江苏省镇江市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．函数f（x）=3sin2x的最小正周期是　　．
2．求值：cos2﹣sin2=　　．
3．比较大小：sin　　cos（用“＜”或“＞”连接）．
4．已知扇形的半径是8cm，圆心角是45°的扇形所对的弧长是　　cm．
5．在平面直角坐标系中，240°角的终边与单位圆的交点坐标是　　．
6．设x∈[，]，则函数f（x）=sinx﹣cosx的值域是　　．
7．设函数f（x）=|lnx|，a，b是互不相等的两个实数，f（a）=f（b），则ab=　　．
8．函数y=ax﹣4+1图象恒过定点P，且P在幂函数y=f（x）图象上，则f（16）=　　．
9．函数f（x）=2sin（x﹣）在[0，2π]内的递减区间是　　．
10．若函数f（x）=是奇函数，则实数a=　　．
11．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＜2的解集是　　．
12．求值：
=　　．
13．方程2sinπx﹣lgx2=0实数解的个数是　　．
14．设定义在[﹣π，π]上的函数f（x）=cosx﹣4x2，则不等式f（lnx）+π2＞0的解集是　　．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知实数a为常数，U=R，设集合A={x|＞0}，B={x|y=}，C={x|x2﹣（4+a）x+4a≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若 UA C，求a的取值范围．
16．已知sin（π﹣α）﹣2sin（+α）=0．
（1）求sinαcosα+sin2α的值．
（2）若tan（α+β）=﹣1，求tanβ的值．
17．设θ∈（0，），且cos（θ+）=．
（1）求sinθ的值；
（2）求sin（2θ+）的值．
18．已知实数a为常数，函数f（x）=a 4x﹣2x+1．
（1）已知a=，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数y=f（x）在（0，1）内有唯一零点，求实数a的范围；
（3）若函数f（x）是减函数，求证：a≤0．
19．某养殖场原有一块直角梯形的水域AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD，其中BC，AD与边AB垂直，AD=800m，AB=2BC=600m．为满足钓鱼爱好者需要，计划修建两道互相垂直的水上栈道MF与ME，点M，E，F都在岸边上，其中M为AB的中点，点E在岸边BC上，设∠EMB=θrad，水上栈道MF与ME的长度和记为f（θ）（单位：m）．
（1）写出f（θ）关于θ的函数关系式，并指出tanθ的范围；
（2）求f（θ）的最小值，并求出此时θ的值．
20．设常数θ∈（0，），函数f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1，且对任意实数x，f（x）=f（﹣x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；
（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）＞2a f（）﹣13f（）恒成立，求实数a的范围．
　
2016-2017学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．函数f（x）=3sin2x的最小正周期是　π　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期．
【解答】解：函数f（x）=3sin2x的最小正周期是
T==π．
故答案为：π．
　
2．求值：cos2﹣sin2=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接根据余弦的二倍角公式可得答案．
【解答】解：由cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=
故答案为．
　
3．比较大小：sin　＜　cos（用“＜”或“＞”连接）．
【考点】三角函数线．
【分析】cos=sin，利用正弦函数单调性比较即可．
【解答】解：cos=sin，
∵y=sinx在（0，）上是增函数，
∴sin＜sin．
即sin＜．
故答案为＜．
　
4．已知扇形的半径是8cm，圆心角是45°的扇形所对的弧长是　2π　cm．
【考点】弧长公式．
【分析】先把圆心角化为弧度数，代入扇形的弧长公式：l=α r
求出弧长．
【解答】解：圆心角为45°即，由扇形的弧长公式得：弧长l=α r= 8=2πcm，
故答案为：2π．
　
5．在平面直角坐标系中，240°角的终边与单位圆的交点坐标是　（﹣，﹣）　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】根据角240°的终边与单位圆的交点
( http: / / www.21cnjy.com )的横坐标是cos240°、角240°的终边与单位圆的交点的纵坐标是sin240°，即可求出角240°的终边与单位圆的交点的坐标．
【解答】解：由于角240°的终边与单位圆的交点的横坐标是cos240°=﹣，
由于角240°的终边与单位圆的交点的纵坐标是sin240°=﹣，
∴角240°的终边与单位圆的交点的坐标是（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
　
6．设x∈[，]，则函数f（x）=sinx﹣cosx的值域是　[0，]　．
【考点】三角函数的最值．
【分析】先根据两角和公式对函数解析式进行化简，再根据正弦函数的性质得出答案．
【解答】解：y=sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=（sinxcos﹣cosxsin）=sin（x﹣），
∵x∈[，]，
∴x﹣∈[，π]，
∴sin（x﹣）∈[0，1]，
∴sin（x﹣）∈[0，]，即函数的值域为[0，]，
故答案为：[0，]．
　
7．设函数f（x）=|lnx|，a，b是互不相等的两个实数，f（a）=f（b），则ab=　1　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，结合对数的运算性质，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=|lgx|，
