安徽省宣城市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 安徽省宣城市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-13 22:02:06 | ||
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文档简介
2016-2017学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想
( http: / / www.21cnjy.com )一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题p： x∈R，x﹣2＞lgx，命题q： x∈R，ex＞1，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题
4．要从已编号（1～60）的60枚最新研制
( http: / / www.21cnjy.com )的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A．5、10、15、20、25、30
B．3、13、23、33、43、53
C．1、2、3、4、5、6
D．2、4、8、16、32、48
5．总体由编号为01，02，…，19，20
( http: / / www.21cnjy.com )的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08
B．07
C．02
D．01
6．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
7．下列命题中正确的是（（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0
8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．
B．6
C．12
D．7
9．如图所示，墙上挂有边长
( http: / / www.21cnjy.com )为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣
B．
C．1﹣
D．与a的取值有关
10．已知空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，则z=（ ）
A．2
B．0或2
C．0
D．2或1
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： ．
14．与双曲线﹣=1有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为 ．
15．已知数据a1，a2，…，an的方差为4，则数据2a1，2a2，…，2an的方差为 ．
16．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知a∈R，命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“ x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．某校为了解学生的视力情况，随
( http: / / www.21cnjy.com )机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
（3.9，4.2]
3
0.06
（4.2，4.5]
6
0.12
（4.5，4.8]
25
x
（4.8，5.1]
y
z
（5.1，5.4]
2
0.04
合计
n
1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（h）
2.5
3
4
4.5
（，）
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
20．如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣A的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
22．已知抛物线C：y2=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．
2016-2017学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
【考点】进位制．
【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．
【解答】解：∵由题意可得，=1×22+1×21+0×20=6．
∴5+6=11．
故选：B．
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
( http: / / www.21cnjy.com )数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型
( http: / / www.21cnjy.com )，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，
其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：
①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；
③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；
⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，
总共16种，
∴他们“心有灵犀”的概率为．
故选D．
3．已知命题p： x∈R，x﹣2＞lgx，命题q： x∈R，ex＞1，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；
对于命题q： x∈R，ex＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；
∴命题p∧￢q是真命题．
故选：C．
4．要从已编号（1～60
( http: / / www.21cnjy.com )）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A．5、10、15、20、25、30
B．3、13、23、33、43、53
C．1、2、3、4、5、6
D．2、4、8、16、32、48
【考点】系统抽样方法．
【分析】将总体分成均衡的若干部分指的是
( http: / / www.21cnjy.com )将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量，若不能整除时，要先去掉几个个体．
【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，
采用系统抽样间隔应为=10，
只有B答案中导弹的编号间隔为10，
故选B
5．总体由编号为01，02，…，19，
( http: / / www.21cnjy.com )20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08
B．07
C．02
D．01
【考点】简单随机抽样．
【分析】从随机数表第1行的第5列和
( http: / / www.21cnjy.com )第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
6．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．
【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，
它的互斥事件是两次都不中靶，
故选C．
7．下列命题中正确的是（（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；
B均值定理等号成立的条件判断；
C或的否定为且；
D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．
【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；
B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；
C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；
D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，
命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．
故选：D．
8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．
B．6
C．12
D．7
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=，
所以|AB|=x1++x2+=++=12
故选：C
9．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木
( http: / / www.21cnjy.com )板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣
B．
C．1﹣
D．与a的取值有关
【考点】几何概型．
【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．
【解答】解：利用几何概型求解，
图中阴影部分的面积为：
，
则他击中阴影部分的概率是：
=1﹣，
故选A．
10．已知空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，则z=（ ）
A．2
B．0或2
C．0
D．2或1
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：由于空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，
即=，
则（z﹣1）2=31，
解得z=0或2．
故选：B．
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作
( http: / / www.21cnjy.com )用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值重新为2时变量n的值，并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S
n
是否继续循环
第一圈﹣1
2
是
第二圈
0.5
4
是
第三圈
2
8
否
则输出的结果为8
故选：B．
12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点坐标和
( http: / / www.21cnjy.com )准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），
由题意可得a=，
双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为y=±x，
抛物线的准线方程为x=﹣，
代入渐近线方程可得交点为（﹣a，b），（﹣a，﹣b），
