河南省濮阳市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（a卷）（解析版）
文档属性
| 名称 | 河南省濮阳市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（a卷）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 280.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-13 22:07:50 | ||
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文档简介
2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．命题p： x∈R，e|x|≥1，命题q： x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题
D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
3．命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
4．等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（ ）
A．130
B．260
C．156
D．168
5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值﹣27
B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值
D．极小值﹣27，无极大值
6．已知
a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．2
7．已知f（x）=2exsinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y=0
B．y=2x
C．y=x
D．y=﹣2x
8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列{an}满足，若，则a2017=（ ）
A．
B．2
C．﹣1
D．1
11．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（ ）
A．23
B．24
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．在等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{an}的前n项和Sn= ．
14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为 ．
16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且 =0，则|+|= ．
18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．
21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若gx）=f（x）ex，求g（x）的单调区间．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若 ＜0，求实数k的取值范围．
2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．命题p： x∈R，e|x|≥1，命题q： x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题
D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题
【考点】四种命题．
【分析】根据复合命题判断A，B，D，根据极值的意义判断C，从而求出答案．
【解答】解：命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，故A正确；
命题p： x∈R，e|x|≥1，是真命题，命题q： x∈R，x2+x+1＜0是假命题，则p∨q为真命题，故B正确；
若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为假命题，
比如：y=x3中，f′（0）=0，但x=0不是y=f（x）的极值点，故C错误；
若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题，故D正确；
故选：C．
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，
=﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
3．命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为 x∈[1，2]，a≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选C
4．等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（ ）
A．130
B．260
C．156
D．168
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，
∴a7=10，
∴S13==13a7=13×10=130．
故选：A．
5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值﹣27
B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值
D．极小值﹣27，无极大值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=
( http: / / www.21cnjy.com )3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．
故选C
6．已知
a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．2
【考点】基本不等式．
【分析】是3a与3b的等比中项，可得3a 3b=，即a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3a 3b=，解得a+b=1．
则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴的最小值为4．
故选：B．
7．已知f（x）=2exsinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y=0
B．y=2x
C．y=x
D．y=﹣2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程．
【解答】解：f（x）=2exsinx的导数为f′（x）=2ex（sinx+cosx），
即有函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=2e0（sin0+cos0）=2，
切点为（0，0），
则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），
即为y=2x．
故选：B．
8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由内角和是π，据诱导公式消去C，再由两角和与差的公式变换整理，观察整理的结果判断出△ABC一定是等腰三角形．
【解答】解：∵sinC=2sin（B+C）cosB，
∴sin（A+B）=2sinAcosB，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0
∴sin（A﹣B）=0
∴A﹣B=0，即A=B
故△ABC一定是等腰三角形，
故应选B．
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．
【解答】解：由导函数图象可知，
f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，
在（﹣2，0）上单调递增，
故选A．
10．已知数列{an}满足，若，则a2017=（ ）
A．
B．2
C．﹣1
D．1
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足a1=2，an+1=1﹣（n∈N
），可得an+3=an，利用周期性即可得出．
【解答】解：由，且，
得a2=2，a3=﹣1，，…
∴an+3=an，数列的周期为3．
a2017=a672×3+1=a1=．
故选：A．
11．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【考点】双曲线的简单性质；等比数列的性质．
【分析】利用等比数列的定义即可得出m的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出．
【解答】解：∵三个数2，m，8构成一个等比数列，∴m2=2×8，解得m=±4．
①当m=4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e====；
②当m=﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e====．
故选C．
12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（ ）
A．23
B．24
C．
D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】由双曲线的离心率为，转化求解双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得=，可得，，b=4a，则b2=16（c2﹣b2），解得
双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离为：
=﹣1=．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．在等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{an}的前n项和Sn= 2n+1﹣2 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，
则q（a2+a4）=20q=40，解得q=2，∴=20，解得a1=2．
则数列{an}的前n项和Sn==2n+1﹣2．
故答案为：2n+1﹣2．
14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．
【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，可得sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC=．
当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得
( http: / / www.21cnjy.com )：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．
故答案为：．
15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为 2 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，
