广西桂林市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）
A．ac＞bc
B．＜
C．a2＞b2
D．a﹣c＞b﹣c
2．命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为（　　）
A．若整数a，b中有一个是偶数，则a+b是偶数
B．若整数a，b都不是偶数，则a+b不是偶数
C．若整数a，b不是偶数，则a+b都不是偶数
D．若整数a，b不是偶数，则a+b不都是偶数
3．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x
B．y=±4x
C．y=±x
D．y=±x
4．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（　　）
A．16
B．8
C．2
D．4
6．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosC=（　　）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（　　）
A．1
B．2
C．4
D．8
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a、b、c，若asinA+bsinB=2csinC，则cosC的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
11．已知数列{an}是等差数列，a1=tan，a5=13a1，设Sn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，则S2016=（　　）
A．2016
B．﹣2016
C．3024
D．﹣3024
12．已知点P为双曲线=1（a＞0，b
( http: / / www.21cnjy.com )＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=　　．
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于　　．
15．若命题“ x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是　　．
16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）
( http: / / www.21cnjy.com )的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB=bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积S=b2，求的值．
20．某工地决定建造一批房型为长方体、房高
( http: / / www.21cnjy.com )为2.5米的简易房，房的前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧墙用2.5米的高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格）．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其它材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x（米），两侧墙的长为y（米），建造一套房所需材料费为P（元），试用x，y表示P；
（2）试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
22．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且 =0，△GF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0
( http: / / www.21cnjy.com )）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
　
2016-2017学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）
A．ac＞bc
B．＜
C．a2＞b2
D．a﹣c＞b﹣c
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确．
c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a=﹣1，b=﹣2，C不正确．
故选：D．
　
2．命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为（　　）
A．若整数a，b中有一个是偶数，则a+b是偶数
B．若整数a，b都不是偶数，则a+b不是偶数
C．若整数a，b不是偶数，则a+b都不是偶数
D．若整数a，b不是偶数，则a+b不都是偶数
【考点】四种命题．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出对应的命题即可．
【解答】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为
“若a+b不是偶数，则整数a、b不都是偶数”．
故选：D．
　
3．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x
B．y=±4x
C．y=±x
D．y=±x
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，
整理，得y=．
故选：C．
　
4．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的
（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，
而“x＞|y|” “x＞y”，
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
故选：C．
　
5．已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（　　）
A．16
B．8
C．2
D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9=1+3，∴b9=2．
由等比数列{bn}的性质可得：b2b16==4，
故选：D．
　
6．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）
A．6
B．﹣6
C．4
D．﹣4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由，解得，即A（2，3）．
代入目标函数z=x﹣2y，
得z=2﹣6=﹣4
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．
故选：D．
　
7．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosC=（　　）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】根据正弦定理得出sinA：sinB：sinC=a：b：c，再利用余弦定理求出cosC的值．
【解答】解：△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，
∴a：b：c=3：2：4，
不妨设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；
∴cosC===﹣．
故选：A．
　
8．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（　　）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）
∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，
∴x0=x0+，
解得x0=1．
故选：A．
　
9．已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．
则其中真命题的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根， a∈R，可得△≥0，因此是真命题．
命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．
下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．
则其中真命题的个数为3．
故选：C．
　
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a、b、c，若asinA+bsinB=2csinC，则cosC的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，利用基本不等式即可求出答案．
【解答】解：已知等式asinA+bsinB=2csinC，利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，
cosC==≥=，
故选：C．
　
11．已知数列{an}是等差数列，a1=tan，a5=13a1，设Sn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，则S2016=（　　）
A．2016
B．﹣2016
C．3024
D．﹣3024
【考点】数列的求和．
【分析】利用等差数列的通项公式与“分组求和”方法即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=tan=1，a5=13a1，
∴a5=13=1+4d，解得d=3．
∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
∴（﹣1）2k﹣1a2k﹣1+（﹣1）2ka2k=﹣3（2k﹣1）+2+3×2k﹣2=3．
设Sn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，则S2016=3×1008=3024．
故选：C．
　
12．已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的
三角形的面积，解此等式求出λ．
【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1
