陕西省榆林市府谷县麻镇中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年陕西省榆林市府谷县麻镇中学高一（上）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线x﹣=0的倾斜角是（　　）
A．45°
B．60°
C．90°
D．不存在
2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
3．已知ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
5．如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定（　　）
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
6．已知A（2，5，﹣6），点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是（　　）
A．（0，8，0）
B．（0，2，0）
C．（0，8，0）或（0，2，0）
D．（0，﹣8，0）
7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
A．[0°，90°）
B．[0°，180°）
C．[90°，180°）
D．（90°，180°）
8．已知直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：8x+ay+2﹣a=0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　）
A．±4
B．﹣4
C．4
D．±2
9．已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（　　）
A．D+E=2
B．D+E=1
C．D+E=﹣1
D．D+E=﹣2
10．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a
B．b∥a且b α
C．a与b异面
D．a与b不相交
11．已知点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax﹣2y+b=0上，点P关于直线x+y﹣1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为（　　）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（2，1）
D．（1，2）
12．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的侧面积为　　．
14．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是　　．
15．在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为
　　．
16．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求经过A（﹣2，3），B（4，﹣1）的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．
18．经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y﹣2=0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4=0的直线方程为　　．
19．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A1C的长度．
20．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．
21．若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　　．
22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D
不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
　
2016-2017学年陕西省榆林市府谷县麻镇中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线x﹣=0的倾斜角是（　　）
A．45°
B．60°
C．90°
D．不存在
【考点】直线的倾斜角．
【分析】利用直线x﹣=0的斜率不存在，直线和x轴垂直，根据
直线的倾斜角的定义，求出其倾斜角的大小．
【解答】解：直线x﹣=0的斜率不存在，直线和x轴垂直，故倾斜角等于
90°，
故选
C．
　
2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
【考点】圆的标准方程．
【分析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：
（x﹣2）2+（y+3）2=13，
所以此圆的圆心坐标为（2，﹣3）．
故选D
　
3．已知ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【考点】确定直线位置的几何要素．
【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距，即可得到直线的位置．
【解答】解：直线的斜截式方程为，
∵ac＜0，bc＜0，
∴ab＞0，
即直线的斜率k=，截距，
∴直线ax+by+c=0通过第一，二，四象限．
故选：B．
　
4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
　
5．如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定（　　）
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】直线EF和GH相交，设交点为M，运用公理2，由此能判断EF与HG的交点在直线BD上．
【解答】解：直线EF和GH相交，设交点为M，
∵EF 平面ABD，HG 平面CBD，
∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，
∴M∈BD，
∴EF与HG的交点在直线BD上．
故选：A．
　
6．已知A（2，5，﹣6），点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是（　　）
A．（0，8，0）
B．（0，2，0）
C．（0，8，0）或（0，2，0）
D．（0，﹣8，0）
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标．
【解答】解：由题意设P（0，y，0），
因为|PA|=7，
所以=7，
所以y=2或y=8，
所以点P的坐标为：（0，2，0）或（0，8，0）．
故选：C．
　
7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
A．[0°，90°）
B．[0°，180°）
C．[90°，180°）
D．（90°，180°）
【考点】直线的倾斜角．
【分析】由直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角．
【解答】解：若直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角，
故选D．
　
8．已知直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：8x+ay+2﹣a=0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　）
A．±4
B．﹣4
C．4
D．±2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】利用直线平行的性质求解．
【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：8x+ay+2﹣a=0，l1∥l2，
∴﹣=﹣，且≠
解得a=﹣4．
故选：B．
　
9．已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（　　）
A．D+E=2
B．D+E=1
C．D+E=﹣1
D．D+E=﹣2