由得A（1，0），
当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，
z最大值是2，
故答案为：2．
16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线y2=3x的准线方程为：x=﹣，抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，
可得点M到该抛物线焦点的距离为：1+=．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且 =0，则|+|= ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先求出F1，F2的坐标、焦点坐标，
( http: / / www.21cnjy.com )由两个向量的数量积等于0得，PF1⊥PF2，勾股定理成立，可求|pF1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值．
【解答】解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），
∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，
所求式子是个非负数，所求式子的平方为：
∴|pF1|2+|PF2|2﹣2
=40﹣0=40，
则=2，
故答案为2．
18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；
（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．
【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，
q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m
（1）∵p是q的充分不必要条件，
∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．
∴
∴m≥．
∴实数m的取值范围为m≥．
（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．∴，
∴1≤m≤．
∴实数m的取值范围为1≤m≤．
19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求B的值．
（2）由已知利用同角三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数基本关系式可求sinA，cosA，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，
∴，
又∵B是三角形的内角，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．
【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【分析】（I）利用成等差数列的三个正数
( http: / / www.21cnjy.com )的和等于15可设三个数分别为5﹣d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式
（II）根据（I）及等比数列的前
n项和公式可求Sn，要证数列{Sn+}是等比数列 即可．
【解答】解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d
依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5
所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d
依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）
故{bn}的第3项为5，公比为2
由b3=b1 22，即5=4b1，解得
所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为
（II）数列{bn}的前和
即，所以，
因此{}是以为首项，公比为2的等比数列
21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若gx）=f（x）ex，求g（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；
（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，
∴f′（﹣）=0，
∴3a +2 （﹣）=0，
∴a=；
（2）由（2）得g（x）=（x3+x2）ex，
∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若 ＜0，求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意知，解出即可得出椭圆的标准方程．
（II）直线方程与椭圆方程联立可得
( http: / / www.21cnjy.com )：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，
∴椭圆的标准方程为：．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，（
）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，
∴x1=﹣2，y1=0①，由（
）式，，②
可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，③
由①②③，，，
∵，
∴．
即，
整理得20k2+4k﹣3＜0．
解得：．
2017年3月13日
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．命题p： x∈R，e|x|≥1，命题q： x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题
D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
3．命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
4．等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（ ）
A．130
B．260
C．156
D．168
5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值﹣27
B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值
D．极小值﹣27，无极大值
6．已知
a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．2
7．已知f（x）=2exsinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y=0
B．y=2x
C．y=x
D．y=﹣2x
8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列{an}满足，若，则a2017=（ ）
A．
B．2
C．﹣1
D．1
11．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（ ）
A．23
B．24
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．在等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{an}的前n项和Sn= ．
14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为 ．
16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且 =0，则|+|= ．
18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．
21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若gx）=f（x）ex，求g（x）的单调区间．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若 ＜0，求实数k的取值范围．
2016-2017学年河南省濮阳市高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题
B．命题p： x∈R，e|x|≥1，命题q： x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为真命题
D．若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题
【考点】四种命题．
【分析】根据复合命题判断A，B，D，根据极值的意义判断C，从而求出答案．
【解答】解：命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，故A正确；
命题p： x∈R，e|x|≥1，是真命题，命题q： x∈R，x2+x+1＜0是假命题，则p∨q为真命题，故B正确；
若x为y=f（x）的极值点，则f′（x）=0”的逆命题为假命题，
比如：y=x3中，f′（0）=0，但x=0不是y=f（x）的极值点，故C错误；
若“p且q”为真命题，则p、q均为真命题，故D正确；
故选：C．
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，
=﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
3．命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为 x∈[1，2]，a≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“ x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选C
4．等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，则S13的值为（ ）
A．130
B．260
C．156
D．168
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a9﹣a7=10，
∴a7=10，
∴S13==13a7=13×10=130．
故选：A．
5．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值﹣27
B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值
D．极小值﹣27，无极大值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=
( http: / / www.21cnjy.com )3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．
故选C
6．已知
a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．2
【考点】基本不等式．