=|PF1| r，S△IPF2=|PF2| r，S△IF1F2= 2c r=cr，
由题意得：
|PF1| r=|PF2| r+λcr，
故λ==，
∵|F1F2|=，
∴=
∴
∴=
故选D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=　2　．
【考点】正弦定理．
【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，
∴由正弦定理=得：AC===2．
故答案为：2
　
14．已知{an}为等差数列，a2+a8=，则S9等于　6　．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列．
【分析】由等差数列的求和公式可得：S9==，代入可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式可得：
S9====6
故答案为：6
　
15．若命题“ x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是　[﹣1，3]　．
【考点】特称命题．
【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“ x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．
【解答】解：∵“ x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，
∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，
∴△=（1﹣a）2﹣4≤0
∴﹣1≤a≤3
故答案为：[﹣1，3]．
　
16．过双曲线﹣=1（a＞0，
( http: / / www.21cnjy.com )b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为　（，2）　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】要使直线与双曲线的右支有两个交点，需
( http: / / www.21cnjy.com )使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan60°=，求得a和b的不等式关系，进而根据b=，化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围；再由当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得＞tan30°=，同样可得e的范围，最后综合可得求得e的范围．
【解答】解：当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，
需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即＜tan60°=，
即b＜a，
∵b=
∴＜a，
整理得c＜2a，
∴e=＜2；
当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，
可得＞tan30°=，
即有b＞a，
由＞a，
整理得c＞a，
∴e=＞．
综上可得＜e＜2．
故答案为：（，2）．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式得出Tn．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
则，解得．
∴an=a1+（n﹣1）d=n﹣1．
（2）由（1）可得bn=2n﹣1，∴{bn}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴Tn==2n﹣1．
　
18．已知命题p： x∈R，x2+kx+2k+5≥0；命题q： k∈R，使方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出k的范围即可；
（2）根据二次函数的性质求出p为真时的k的范围，结合p，q的真假，得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1））∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：1＜k＜，
故q：k∈（1，）；
（2）∵ x∈R，x2+kx+2k+5≥0，
∴△=k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，
故p为真时：k∈[﹣2，10]；
结合（1）q为真时：k∈（1，）；
若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
故或，
解得：﹣2≤k≤1或≤k≤10．
　
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB=bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积S=b2，求的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化
( http: / / www.21cnjy.com )简已知等式可得：
sinAcosB=sinBsinA，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由三角形面积公式可求b2=ac，进而利用余弦定理可得2ac=a2+c2，即可解得的值．
【解答】解：（1）∵acosB=bsinA．
∴由正弦定理可得：
sinAcosB=sinBsinA．
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴解得：
cosB=sinB，可得：tanB=，
∵B∈（0，π），
∴B=．
（2）∵B=，△ABC的面积S=b2=acsinB=，
∴b2=ac，
又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，可得：2ac=a2+c2，
∴（）2﹣2×+1=0，解得：
=1．
　
20．某工地决定建造一批
( http: / / www.21cnjy.com )房型为长方体、房高为2.5米的简易房，房的前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧墙用2.5米的高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格）．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其它材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x（米），两侧墙的长为y（米），建造一套房所需材料费为P（元），试用x，y表示P；
（2）试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于的不等式关系，求得的范围，以及等号成立条件求得x的值．
【解答】解：（1）依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy；
（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥+200S=200S+1200，
又因为p≤3200，所以200S+1200≤3200，
解得﹣16≤≤10，
∵S＞0，∴0＜S≤100，当且仅当，即x=时S取得最大值．
答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是米．
　
21．数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）设正项等比数列{an}的
( http: / / www.21cnjy.com )公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，
，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．b1=，解得b1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，
∴a1（1+q）=4，
，即q2=4．
解得q=2，a1=2．
∴an=2n．
正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．
∴b1=，解得b1=1．
n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，
∴bn﹣bn﹣1=2，
∴数列{bn}是等差数列，公差为2．
∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）cn=anbn=（2n﹣1） 2n，
∴数列{cn}的前n项的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1） 2n，
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3） 2n+（2n﹣1） 2n+1，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1） 2n+1=（3﹣2n） 2n+1﹣6，
∴Tn=（2n﹣3） 2n+1+6．
　
22．已知椭圆C：
+=1（a＞b
( http: / / www.21cnjy.com )＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且 =0，△GF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k
( http: / / www.21cnjy.com )＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、 =0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，
∴e=，①
∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，
∴||+||=2a，②
∵ =0，△GF1F2的面积为2，
∴||2+||2=4c2，③
，④
联立①②③④，得a2=4，b2=2，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴．
==
=，当且仅当时，取得最值．
此时l：y=．
　
2017年3月13日