若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），
则1ga=﹣lgb，
即lga+lgb=lg（ab）=0，
∴ab=1，
故答案为：1
　
8．函数y=ax﹣4+1图象恒过定点P，且P在幂函数y=f（x）图象上，则f（16）=　4　．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】设幂函数f（x）=xα（α是常数）
( http: / / www.21cnjy.com )，由a0=1求出y=ax﹣4+1的图象恒过定点P的坐标，代入函数f（x）的解析式求出α的值，再求出f（16）的值．
【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α是常数），
由x﹣4=0得x=4，则y=2，
所以函数y=ax﹣4+1图象恒过定点P（4，2），
由题意得，2=4α，解得，
则f（x）=，所以f（16）=4，
故答案为：4．
　
9．函数f（x）=2sin（x﹣）在[0，2π]内的递减区间是　[，]　．
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】利用正弦函数的单调性，求得数f（x）=2sin（x﹣）在[0，2π]内的递减区间．
【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x﹣），令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，
可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
再结合x∈[0，2π]，可得函数在[0，2π]内的递减区间是[，]，
故答案为：[，]．
　
10．若函数f（x）=是奇函数，则实数a=　1　．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，可得a的值．
【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，
∴（﹣x﹣a）（﹣x+1）=（x﹣a）（x+1），
∴a=1，
故答案为1．
　
11．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＜2的解集是　（﹣1，1）　．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据函数的解析式对
( http: / / www.21cnjy.com )x分类讨论，分别由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出对应的解集，最后再求出并集，即可得到不等式f（x）＜2的解集．
【解答】解：由题意知，f（x）=，
①当x＞0时，不等式f（x）＜2为2x＜2，
解得x＜1，即0＜x＜1；
②当x≤0时，不等式f（x）＜2为x2+1＜2，
解得﹣1＜x＜1，即﹣1＜x≤0，
综上，不等式的解集是（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
　
12．求值：
=　1　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】将cos27°拆成cos（45°﹣18°）打开利用和差公式可得答案．
【解答】解：由===
故答案为1．
　
13．方程2sinπx﹣lgx2=0实数解的个数是　20　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】方程2sinπx﹣lgx2=0
( http: / / www.21cnjy.com )，可化为方程sinπx﹣lg|x|=0，即求y=sinπx与y=lg|x|交点的个数，利用图象，可得结论．
【解答】解：方程2sinπx﹣lgx2=0，可化为方程sinπx﹣lg|x|=0，即求y=sinπx与y=lg|x|交点的个数，
大致图象，如图所示
由图象可得，交点个数为20，
故答案为20．
　
14．设定义在[﹣π，π]上的函数f（x）=cosx﹣4x2，则不等式f（lnx）+π2＞0的解集是　（0，）∪（，+∞）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数f（x）的单调性求出f（lnx）＞﹣π2=f（），得到关于lnx的不等式，解出即可．
【解答】解：f′（x）=﹣sinx﹣8x，f″（x）=﹣cosx﹣8＜0，
故f′（x）在[﹣π，π]递减，
而f′（0）=0，
故x∈[﹣π，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，π]时，f′（x）＜0，
故f（x）在[﹣π，0）递增，在（0，π]递减，
而f（x）=f（﹣x），f（x）在[﹣π，π]是偶函数，
f（）=f（﹣）=﹣π2，
不等式f（lnx）+π2＞0，
即f（lnx）＞﹣π2=f（），
故lnx＞||，故lnx＜﹣，或lnx＞，
解得：0＜x＜或x＞，
故答案为：（0，）∪（，+∞）．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知实数a为常数，U=R，设集合A={x|＞0}，B={x|y=}，C={x|x2﹣（4+a）x+4a≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若 UA C，求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）求出集合A、B，再根据交集的定义写出A∩B；
（2）由补集与子集的定义，列出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）集合A={x|＞0}={x|x＜﹣1x＞3}，
B={x|y=}={x|log2x﹣1≥0}={x|x≥2}，
∴A∩B={x|x＞3}；
（2）又 UA={x|﹣1≤x≤3}，
C={x|x2﹣（4+a）x+4a≤0}={x|（x﹣4）（x﹣a）≤0}，
若 UA C，则，
∴a的取值范围是a≤﹣1．
　
16．已知sin（π﹣α）﹣2sin（+α）=0．
（1）求sinαcosα+sin2α的值．
（2）若tan（α+β）=﹣1，求tanβ的值．
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα=2，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
