湖南省益阳市箴言中学2016-2017学年高二下学期3月月考数学（理）试卷

益阳市箴言中学2017年上学期高二3月月考
理科数学试题
（考试时间120分钟
满分150分）
第I卷
（选择题
共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.
在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）
1.因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是
（
）
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
2.对“a、b、c至少有一个是正数”的反设是
（
）
A．a、b、c至少有一个是负数
B.
a、b、c至少有一个是非正数
C．a、b、c都是非正数
D.
a、b、c都是正数
3.已知复数Z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上，
则m=
(
)
A.-5
B.-3
C.3
D.5
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是
（　　
）
A．1
B．
C．
D．
5.若，则
（　
　）
A．9
B．10
C．
D．
6.
已知变量x，y满足约束条件，则y－2x的取值范围是
（
）
A．1－，4]
B．1－，1]
C．11，4]
D．1－1，1]
7.
已知椭圆＝1的离心率e＝，则m＝
（
）
A．3
B．3或
C．
D．或
8.
下列命题中，假命题是
（
）
A．若a，b∈R且a＋b＝1，则a·b≤
B．若a，b∈R，则≥≥ab恒成立
C．
(x∈R)
的最小值是2
D．
x0，y0∈R，x02＋y02＋x0y0<0
9．已知等差数列的前n项和为,取最小值时n的值为(
)
A．6
B.
7
C．8
D．9
10.
某同学在研究函数＝＋的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为＝＋，则表示（如图），
①的图象是中心对称图形；
②的图象是轴对称图形；
③函数的值域为1，＋∞）；
④方程有两个解．上述关于函数的描述正确的是（
）
A.
①③
B.
③④
C.
②③
D.
②④
第II卷
（非选择题
共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.在的二项展开式中，第4项的系数为．
12.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到
(单位：)处,则力做的功为
焦.
13.
某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有
(用数字作答)
14．已知函数f(x)=x3－3x－1，若直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点，则m的取值范围是
.
15．如下图所示，对大于或等于2的自然数M的n次幂进行如下方式的“分裂”：
依次类推，20143“分裂”中最大的数是
.
三、解答题
（本大题共6小题，共75分.
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
16.（本小题满分12分）在△ABC中，已知AC＝3，三个内角A，B，C成等差数列.
（1）若cosC＝，求AB；
（2）求△ABC的面积的最大值.
17.（本小题满分12分）已知四棱锥的底面是等腰梯形，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18.（本小题满分12分）已知二次函数，若对任意的都有恒成立，求的范围
19.(本题满分12分)数列中，，其前n项和满足，
(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。
20.（本小题满分13分）已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.
21.
（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；
（Ⅲ）试证明：
理科数学答案
一、选择题
(本大题共10小题每小题5分，共50分)
ACADD
ABDAC
填空题
(本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.
-40
12.
36
13.
60
14．（－3,1）
15．4058209
三、解答题
(本大题共六道题，共75分）
16．（本小题满分12分)
解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝，∴B＝，
由cosC＝，求得sinC＝，由正弦定理得：，∴AB＝2.
（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：，
∴≥2ac，∴ac≤9，∴＝ac·sinB≤，
∴△ABC面积的最大值为.
17
（本小题满分12分）
（Ⅰ）分别是的中点.
由已知可知
又
（Ⅱ）以所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设，，
得
设平面的法向量为
可，
平面的法向量为
由图形可知，二面角的余弦值为
18、（本小题满分12分）
解：法一：根据题意，得
解得。
法二：若对任意的有恒成立，则对任意的恒成立，当时，，当时恒成立，令，，令得：，易知
，故，
19.（本小题满分12分）
20.解析：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为,右焦点,
由题设,得,故;故椭圆的方程为………5分
(Ⅱ)如右图所示,设,的中点为,
则由可知,
即,
可化为,且……①
…………………………8分
又由得
则得……②
且,得……③………………………………………………10分
③式代入①式得,,
化简得,得,又代入②式得,,解得,
综上可得,即为所求...…………………………………………………………13分
21.
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题
故在区间上是减函数
（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，
再取则
故在上单调递增，
而，
故在上存在唯一实数根，
故时，时，
故故
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又
即：
(第17题图)
x
N
M
y
O
A
x
N
M
y
P
O