17.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习

沪科版八年级下册数学17.4一元二次方程的根与系数同步练习
一、选择题(本大题共6小题)
1. 若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（　　）
A．﹣4 B．3 C． D．
2. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
3. 小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
4. 设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
5. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
6. 定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
二、填空题(本大题共4小题)
7. 设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=　 　．
8. 设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=　 　．
9. 设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为　　．
10. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　　．
11. 设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= 　．
三、计算题(本大题共4小题)
12. 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。
13. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
15. 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
参考答案：
一、选择题(本大题共6小题)
1. D
分析：由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=”，由此即可得出结论．
解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=
故选D．
2. D
分析：由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1?x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=2，x1?x2==﹣1．
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
故选D．
3. 小B
分析：利用根与系数的关系分别建立等式解答即可。
解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，
那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选：B．
4. D
分析：根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ==，
故选D．
5. D
分析：根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．
解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+===﹣2=﹣2=﹣5．
故选D．
6. A
分析：由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，ab=m．
∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选A．
二、填空题(本大题共6小题)
7.分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
8.分析：利用根与系数之间的关系得到x1+x2和x1?x2再把x2+5x﹣3=0变形整体代入即可得到答案。
解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1?x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10．
9.分析：根据根与系数的关系得到x1+x2、x1?x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
∴+===﹣．
故答案为：﹣．
10.分析：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
11. 分析：由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，
∴x22﹣3x2=1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，
故答案为3．
三、计算题(本大题共4小题)
12.分析：根据S△ABC=3，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可．
解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，
∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，
∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，
故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．
13. 解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（-2）2-4（m-1）≥0，
整理得：4-4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1?x2=m-1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2-2x1?x2=6x1?x2，
即4=8（m-1），
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
14. 分析：（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
15. 分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1?x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1?x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．