课件13张PPT。6.3 正方形的性质与判定(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一个角是直角定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形邻边相等回顾正方形框图 图中的四边形都是特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流.议一议正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质.正方形的性质边对角线对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角角正方形性质想一想正方形有几对称轴？看看下图.例题解析例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.例题解析∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图）.
∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
题1 四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,
(1)求∠AOB,∠OAB的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD ∠AOB=900 ，
∠BAC=∠DAC.
∴∠OAB=450 . 4㎝(3)正方形的面积64 cm，则对角线交点到正方形一边的距离 .练习题2 AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F. 求证：EC=EF=FB.证明：
∵ 四边形ABCD是正方形， ∴∠B=900 ,ACB=450.
∵∠AEF=900 AB=AE， ∴△ABF≌△AFE(HL）.
∴BF=EF.
又∵∠FEC=900, ∠ECF=45°，
∴∠EFC=45°.∴EC=EF（等角对等边）. ∴BF=EF=EC.练习 议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？ 你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流. 练一练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是___2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是____6.如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE=CA，连接AE交DC于F，则∠E= ，∠AFC= .3.正方形的周长为12, 则它的对角线长是____.4.正方形的面积为12, 则它的边长是_____5.正方形对角线长12，则它的面积是_____课件15张PPT。6.3 正方形的性质与判定（2）⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）两层含义正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的定义:正方形再认识有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角各平行四边形关系再认识平行四边形矩形菱形正方形对角线相等对角线垂直对角线相等对角线垂直对角线垂直且相等各平行四边形关系再认识所以 正方形不仅是平行四边形、矩形，还是菱形.正方形的性质回顾议一议：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同交流.定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.正方形的判定定理:对角线垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.正方形的判定正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.构建与证明OBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形. 证一证：例2 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB，BF∥CE，CF∥BE．
求证：四边形 BECF 是正方形．证明：∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ ABC = 90°，∠ DCB = 90°．证一证：又∵ BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB，
∴ ∠ EBC =45°，∠ ECB =45°．
∴ ∠ EBC = ∠ ECB．
∴ EB = EC．
∴ 平行四边形 BECF是菱形（菱形的定义）．
在 △EBC 中，
∵ ∠ EBC = 45°，∠ ECB = 45°，
∴ ∠ BEC = 90°．
∴ 菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．做一做我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么任意画一个正方形（如图），以四边的中点为顶点可以组成一个什么样的图形呢？先猜一猜再证明.议一议：（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？练一练1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线互相垂直的矩形是正方形.3.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.4. 四条边都相等的四边形是正方形.5.四个角都相等的四边形是正方形.6.四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形. （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）