由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，
可得边长为2b，高为a，
即有a=b，c==a，
即有e==．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： x∈R，使x2+ax+1≥0 ．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： x∈R，使x2+ax+1≥0．
故答案为： x∈R，使x2+ax+1≥0．
14．与双曲线﹣=1有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为 =1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线有共同渐近线的特点设出双曲线的方程为﹣=λ（λ≠0），代入点A（，2），求出λ再化简即可．
【解答】解：设方程为﹣=λ（λ≠0），
代入点A（，2），可得=λ，
∴λ=﹣9，
∴双曲线的方程为=1．
故答案为：
=1．
15．已知数据a1，a2，…，an的方差为4，则数据2a1，2a2，…，2an的方差为 16 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据数据x1，x2，…，xn的平均数与方差，即可求出数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数和方差．
【解答】解：设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2；
则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数是a+b，方差为a2s2；
当a=2时，数据2a1，2a2，…，2an的方差为22×4=16．
故答案为：16．
16．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由，消去y，可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，
∴则x1+x2=，x1x2=，
由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1．
∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得 =0
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣x1+1）（﹣x2+1）=0，化简得2x1x2﹣（x1+x2）+1=0．
∴2 ﹣+1=0．整理得a2+b2﹣2a2b2=0．
∵b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，
∴代入上式，化简得2a2=1+，
∴a2=（1+）．
∵e∈[，]，平方得≤e2≤，
∴≤1﹣e2≤，可得≤≤4，
因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，
满足条件a2+b2＞1，
∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知a∈R，命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“ x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）由于命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a
( http: / / www.21cnjy.com )≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
【解答】解：（1）∵命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，
根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，
也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
18．某校为了解学生的视力情
( http: / / www.21cnjy.com )况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
（3.9，4.2]
3
0.06
（4.2，4.5]
6
0.12
（4.5，4.8]
25
x
（4.8，5.1]
y
z
（5.1，5.4]
2
0.04
合计
n
1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
【考点】等可能事件的概率；频率分布表．
【分析】（I）根据题意，由（5.1，5
( http: / / www.21cnjy.com ).4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；
（II）设样本视力在（3.9，4.2]
( http: / / www.21cnjy.com )的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．
【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，
由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50
由0；
y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，
（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．
由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：
( http: / / www.21cnjy.com )Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；
设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于
( http: / / www.21cnjy.com )0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；
P（A）==，
故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．
19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（h）
2.5
3
4
4.5
（，）
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）由题意描点作出散点图；
（Ⅱ）由表中数据求得b=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，从而解得；
（Ⅲ）将x=10代入回归直线方程，y=0.7×6+1.05=5.25（小时）．
【解答】解：（Ⅰ）散点图如图所示，
（Ⅱ）由表中数据得：
xiyi=52.5，
xi2=54，
=3.5，
=3.5，
∴b==0.7，
∴a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴y=0.7x+1.05．
（Ⅲ）将x=10代入回归直线方程，
y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
20．如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣A的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）取BC中点G点，连接A
( http: / / www.21cnjy.com )G，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分
( http: / / www.21cnjy.com )别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），A（0，﹣1，0），求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角C﹣DE﹣A的正弦值．
（Ⅲ）利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．
【解答】解：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB 平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为
BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），A（0，﹣1，0），=（﹣，1，2），=（0，2，1）．
设面CDE的法向量=（x，y，z），
则，
取=（，﹣1，2），
取面ABDE的法向量=（1，0，0），
由cos＜，＞==，
故二面角C﹣DE﹣A的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量=（，﹣1，2），=（0，0，1），
则点A到平面CDE的距离d==．
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．
【解答】解：（1）∵椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），
∴由题意得，
解得a=2，b=2，
∴椭圆C的方程为．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，
∴﹣2＜m＜2，
∵x0==﹣，
∴y0=x0+m=，
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，
∴（﹣）2+（）2=1，
∴m=±．
22．已知抛物线C：y2=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）直线y=2符合题意，当y≠2时，设l的方程m（y﹣2）=x﹣1，代入抛物线方程，由△=0，即可求得m的值，直线l的方程；
（Ⅱ）由=（﹣1，a﹣2），=（﹣1，b﹣2），则 =0，则ab+2a+2b+20=0，而过QR的直线的斜率为：
=，整理得4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知P（1，2），显然直线y=2符合题意；
当y≠2时，设l的方程m（y﹣2）=x﹣1，
，整理得：y2﹣4my+8m﹣4=0，
令△=（4m）2﹣4（8m﹣4）=0，解得：m=1，
∴y=x+1，
∴直线l的方程y=2或y=x+1；
（Ⅱ）证明：设Q（，a），R（，b），而P（1，2），
∴=（﹣1，a﹣2），=（﹣1，b﹣2），
由于PQ⊥PR，得向量 =0，
即为（﹣1）（﹣1）+（a﹣2）（b﹣2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过QR的直线的斜率为：
=．
∴过QR的直线方程为y﹣b=（x﹣），
整理得：4x+ab﹣（a+b）y=0，
即4x﹣（a+b）y﹣2a﹣2b﹣20=0．
化为4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．
∴直线QR必过定点（5，﹣2）．
