y=x+1都过点（﹣3，n）
（1）求n，k的值；
（2）若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m﹣1的顶点在反比例函数y=的图象上，求这条抛物线的顶点坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质．
【分析】（1）把点的横纵坐标代入函数解析式，计算即可；
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，代入反比例函数解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象与直线y=x+1都过点（﹣3，n），
∴将点（﹣3，n），代入y=x+1，得n=﹣3+1，
解得，n=﹣2，
∴点的坐标为（﹣3，﹣2），将点代入y=，
得k=6；
（2）y=x2﹣2mx+m2+m+1=（x﹣m）2+m+1，
则抛物线的顶点坐标为（m，m+1），
代入y=得
m（m+1）=6，
解得m1=2，m2=﹣3，
∴抛物线y=x2﹣2mx+m2+m+1的顶点为：（2，3），（﹣3，﹣2）．
　
24．为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分；B：49﹣45分；C：44﹣40分；D：39﹣30分；E：29﹣0分）统计如下：
学业考试体育成绩（分数段）统计表
分数段
人数（人）
频率
A
48
0.2
B
a
0.25
C
84
0.35
D
36
b
E
12
0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在统计表中，a的值为　60　，b的值为　0.15　，并将统计图补充完整；
（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？　C　（填相应分数段的字母）
（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该市今年12000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【分析】（1）根据频率=，即可求得总数a的值，进而根据公式求得b的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数12000乘以对应的频率即可求解．
【解答】解：（1）随机抽取部分学生的总人数为：48÷0.2=240，
∴a=240×0.25=60，
b=36÷240=0.15，如图所示：
（2）∵总人数为240人，
∴根据频率分布直方图知道中位数在C分数段；
（3）0.8×12000=9600（名）．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有9600名．
　
25．如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．
【解答】解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．
过点D作DF⊥AC于点F．
则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．
∵四边形DECF是矩形．
∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，
在直角△DFA中，tan∠ADF=，
∴AF=DF tan47°≈21×1.07=22.47（m）．
在直角△DFB中，tan∠BDF=，
∴BF=DF tan42°≈21×0.90=18.90（m），
则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．
BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．
答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．
　
26．在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B
两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）
【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的解．
【分析】（1）将x=2，y=﹣1代入方程计算即可求出a的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）将x=2，y=﹣1代入方程得：2a+1=5，即a=2；
（2）列表得：
0
2
3
﹣5
（0，﹣5）
（2，﹣5）
（3，﹣5）
﹣1
（0，﹣1）
（2，﹣1）
（3，﹣1）
1
（0，1）
（2，1）
（3，1）
所有等可能的情况有9种，其中（x，y）恰好为方程2x﹣y=5的解的情况有（0，﹣5），（2，﹣1），（3，1），共3种情况，
则P==．
　
27．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D=∠E．
（1）求证：∠ADC=∠CBE；
（2）求证：CB=CE；
（3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【考点】圆内接四边形的性质；等边三角形的判定．
【分析】（1）连接AC，BD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，再由∠CBE+∠ABC=180°得出∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，进而可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠D=∠CBE，再由∠D=∠E，故可得出∠CBE=∠E，进而得出结论；
（3）设BC的中点为N，连接MN，由等腰三角形的性质得出MN⊥BC，故点O在直线MN上，因为AD不是圆O的直径，M为AD的中点可得出OM⊥AD，MN⊥AD，BC∥AD，故可得出∠A=∠CBE，再由∠A=∠E可得出∠D=∠E，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AC，BD，
∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，
∴∠D=∠CBE；
（2）证明：∵∠D=∠CBE，∠D=∠E，
∴∠CBE=∠E，
∴CB=CE；
（3）解：设BC的中点为N，连接MN，
∵BM=MC，
∴MN⊥BC，
∴点O在直线MN上．
又∵AD不是圆O的直径，M为AD的中点，
∴OM⊥AD，
∴MN⊥AD，
∴BC∥AD，
∴∠A=∠CBE．
又∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
　
28．已知抛物线y=﹣x2+bx+3交x轴负、正半轴于A、B两点，交y轴与点C，且tan∠ACO=，△ABC的外接圆的圆心为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使S△BCP=3，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
（3）圆上是否存在Q点，使△AOC与△BQC相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）分两种情况用三角形BCP的面积建立方程，解方程即可得出点P的坐标；
（3）先判断出三角形BCQ是直角三角形，进而得出Q是⊙M的直径的一个端点，再分两种情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可．
【解答】解：（1）由tan∠ACO=，OC=3，OA=1，
∴A（﹣1，0）代入解析式得b=2，
∴y=﹣x2+2x+3；
（2）存在；直线BC的解析式为y=﹣x+3，
设P（x，﹣x2+2x+3）．
①若P在BC上方的抛物线上，
如图1，
过P作PH⊥x轴交BC于G，
则：S△BCP=PG×OB=
[﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）]×3=﹣x2+x，
∵S△BCP=3，
∴﹣x2+x=3，
∴x1=1，x2=2，
∴P1（1，4），P2（2，3）；
②若P在BC下方的抛物线上，
如图2，
过P作PL⊥x轴于L，
则：S△BCP=S△BOC+S梯形PLOC﹣S△PLB=
[OC×OB+（PL+OC）×OL﹣BL×PL]=
[3×3+（﹣x2+2x+3+3）×（﹣x）﹣（3﹣x）×（﹣x2+2x+3）]=3x2﹣9x=3，
∴x=（舍）或x=，
此时P3（，）．
综上P1（1，4），P2（2，3），P3（，）．
（3）存在；如图3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，
∴B（3，0），
∵C（0，3），
∴BC=3，直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴直线BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∵AB的垂直平分线是抛物线的对称轴x=1，
∴M（1，1），
∵△AOC是直角三角形，△AOC与△BQC相似，
∴△BQC是直角三角形，
∵BC不是直径，
∴点Q是⊙M的直径的一个端点，
①当∠BCQ是直角，则BQ是直径，
∴CQ⊥BC，
∵C（0，3），
∴直线CQ的解析式为y=x+3①，
∵M（1，1），B（3，0），
∴直线BQ的解析式为y=﹣x+②，
联立①②得，x=﹣1．y=2，
∴Q（﹣1，2），
∴CQ=，
∵BC=3，
∴，
∵tan∠ACO==，
∴，
∵∠AOC=∠QCB=90°，
∴△AOC∽△QCB，
②当∠BQ'C=90°时，同①的方法即可得出Q'（2，﹣1）
即：满足条件的Q（2，﹣1），Q'（﹣1，2）．
　
2017年3月11日