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到D、E的关系．
【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上，所以，即D+E=﹣2．
故选D
　
10．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a
B．b∥a且b α
C．a与b异面
D．a与b不相交
【考点】直线与平面平行的性质．
【分析】利用直线与平面平行的判定定理进行判断．
【解答】解：∵a α，
∴b∥a b∥α，或b α，故A不成立；
b∥a且b α b∥α，故B成立；
a与b异面 b∥α或b与α相交，故C不成立；
a与b不相交 b∥α或b α或b与α相交，故D不成立．
故选：B．
　
11．已知点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax﹣2y+b=0上，点P关于直线x+y﹣1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为（　　）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（2，1）
D．（1，2）
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】根据点P关于直线x+y﹣1=0的对称点也在圆C上，可知圆心在直线x+y﹣1=0上，从而可求a的值，故问题得解．
【解答】解：由题意圆心C（﹣，1）在直线x+y﹣1=0上，从而有﹣+1﹣1=0，∴a=0，
∴圆C的圆心坐标为（0，1），
故选A．
　
12．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．
【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1
圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2
∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
∴两圆的位置关系是相交．
故选
B
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的侧面积为　72　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知中的三视图可求出棱柱的底面周长和高，进而可得棱柱的侧面积．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该棱柱的底面高为3，
故该棱柱的底面边长为：6，
故该棱柱的底面周长为：18，
又由棱柱的高h=4，
故棱柱的侧面积为18×4=72，
故答案为：72
　
14．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是　﹣2，﹣　．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】将直线化为截距式方程，即可得到横截距和纵截距或者分别令x=0或y=0也可以进行求解．
【解答】解：方法1：
将直线的方程x+6y+2=0转化截距式方程为：
，
∴在x轴和y轴上的截距分别是﹣2，﹣．
方法2：
∵直线x+6y+2=0，
∴当x=0时，y=﹣，
当y=0时，x=﹣2，
即在x轴和y轴上的截距分别是﹣2，﹣．
故答案为：﹣2，﹣．
　
15．在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为
　（0，0，）　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．
【解答】解：由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴=，
∴18z=28，
∴z=，
∴C点的坐标是（0，0，）
故答案为：（0，0，）
　
16．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．
【分析】三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解．
【解答】解：，，
依题意知，
有（a﹣2） （b﹣2）﹣4=0
即ab﹣2a﹣2b=0，变形为ab=2（a+b），
所以==
故答案为
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求经过A（﹣2，3），B（4，﹣1）的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．
【考点】直线的一般式方程；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；直线的截距式方程．
【分析】利用直线方程的求法即可得出．
【解答】解：过A，B两点的直线方程是，
点斜式为：，斜截式为：，
截距式为：，一般式为：2x+3y﹣5=0．
　
18．经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y﹣2=0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4=0的直线方程为　2x+3y﹣2=0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】联立直线的方程可得交点的坐标，由垂直关系可得所求直线的斜率，由此可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．
【解答】解：联立，解之可得，
故可得交点的坐标为（﹣2，2），
又可得直线3x﹣2y+4=0的斜率为，
故所求直线的斜率为﹣，
故可得直线的方程为：y﹣2=﹣（x+2），
化为一般式可得2x+3y﹣2=0．
故答案为：2x+3y﹣2=0．
　
19．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A1C的长度．
【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．
【分析】（1）由已知利用坐标意义即可得出．
（2）解法一：利用两点之间的距离公式即可得出．
解法二：利用勾股定理即可得出．
【解答】解：（1）正方体各顶点的坐标如下：A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），D1（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2）
（2）解法一：．
解法二：∵，
在Rt△AA1C1中，，
∴，∴，∴．
　
20．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据题意，设圆的圆心为（3b，b），则有|3b|=4，求得b的值，可得圆的标准方程．
【解答】解：∵圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上，
设圆的圆心为（3b，b），则|3b|=4，∴b=±，
故要求的圆的方程为（x﹣4）2+=16，或（x+4）2+=16．
　
21．若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．
【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，
因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，
所以，
解得，
所求圆的方程为：．
故答案为：．
　
22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D
不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD 平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD 平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F 平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F 平面ADE，AD 平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
　
2017年3月11日