广西桂林市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 广西桂林市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 257.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-13 21:45:25 | ||
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文档简介
2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc
B．a﹣c＜b﹣c
C．a2＞b2
D．a3＞b3
3．已知命题p： x0∈R，x0＞1，则￢p为（ ）
A． x∈R，x≤1
B． x∈R，x≤1
C． x∈R，x＜1
D． x∈R，x＜1
4．数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（ ）
A．﹣7
B．﹣8
C．﹣22
D．27
5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，）
D．（，+∞）
12．已知数列{an}中，a1=t，an+1=+，若{an}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣2，0）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC= ．
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于 ．
15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于 ．
16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的
( http: / / www.21cnjy.com )焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△A
BC中，a，b，c分别是角
A，B，C的对边，cosB=且ac=35．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．
19．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化
( http: / / www.21cnjy.com )工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．
2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2
∴=1
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）
故选B．
2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc
B．a﹣c＜b﹣c
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】不等式比较大小．
【分析】举特殊值判断A，C，根据不等式的性质判断C，根据幂函数的性质判断D
【解答】解：A．当c=0时，不成立；
B．根据不等式性质，则不成立；
C．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
D．根据幂函数y=x3为增函数，可得成立
故选：D．
3．已知命题p： x0∈R，x0＞1，则￢p为（ ）
A． x∈R，x≤1
B． x∈R，x≤1
C． x∈R，x＜1
D． x∈R，x＜1
【考点】命题的否定．
【分析】由特称命题的否定方法可得结论．
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p： x∈R，x≤1
故选：A．
4．数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（ ）
A．﹣7
B．﹣8
C．﹣22
D．27
【考点】等差数列；等差数列的通项公式．
【分析】数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，可得an+1﹣an=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；
【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，
∴an+1﹣an=﹣3，
∴a2﹣a1=﹣3，
a3﹣a2=﹣3，
…
a8﹣a7=﹣3，
进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，
∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，
故选C；
5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】余弦定理．
【分析】根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出cosC的值．
【解答】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4，
所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；
所以cosC===﹣．
故选：D．
6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，
而“x＞|y|” “x＞y”，
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
故选：C．
7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由，解得，即A（2，3）．
代入目标函数z=x﹣2y，
得z=2﹣6=﹣4
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．
故选：D．
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）
∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，
∴x0=x0+，
解得x0=1．
故选：A．
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根， a∈R，可得△≥0，因此是真命题．
命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．
下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．
则其中真命题的个数为3．
故选：C．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=，
故三角形为直角三角形，
故选：A．
11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，）
D．（，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．
【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，
则，两式消去y0可得=x0＞1，
∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，
∴＜2，∴e=＜，
又∵双曲线的离心率大于1，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）
故选：C
12．已知数列{an}中，a1=t，an+1=+，若{an}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣2，0）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
【考点】数列的函数特性．
【分析】由an+1=+，作差an+1﹣an=＜0，解得an＞2或﹣2＜an＜0，对t分类讨论即可得出．
【解答】解：∵an+1=+，∴an+1﹣an=﹣=＜0，解得an＞2或﹣2＜an＜0，
（1）a1=t∈（﹣2，0）时，a2=＜﹣2，归纳可得：an＜﹣2（n≥2）．
∴a2﹣a1＜0，但是an+1﹣an＞0（n≥2），不合题意，舍去．
（2）a1=t＞2时，a2=＞2，归纳可得：an＞2（n≥2）．∴an+1﹣an＜0，符合题意．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC= 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，
∴由正弦定理=得：AC===2．
故答案为：2
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于 6 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列．
【分析】由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式可得：
S9====6
故答案为：6
15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于 2 ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可求出a+b
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），
∴1和4是ax2+bx﹣2=0的两个根，
∴1+4=且1×4=，解得a=，b=，
∴a+b=2；
故答案为：2．
16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于 3 ．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】求出椭圆的焦点和离心率，由
( http: / / www.21cnjy.com )题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF1|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长．
【解答】解：椭圆+=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），
离心率为=，
由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，
则双曲线的离心率为2，
由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=2，