2017年3月13日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想
( http: / / www.21cnjy.com )一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题p： x∈R，x﹣2＞lgx，命题q： x∈R，ex＞1，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题
4．要从已编号（1～60）的60枚最新研制
( http: / / www.21cnjy.com )的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A．5、10、15、20、25、30
B．3、13、23、33、43、53
C．1、2、3、4、5、6
D．2、4、8、16、32、48
5．总体由编号为01，02，…，19，20
( http: / / www.21cnjy.com )的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08
B．07
C．02
D．01
6．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
7．下列命题中正确的是（（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0
8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．
B．6
C．12
D．7
9．如图所示，墙上挂有边长
( http: / / www.21cnjy.com )为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣
B．
C．1﹣
D．与a的取值有关
10．已知空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，则z=（ ）
A．2
B．0或2
C．0
D．2或1
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： ．
14．与双曲线﹣=1有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为 ．
15．已知数据a1，a2，…，an的方差为4，则数据2a1，2a2，…，2an的方差为 ．
16．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知a∈R，命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“ x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．某校为了解学生的视力情况，随
( http: / / www.21cnjy.com )机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
（3.9，4.2]
3
0.06
（4.2，4.5]
6
0.12
（4.5，4.8]
25
x
（4.8，5.1]
y
z
（5.1，5.4]
2
0.04
合计
n
1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（h）
2.5
3
4
4.5
（，）
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
20．如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣A的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
22．已知抛物线C：y2=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．
2016-2017学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
【考点】进位制．
【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．
【解答】解：∵由题意可得，=1×22+1×21+0×20=6．
∴5+6=11．
故选：B．
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
( http: / / www.21cnjy.com )数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型
( http: / / www.21cnjy.com )，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，
其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：
①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；
③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；
⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，
总共16种，
∴他们“心有灵犀”的概率为．
故选D．
3．已知命题p： x∈R，x﹣2＞lgx，命题q： x∈R，ex＞1，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；
对于命题q： x∈R，ex＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；
∴命题p∧￢q是真命题．
故选：C．
4．要从已编号（1～60
( http: / / www.21cnjy.com )）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A．5、10、15、20、25、30
B．3、13、23、33、43、53
C．1、2、3、4、5、6
D．2、4、8、16、32、48
【考点】系统抽样方法．
【分析】将总体分成均衡的若干部分指的是
( http: / / www.21cnjy.com )将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量，若不能整除时，要先去掉几个个体．
【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，
采用系统抽样间隔应为=10，
只有B答案中导弹的编号间隔为10，
故选B
5．总体由编号为01，02，…，19，
( http: / / www.21cnjy.com )20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08
B．07
C．02
D．01
【考点】简单随机抽样．
【分析】从随机数表第1行的第5列和
( http: / / www.21cnjy.com )第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
6．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．
【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，
它的互斥事件是两次都不中靶，
故选C．
7．下列命题中正确的是（（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
D．命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；
B均值定理等号成立的条件判断；
C或的否定为且；
D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．
【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；
B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；
C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；
D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，
命题p： x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p： x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．
故选：D．
8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．
B．6
C．12
D．7
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=，
所以|AB|=x1++x2+=++=12
故选：C
9．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木
( http: / / www.21cnjy.com )板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1﹣
B．
C．1﹣
D．与a的取值有关
【考点】几何概型．
【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．
【解答】解：利用几何概型求解，
图中阴影部分的面积为：
，
则他击中阴影部分的概率是：
=1﹣，
故选A．
10．已知空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，则z=（ ）
A．2
B．0或2
C．0
D．2或1
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：由于空间两点A（1，2，z），B（2，﹣1，1）之间的距离为，
即=，
则（z﹣1）2=31，
解得z=0或2．
故选：B．
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作
( http: / / www.21cnjy.com )用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值重新为2时变量n的值，并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S
n
是否继续循环
第一圈﹣1
2
是
第二圈
0.5
4
是
第三圈
2
8
否
则输出的结果为8
故选：B．
12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点坐标和
( http: / / www.21cnjy.com )准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），
由题意可得a=，
双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为y=±x，
抛物线的准线方程为x=﹣，
代入渐近线方程可得交点为（﹣a，b），（﹣a，﹣b），
由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，
可得边长为2b，高为a，
即有a=b，c==a，