（2）由tanα=2，利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵sin（π﹣α）﹣2sin（+α）=0，
∴sinα﹣2cosα=0，可得：tanα=2，
∴sinαcosα+sin2α====．
（2）∵tanα=2，
可得：tan（α+β）===﹣1，
∴解得：tanβ=3．
　
17．设θ∈（0，），且cos（θ+）=．
（1）求sinθ的值；
（2）求sin（2θ+）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）由已知利用同角三角函
( http: / / www.21cnjy.com )数基本关系式可求sin（θ+），将θ变形为（θ+）﹣，将θ+看作整体，利用两角差的正弦函数公式计算即可．
（2）由（1）可求cosθ，利用两角和的正弦函数公式即可计算求值得解．
【解答】解：（1）∵θ∈（0，），且cos（θ+）=．
∴θ+∈（，），sin（θ+）==，
∴sinθ=sin[（θ+）﹣]=sin（θ+）cos﹣cos（θ+）sin=×﹣=．
（2）由（1）可得：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin=+=，
可得：sin（2θ+）=sin[（θ+）+θ]=sin（θ+）cosθ+cos（θ+）sinθ=×+=．
　
18．已知实数a为常数，函数f（x）=a 4x﹣2x+1．
（1）已知a=，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数y=f（x）在（0，1）内有唯一零点，求实数a的范围；
（3）若函数f（x）是减函数，求证：a≤0．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】（1）将a代入，对函数配方，利用二次函数求值域；
（2）换元，设2x=t，t∈（1，2），则f（t）有唯一零点，利用零点存在定理得到f（1）f（2）＜0即求；
（3）利用复合函数的单调性得到f（t）=at2﹣t+1，（t＞0）为减函数，对a进行讨论得到a的范围．
【解答】解：实数a为常数，函数f（x）=a 4x﹣2x+1．
（1）a=，函数f（x）= 4x﹣2x+1=，所以其值域为[）；
（2）如果函数y=f（x）在（0，
( http: / / www.21cnjy.com )1）内有唯一零点，设2x=t，t∈（1，2），则f（t）有唯一零点，所以f（1）f（2）＜0即a（4a﹣1）＜0解得0＜a＜；
（3）证明：若函数f（x）是减函数，则f（t
( http: / / www.21cnjy.com )）=at2﹣t+1，（t＞0）为减函数，a=0，f（t）=﹣t+1为减函数，满足题意；a＞0，二次函数开口向上，不满足题意；a＜0，对称轴小于0，满足题意；综上a≤0．
　
19．某养殖场原有一块直角
( http: / / www.21cnjy.com )梯形的水域ABCD，其中BC，AD与边AB垂直，AD=800m，AB=2BC=600m．为满足钓鱼爱好者需要，计划修建两道互相垂直的水上栈道MF与ME，点M，E，F都在岸边上，其中M为AB的中点，点E在岸边BC上，设∠EMB=θrad，水上栈道MF与ME的长度和记为f（θ）（单位：m）．
（1）写出f（θ）关于θ的函数关系式，并指出tanθ的范围；
（2）求f（θ）的最小值，并求出此时θ的值．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】（1）由E在BC上，∠EMB=θ，得出0＜θ≤45°；
利用直角三角形的边角关系求出ME、MF，写出f（θ）=ME+MF；
（2）求出f（θ）的导数，利用f′（θ）=0求出f（θ）的最小值以及对应的θ值．
【解答】解：（1）梯形ABCD中，BC⊥AB，AD∥BC，AD=800m，AB=2BC=600m；
MF⊥ME，且M为AB的中点，点E在BC上，设∠EMB=θ，则0＜θ≤45°；
∴ME==，
MF==，
∴f（θ）=+，其中0°＜θ≤45°，
∴0＜tanθ≤1；
（2）由f（θ）=+，
得f′（θ）=300（﹣）=300 ，
令f′（θ）=0，解得sinθ=cosθ，
∴θ=45°，且0°＜θ＜45°时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
∴θ=45°时，f（θ）=+=600，为最小值．
　
20．设常数θ∈（0，），函数f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1，且对任意实数x，f（x）=f（﹣x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；
（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）＞2a f（）﹣13f（）恒成立，求实数a的范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用倍角公式降幂，结合f（x）=f（﹣x）恒成立求得cos2θ=0，从而求得θ值；
（2）把θ值代入即可求得f（x）关于sinx的关系式；
（3）把f（x）＞2a
( http: / / www.21cnjy.com )f（）﹣13f（）转化为cos2x﹣acosx+3＞0．令cosx=t（﹣1＜t＜1），则t2﹣at+3＞0在t∈（﹣1，1）上恒成立，再转化为关于a的不等式组求解．
【解答】解：（1）f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1=cos（2θ﹣3x），
则f（）=cos（2θ﹣π+3x）=﹣cos（2θ+3x）．
由f（x）=f（﹣x），得cos（2θ﹣3x）=﹣cos（2θ+3x），
即cos（2θ﹣3x）+cos（2θ+3x）=0，
∴2cos2θcos3x=0，则cos2θ=0，
∵θ∈（0，），∴θ=；
（2）f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1=cos（2θ﹣3x）=cos（）=sin3x=3sinx﹣4sin3x；
（3）由f（x）＞2a f（）﹣13f（），得sin3x＞2asin2x﹣13sinx，
∴3sinx﹣4sin3x＞4asinxcosx﹣13sinx，即cos2x﹣acosx+3＞0．
令cosx=t（﹣1＜t＜1），则t2﹣at+3＞0在t∈（﹣1，1）上恒成立．
∴△=a2﹣12＜0或或．
解得：﹣4≤a≤4．
　
2017年3月13日