又|PF2|=4，则|PF1|=2+4=6，
由M为PF2的中点，O为F1F2的中点，
则|OM|=|PF1|==3．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式得出Tn．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
则，解得．
∴an=a1+（n﹣1）d=n﹣1．
（2）由（1）可得bn=2n﹣1，∴{bn}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴Tn==2n﹣1．
18．在△A
BC中，a，b，c分别是角
A，B，C的对边，cosB=且ac=35．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．
（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．
【解答】解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），
∴sinB==，又ac=35，…
∴S△ABC=acsinB==14．…
（2）由ac=35，a=7，
得c=5，…
∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，
∴b=4，…
∴cosC===…
又C∈（0，π）…
∴C=．…
19．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；
（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：1＜k＜，
故q：k∈（1，）；
（2）∵ x∈R，x2+kx+2k+5≥0，
∴△=k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，
故p为真时：k∈[﹣2，10]；
结合（1）q为真时：k∈（1，）；
若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
故或，
解得：﹣2≤k≤1或≤k≤10．
20．某化工厂引进一条先进生产线生
( http: / / www.21cnjy.com )产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则（0＜x≤210），
当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．
（2）设年利润为u（万元），则
=．
所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设正项等比数列{an}的公比为
( http: / / www.21cnjy.com )q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，
，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．b1=，解得b1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，
∴a1（1+q）=4，
，即q2=4．
解得q=2，a1=2．
∴an=2n．
正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
∴b1=，解得b1=1．
n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，
∴bn﹣bn﹣1=2，
∴数列{bn}是等差数列，公差为2．
∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，
∴数列{cn}的前n项的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1） 2n，
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3） 2n+（2n﹣1） 2n+1，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1） 2n+1=（3﹣2n） 2n+1﹣6，
∴Tn=（2n﹣3） 2n+1+6．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．
【考点】椭圆的标准方程；等差数列的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b，进而可得答案．
（2）设直线l的方程为，代入（1）中所求的椭圆C的方程，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而可得到x1+x2和x1 x2的表达式，根据F1A|+|BF1|=2|AB|求得k，再判断直线l⊥x轴时，直线方程不符合题意．最后可得答案．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，（其中a＞b＞0）
由题意得，且，解得a2=4，b2=2，c2=2，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程，
化简得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，则|F1A|+|BF1|=2|AB|．
而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，所以.=，解得k=±1；
当直线l⊥x轴时，，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．
所以，直线l的方程为．
2017年3月12日
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc
B．a﹣c＜b﹣c
C．a2＞b2
D．a3＞b3
3．已知命题p： x0∈R，x0＞1，则￢p为（ ）
A． x∈R，x≤1
B． x∈R，x≤1
C． x∈R，x＜1
D． x∈R，x＜1
4．数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（ ）
A．﹣7
B．﹣8
C．﹣22
D．27
5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，）
D．（，+∞）
12．已知数列{an}中，a1=t，an+1=+，若{an}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣2，0）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC= ．
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于 ．
15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于 ．
16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的
( http: / / www.21cnjy.com )焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△A
BC中，a，b，c分别是角
A，B，C的对边，cosB=且ac=35．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．
19．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化
( http: / / www.21cnjy.com )工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．
2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2
∴=1
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）
故选B．
2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc
B．a﹣c＜b﹣c
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】不等式比较大小．
【分析】举特殊值判断A，C，根据不等式的性质判断C，根据幂函数的性质判断D
【解答】解：A．当c=0时，不成立；
B．根据不等式性质，则不成立；
C．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
D．根据幂函数y=x3为增函数，可得成立
故选：D．
3．已知命题p： x0∈R，x0＞1，则￢p为（ ）
A． x∈R，x≤1
B． x∈R，x≤1
C． x∈R，x＜1
D． x∈R，x＜1
【考点】命题的否定．
【分析】由特称命题的否定方法可得结论．
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p： x∈R，x≤1
故选：A．
4．数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（ ）
A．﹣7
B．﹣8
C．﹣22
D．27
【考点】等差数列；等差数列的通项公式．
【分析】数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，可得an+1﹣an=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；
【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，
∴an+1﹣an=﹣3，
∴a2﹣a1=﹣3，
a3﹣a2=﹣3，
…
a8﹣a7=﹣3，
进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，
∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，
故选C；
5．在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】余弦定理．
【分析】根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出cosC的值．
【解答】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4，
所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；
所以cosC===﹣．
故选：D．
6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，
而“x＞|y|” “x＞y”，
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