即有e==．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： x∈R，使x2+ax+1≥0 ．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题p： x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p： x∈R，使x2+ax+1≥0．
故答案为： x∈R，使x2+ax+1≥0．
14．与双曲线﹣=1有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为 =1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线有共同渐近线的特点设出双曲线的方程为﹣=λ（λ≠0），代入点A（，2），求出λ再化简即可．
【解答】解：设方程为﹣=λ（λ≠0），
代入点A（，2），可得=λ，
∴λ=﹣9，
∴双曲线的方程为=1．
故答案为：
=1．
15．已知数据a1，a2，…，an的方差为4，则数据2a1，2a2，…，2an的方差为 16 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据数据x1，x2，…，xn的平均数与方差，即可求出数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数和方差．
【解答】解：设数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2；
则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数是a+b，方差为a2s2；
当a=2时，数据2a1，2a2，…，2an的方差为22×4=16．
故答案为：16．
16．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由，消去y，可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，
∴则x1+x2=，x1x2=，
由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1．
∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得 =0
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣x1+1）（﹣x2+1）=0，化简得2x1x2﹣（x1+x2）+1=0．
∴2 ﹣+1=0．整理得a2+b2﹣2a2b2=0．
∵b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，
∴代入上式，化简得2a2=1+，
∴a2=（1+）．
∵e∈[，]，平方得≤e2≤，
∴≤1﹣e2≤，可得≤≤4，
因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，
满足条件a2+b2＞1，
∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知a∈R，命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“ x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）由于命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a
( http: / / www.21cnjy.com )≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
【解答】解：（1）∵命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，
根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，
也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
18．某校为了解学生的视力情
( http: / / www.21cnjy.com )况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
（3.9，4.2]
3
0.06
（4.2，4.5]
6
0.12
（4.5，4.8]
25
x
（4.8，5.1]
y
z
（5.1，5.4]
2
0.04
合计
n
1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
【考点】等可能事件的概率；频率分布表．
【分析】（I）根据题意，由（5.1，5
( http: / / www.21cnjy.com ).4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；
（II）设样本视力在（3.9，4.2]
( http: / / www.21cnjy.com )的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．
【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，
由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50
由0；
y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，
（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．
由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：
( http: / / www.21cnjy.com )Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；
设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于
( http: / / www.21cnjy.com )0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；
P（A）==，
故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．
19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（h）
2.5
3
4
4.5
（，）
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）由题意描点作出散点图；
（Ⅱ）由表中数据求得b=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，从而解得；
（Ⅲ）将x=10代入回归直线方程，y=0.7×6+1.05=5.25（小时）．
【解答】解：（Ⅰ）散点图如图所示，
（Ⅱ）由表中数据得：
xiyi=52.5，
xi2=54，
=3.5，
=3.5，
∴b==0.7，
∴a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴y=0.7x+1.05．
（Ⅲ）将x=10代入回归直线方程，
y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
20．如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣A的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）取BC中点G点，连接A
( http: / / www.21cnjy.com )G，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分
( http: / / www.21cnjy.com )别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），A（0，﹣1，0），求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角C﹣DE﹣A的正弦值．
（Ⅲ）利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．
【解答】解：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB 平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为
BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），A（0，﹣1，0），=（﹣，1，2），=（0，2，1）．
设面CDE的法向量=（x，y，z），
则，
取=（，﹣1，2），
取面ABDE的法向量=（1，0，0），
由cos＜，＞==，
故二面角C﹣DE﹣A的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量=（，﹣1，2），=（0，0，1），
则点A到平面CDE的距离d==．
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y
( http: / / www.21cnjy.com )2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．
【解答】解：（1）∵椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），
∴由题意得，
解得a=2，b=2，
∴椭圆C的方程为．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，
∴﹣2＜m＜2，
∵x0==﹣，
∴y0=x0+m=，
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，
∴（﹣）2+（）2=1，
∴m=±．
22．已知抛物线C：y2=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）直线y=2符合题意，当y≠2时，设l的方程m（y﹣2）=x﹣1，代入抛物线方程，由△=0，即可求得m的值，直线l的方程；
（Ⅱ）由=（﹣1，a﹣2），=（﹣1，b﹣2），则 =0，则ab+2a+2b+20=0，而过QR的直线的斜率为：
=，整理得4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知P（1，2），显然直线y=2符合题意；
当y≠2时，设l的方程m（y﹣2）=x﹣1，
，整理得：y2﹣4my+8m﹣4=0，
令△=（4m）2﹣4（8m﹣4）=0，解得：m=1，
∴y=x+1，
∴直线l的方程y=2或y=x+1；
（Ⅱ）证明：设Q（，a），R（，b），而P（1，2），
∴=（﹣1，a﹣2），=（﹣1，b﹣2），
由于PQ⊥PR，得向量 =0，
即为（﹣1）（﹣1）+（a﹣2）（b﹣2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过QR的直线的斜率为：
=．
∴过QR的直线方程为y﹣b=（x﹣），
整理得：4x+ab﹣（a+b）y=0，
即4x﹣（a+b）y﹣2a﹣2b﹣20=0．
化为4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．
∴直线QR必过定点（5，﹣2）．
2017年3月13日