【分析】是3a与3b的等比中项，可得3a 3b=，即a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3a 3b=，解得a+b=1．
则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴的最小值为4．
故选：B．
7．已知f（x）=2exsinx，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y=0
B．y=2x
C．y=x
D．y=﹣2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程．
【解答】解：f（x）=2exsinx的导数为f′（x）=2ex（sinx+cosx），
即有函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=2e0（sin0+cos0）=2，
切点为（0，0），
则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），
即为y=2x．
故选：B．
8．在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由内角和是π，据诱导公式消去C，再由两角和与差的公式变换整理，观察整理的结果判断出△ABC一定是等腰三角形．
【解答】解：∵sinC=2sin（B+C）cosB，
∴sin（A+B）=2sinAcosB，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0
∴sin（A﹣B）=0
∴A﹣B=0，即A=B
故△ABC一定是等腰三角形，
故应选B．
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．
【解答】解：由导函数图象可知，
f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，
在（﹣2，0）上单调递增，
故选A．
10．已知数列{an}满足，若，则a2017=（ ）
A．
B．2
C．﹣1
D．1
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足a1=2，an+1=1﹣（n∈N
），可得an+3=an，利用周期性即可得出．
【解答】解：由，且，
得a2=2，a3=﹣1，，…
∴an+3=an，数列的周期为3．
a2017=a672×3+1=a1=．
故选：A．
11．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【考点】双曲线的简单性质；等比数列的性质．
【分析】利用等比数列的定义即可得出m的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出．
【解答】解：∵三个数2，m，8构成一个等比数列，∴m2=2×8，解得m=±4．
①当m=4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e====；
②当m=﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e====．
故选C．
12．已知双曲线的离心率为，则圆（x﹣6）2+y2=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（ ）
A．23
B．24
C．
D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】由双曲线的离心率为，转化求解双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得=，可得，，b=4a，则b2=16（c2﹣b2），解得
双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵双曲线的一条渐近线到圆（x﹣6）2+y2=1上的点的最短距离为：
=﹣1=．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．在等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{an}的前n项和Sn= 2n+1﹣2 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，
则q（a2+a4）=20q=40，解得q=2，∴=20，解得a1=2．
则数列{an}的前n项和Sn==2n+1﹣2．
故答案为：2n+1﹣2．
14．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．
【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，可得sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC=．
当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得
( http: / / www.21cnjy.com )：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．
故答案为：．
15．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为 2 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，
由得A（1，0），
当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，
z最大值是2，
故答案为：2．
16．抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，则点M到该抛物线焦点的距离为 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线y2=3x的准线方程为：x=﹣，抛物线y2=3x上的一点M到y轴距离为1，
可得点M到该抛物线焦点的距离为：1+=．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P在双曲线上，且 =0，则|+|= ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先求出F1，F2的坐标、焦点坐标，
( http: / / www.21cnjy.com )由两个向量的数量积等于0得，PF1⊥PF2，勾股定理成立，可求|pF1|2+|PF2|2，计算所求式子的平方，可得所求式子的值．
【解答】解：由题意知，a=1，b=3，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），
∵P在双曲线上，且，∴PF1⊥PF2，∴|pF1|2+|PF2|2=（2c）2=40，
所求式子是个非负数，所求式子的平方为：
∴|pF1|2+|PF2|2﹣2
=40﹣0=40，
则=2，
故答案为2．
18．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；
（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．
【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，
q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m
（1）∵p是q的充分不必要条件，
∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．
∴
∴m≥．
∴实数m的取值范围为m≥．
（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．∴，
∴1≤m≤．
∴实数m的取值范围为1≤m≤．
19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a2+c2﹣b2=ac．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求B的值．
（2）由已知利用同角三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数基本关系式可求sinA，cosA，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2=ac，
∴，
又∵B是三角形的内角，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列．
【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【分析】（I）利用成等差数列的三个正数
( http: / / www.21cnjy.com )的和等于15可设三个数分别为5﹣d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式
（II）根据（I）及等比数列的前
n项和公式可求Sn，要证数列{Sn+}是等比数列 即可．
【解答】解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d
依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5
所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d
依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）
故{bn}的第3项为5，公比为2
由b3=b1 22，即5=4b1，解得
所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为
（II）数列{bn}的前和
即，所以，
因此{}是以为首项，公比为2的等比数列
21．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若gx）=f（x）ex，求g（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；
（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，
∴f′（﹣）=0，
∴3a +2 （﹣）=0，
∴a=；
（2）由（2）得g（x）=（x3+x2）ex，
∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，﹣1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若 ＜0，求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意知，解出即可得出椭圆的标准方程．
（II）直线方程与椭圆方程联立可得
( http: / / www.21cnjy.com )：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，
∴椭圆的标准方程为：．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，（
）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，
∴x1=﹣2，y1=0①，由（
）式，，②
可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，③
由①②③，，，
∵，
∴．
即，
整理得20k2+4k﹣3＜0．
解得：．
2017年3月13日