故选：C．
7．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由，解得，即A（2，3）．
代入目标函数z=x﹣2y，
得z=2﹣6=﹣4
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．
故选：D．
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）
∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，
∴x0=x0+，
解得x0=1．
故选：A．
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根， a∈R，可得△≥0，因此是真命题．
命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．
下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．
则其中真命题的个数为3．
故选：C．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=，
故三角形为直角三角形，
故选：A．
11．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，）
D．（，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．
【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，
则，两式消去y0可得=x0＞1，
∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，
∴＜2，∴e=＜，
又∵双曲线的离心率大于1，
∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）
故选：C
12．已知数列{an}中，a1=t，an+1=+，若{an}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣2，0）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
【考点】数列的函数特性．
【分析】由an+1=+，作差an+1﹣an=＜0，解得an＞2或﹣2＜an＜0，对t分类讨论即可得出．
【解答】解：∵an+1=+，∴an+1﹣an=﹣=＜0，解得an＞2或﹣2＜an＜0，
（1）a1=t∈（﹣2，0）时，a2=＜﹣2，归纳可得：an＜﹣2（n≥2）．
∴a2﹣a1＜0，但是an+1﹣an＞0（n≥2），不合题意，舍去．
（2）a1=t＞2时，a2=＞2，归纳可得：an＞2（n≥2）．∴an+1﹣an＜0，符合题意．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC= 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，
∴由正弦定理=得：AC===2．
故答案为：2
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于 6 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列．
【分析】由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式可得：
S9====6
故答案为：6
15．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），则a+b等于 2 ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可求出a+b
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为（1，4），
∴1和4是ax2+bx﹣2=0的两个根，
∴1+4=且1×4=，解得a=，b=，
∴a+b=2；
故答案为：2．
16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于 3 ．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】求出椭圆的焦点和离心率，由
( http: / / www.21cnjy.com )题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF1|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长．
【解答】解：椭圆+=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），
离心率为=，
由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，
则双曲线的离心率为2，
由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=2，
又|PF2|=4，则|PF1|=2+4=6，
由M为PF2的中点，O为F1F2的中点，
则|OM|=|PF1|==3．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式得出Tn．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
则，解得．
∴an=a1+（n﹣1）d=n﹣1．
（2）由（1）可得bn=2n﹣1，∴{bn}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴Tn==2n﹣1．
18．在△A
BC中，a，b，c分别是角
A，B，C的对边，cosB=且ac=35．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．
（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．
【解答】解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），
∴sinB==，又ac=35，…
∴S△ABC=acsinB==14．…
（2）由ac=35，a=7，
得c=5，…
∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，
∴b=4，…
∴cosC===…
又C∈（0，π）…
∴C=．…
19．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；
（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：1＜k＜，
故q：k∈（1，）；
（2）∵ x∈R，x2+kx+2k+5≥0，
∴△=k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，
故p为真时：k∈[﹣2，10]；
结合（1）q为真时：k∈（1，）；
若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
故或，
解得：﹣2≤k≤1或≤k≤10．
20．某化工厂引进一条先进生产线生
( http: / / www.21cnjy.com )产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则（0＜x≤210），
当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．
（2）设年利润为u（万元），则
=．
所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设正项等比数列{an}的公比为
( http: / / www.21cnjy.com )q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，
，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．b1=，解得b1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，
∴a1（1+q）=4，
，即q2=4．
解得q=2，a1=2．
∴an=2n．
正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
∴b1=，解得b1=1．
n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，
∴bn﹣bn﹣1=2，
∴数列{bn}是等差数列，公差为2．
∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，
∴数列{cn}的前n项的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1） 2n，
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3） 2n+（2n﹣1） 2n+1，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1） 2n+1=（3﹣2n） 2n+1﹣6，
∴Tn=（2n﹣3） 2n+1+6．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程．
【考点】椭圆的标准方程；等差数列的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b，进而可得答案．
（2）设直线l的方程为，代入（1）中所求的椭圆C的方程，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而可得到x1+x2和x1 x2的表达式，根据F1A|+|BF1|=2|AB|求得k，再判断直线l⊥x轴时，直线方程不符合题意．最后可得答案．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，（其中a＞b＞0）
由题意得，且，解得a2=4，b2=2，c2=2，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程，
化简得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，则|F1A|+|BF1|=2|AB|．
而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，所以.=，解得k=±1；
当直线l⊥x轴时，，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．
所以，直线l的方程为．
2017年3月12日