第十章三角形的有关证明 单元测试含答案

第十章
三角形的有关证明
单元测试
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6
cm和8
cm，那么这个直角三角形的斜边长为（　　）
A.
6
cm　　　　
B.
8
cm　　　　
C.
10
cm　　　　
D.
24
cm
2.如图1，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（
　
）
3.如图2，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（　　）
A.
40°　　　　　B.
45°
C.
60°
　D.
70°
4.如图3，在△ABC中，AC＝4
cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7
cm，则BC的长为（　　）
A.
1
cm　　　　　B.
2
cm
C.
3
cm　　　　　　
D.
4
cm
5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8
m处，发现此时绳子末端距离地面2
m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（　　）
A.
12
m
B.
13
m
C.
16
m
D.
17
m
6.下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　）
A.
若a＝b，则a2＝b2
B.
同位角相等
C.
两边和一角对应相等的两个三角形全等
D.
等腰三角形两底角不相等
7.如图5，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（　　）
A.　　　　　　　B.
1
C.
　　　　D.
2
8.如图6，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为（　　）
A.
10　　　　　
　
B.
7
C.
5　　　　　　　
D.
4
9.如图7，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）
　A.
18
B.
3
C.
12
D.
2
10.如图8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A.
4.8
B.
4.8或3.8
C.
3.8
　　
D.
5
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
12.若一个三角形的三边长分别为3
m，4
m，5
m，那么这个三角形的面积为＿＿＿.
13.如图9，点D，C，A在同一条直线上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE的度数为＿＿＿.
14.如图10，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝＿＿＿.
15.如图11，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿＿＿＿个真命题．
16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝
4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿＿＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
17.如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是＿＿＿.
18.如图14，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……依次画下去，直到得到第n条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n＝＿＿.
三、解答题（共58分）
19.（6分）如图15，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E，那么△ACE是等腰三角形吗？请证明你的结论.
20.（8分）如图16，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.
21.（8分）如图17，在△ABC中，AB=AC=10
cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，求CD的长．
22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”
.图18所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
23.（12分）如图19，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.
24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.
如图20，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC.
思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿＿＿，且CE＝CD，可知＿＿＿；
（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；
（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿.
请写出完整的证明过程.
附加题（15分，不计入总分）
25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.
（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；
（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.
参考答案
一、1.
C
2.
D
3.
A
4.
C
5.
D
6.
C
7.
B
8.
C
9.
D
10.
A
二、11.
面积相等的三角形全等
12.
6
m2
13.
20°
14.
2
15.
2
16.
2.9
17.
4∶3
18.
9
三、19.
解：△ACE是等腰三角形．
证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．
因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.
所以AE=AC，即△ACE是等腰三角形．
20.
解：因为DE是AC的垂直平分线，所以CD＝AD.所以AB＝BD+AD＝BD+CD.
设CD＝x，则BD＝5－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得
CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+(5－x)2，解得x＝3.4.故CD的长为3.4.
21.
解：在△ABC中，因为AB=AC=10
cm，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.
所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．
因为CD是AB边上的高，所以∠D=90°.
所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5
cm．
22.
证明：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD.
所以∠ABD＝∠CBD.所以BD平分∠ABC.
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以OE＝OF.
23.
证明：（1）过点O作OM⊥AB于点M.
因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.
又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.
（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.
因为S△ABO+S△BCO+S△ACO
=S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.
由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.
24.
解：（1）等边
60°
△DCE是等边三角形
（2）AC
BE
（3）△BED≌△ACD
证明过程如下：连接AC，BD.
因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.
因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.
因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.
所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.
在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.
25.
解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.
（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+＝20+4；如图1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x2＝(x+6)2，解得x＝，所以拼成的等腰三角形的周长为2×+10＝；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.
A
B
C
D
图1
C
B
A
C
B
A
P
C
B
A
P
C
B
A
P
P
C
B
A
图4
N
C
B
A
M
图3
D
C
B
A
E
图2
图7
D
C
B
A
E
图6
E
C
B
A
D
图5
D
C
B
A
E
P
图8
E
B
C
D
A
图9
图12
图11
D
C
B
A
图10
O
A1
A
A3
A2
A4
B
C
图14
图13
D
C
B
A
图15
D
C
B
A
O
E
F
图18
E
C
B
A
D
图16
图17
D
C
B
A
E
F
O
图19
D
E
C
B
A
图20
10
8
6
图21
①
4
10
8
6
②
10
6
10
8
6
③
x+6
x
10
8
6
④
10
8
10
8
6
图1