高中数学（人教）必修4：第一章《 三角函数》单元检测试卷A

高中数学（人教）必修4：第一章《
三角函数》单元检测试卷A
(测试时间：120分钟　评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin
120°的值是(
)
A.　　　　　B．－
C.　　
　D．－
2．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的角θ的值是(
)
A．－
B．－
C.
D.
3．若sin
α＞0且tan
α＜0，则α是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．集合M＝中的元素有(
)
A．无数个
B．4个
C．3个
D．2个
5．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，取得最大值，那么(
)
A．T＝2，θ＝
B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π
D．T＝1，θ＝
6．已知cos＝，且α∈，则tan
α＝(
)
A.
B.
C．－
D．±
7．若＝2，则tan
α的值为(
)
A．1
B．－1
C.
D．－
8．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为(
)
A．2
B.
C．1
D.
9．使sin
x≤cos
x成立的x的一个区间是(
)
A.
B.
C.
D．[0，π]
10．为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin
2x的图象上所有的点(
)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
11．设函数y＝sin(2x－1)的最小正周期为T，最大值为A，则(
)
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
12．(2015·全国高考大纲)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(
)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知α为锐角，且cos＝，则sin
α＝________．
14．已知角α的终边上一点P与点A(－3，2)关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点对称，那么sin
α＋sin
β的值等于________．
15．函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，则θ＝________________________．
16．已知函数y＝cos
x与函数y＝sin(2x＋α)(0≤α＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知α∈，sin
α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
18．(本小题满分12分)已知sin
θ－cos
θ＝.
(1)求sin
θ·cos
θ的值；
(2)当0<θ<π时，求tan
θ的值．
19．(本小题满分12分)已知函数y＝2acos＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a、b的值．
20．(本小题满分12分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如下图所示，
(1)求函数f1(x)的解析式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求此时自变量x的集合．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
22．(本小题满分10分)2013年的元旦，N市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N市在2013年的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的表达式；
(2)若元旦当天M市的气温变化曲线也近似地满足函数y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N市迟了4小时．
①求早上7时，N市与M市的两地温差；
②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2013年元旦当日，N市与M市温度相近的时长．
参考答案
一、1．A
2．A
解析：－π＝－2π－π，故选A.
3．B
解析：∵sin
α＞0，∴α为第一象限角或第二象限角或终边落在y轴非负半轴上，又∵tan
α＜0，∴α为第二象限角或第四象限角，∴α为第二象限角．故选B.
4．C
5．A
解析：∵T＝＝2，f(x)＝sin(πx＋θ)，
∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝1，θ＝.故选A.
6．B
解析：cos＝－sin
α＝，sin
α＝－，
∵α∈，∴cos
α＝－，∴tan
α＝.故选B.
7．A
8．A
解析：由已知扇形所在圆的半径R＝＝6，设该扇形内切圆半径为r，则6－r＝2r，∴r＝2，故选A.
9．A
10．A解析：y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以只需把y＝sin
2x的图象上所有的点向左平移个单位，选A.
11．A
12．D
二、13．答案：
解析：∵α为锐角，∴sin＝.∴sin
α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
14．答案：0
解析：点P的坐标为(3，2)，点Q的坐标为(3，－2)，∴sin
α＝＝，sin
β＝＝.
∴sin
α＋sin
β＝0.
15．答案：＋(k∈Z)
解析：函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，即f(x)在x＝0时取得最大值或最小值．由已知得，f(0)＝3sin
5θ＝±3，即sin
5θ＝±1，所以5θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝＋(k∈Z)．
16．答案：
解析：由题意cos＝sin，即sin＝，＋φ＝kπ＋(－1)k，(k∈z)，因为0≤φ＜π，所以φ＝.
三、17．解析：(1)要求sin的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得cos
α，由于已知α∈，所以cos
α＜0，利用同角关系可得；
(2)要求cos，由两角差的余弦公式我们知要先求得sin
2α，cos
2α，而这由二倍角公式结合(1)可很容易得到本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确．
试题解析：(1)由题意cos
α＝
－＝－，
所以sin＝sincos
α＋cossin
α＝×＋×＝－.
(2)由(1)得sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，cos
2α＝2cos2
α－1＝，
所以cos＝coscos
2α＋sinsin
2α＝－×＋×＝－.
18．解析：(1)(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝＝ sin
θcos
θ＝.
(2)因为0<θ<π且sin
θcos
θ>0，所以
0<θ<.
由

得tan
θ＝＝.
19．解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤cos≤1.
当a>0时，－a＋b≤2acos＋b≤2a＋b.
由已知得，∴
当a<0时，2a＋b≤2acos＋b≤－a＋b.由已知得，
∴
20．解析：(1)由图象可知，A＝2，＝－＝，∴ω＝＝2.
又∵图象过点，∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)．
又∵|φ|<，∴φ＝.∴f1(x)＝2sin.
(2)∵将函数f1(x)＝2sin的图象向右平移个单位，得到函数f2(x)＝2sin＝2sin的图象．
∵函数f2(x)＝2sin的定义域是R，∴函数f2(x)＝2sin的最大值是2，
此时2x－＝＋2kπ，
x＝＋kπ(k∈Z)，∴当函数f2(x)＝2sin的最大值是2时，自变量x的集合是.
21．解析：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对，∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z时，y单调递增．
即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z时，y单调递增．
所以函数y＝sin的单调增区间为，k∈Z.
22．解析：由已知可得：b＝5，A＝4，T＝24 ω＝.
又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2kπ－，又|φ|≤π φ＝－π.
则所求的函数表达式为y＝4sin＋5.
(2)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数y1＝4sin＋5，y－y1＝4
＝4
＝4sin.
①当x＝7时，y－y1＝4sin＝2.
②由|y－y1|≤2 －2≤4sin≤2 2≤x≤6或14≤x≤18.
则2013年元旦当日，N市与M市温度相近的时长为8小时．
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