第十章三角形的有关证明 检测题（含答案）

第十章
三角形的有关证明
检测题
（时间:
满分:100分）
一、精心选一选（每小题3分，共24分）
1.在Rt△ABC中，∠B=90 ，若∠C比∠A大20 ，则∠A的度数是（
）
A.
35
B.
40
C.
45
D.
50
2.如图1，在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若BD=4
cm，∠B=30 ，则CD的长为（
）
A.
1
cm
B.
2
cm
C.
3
cm
D.
4
cm
3.如图2，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠C=40 ，则∠BAD的度数为（
）
A.
34
B.
35
C.
36
D.
38
4.如图3，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的周长为6，OB在x轴的正半轴上，则点A的坐标为（
）
A.（2，1）
B.（1，2）
C.
（1，）
D.（，1）
5.已知△ABC的三边长分别是2
cm，4
cm，
cm，则这个三角形是（
）
A.
等腰三角形
B.
等腰直角三角形
C.
等边三角形
D.
直角三角形
6.如图4，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，则下列结论不一定正确的是（
）
A.
AN=BN
B.
∠A=∠ABN
C.
△BCN的周长=AC+BC
D.
AN=BC
7.图5所示是由5个大小相同的正方形组成的图形，则AB∶AC的值为（
）
A.∶2
B.∶2
C.
3∶4
D.
1∶1
如图6，P是等边三角形ABC内的点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则下列结论：①BP=PQ；②△PCQ是直角三角形；③∠APB=150 .
其中正确的结论有（
）
A.
仅①②
B.
仅①③
C.
仅②③
D.
①②③
二、细心填一填（每小题4分，共28分）
9.命题“方程2x+1=5的解是x=2”的逆命题是_______.
10.如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=42 ，D是BC的中点，连接AD，则∠BAD的度数是______.
11.若等边三角形的边长为10
cm，则它一边上的中线长为________cm.
12.如图8，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若BD=5，BC=8，则AC的长为_________.
13.若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b-c的长方形的面积，那么以a，b，c为三边长的三角形是________三角形.
14.如图9，在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D.若BD=6，BC=10，AB=22，则△ABD的面积为_________.
15.如图10，BE，CD是△ABC的高，且BD=CE，∠A=60 ，则△ABC是________三角形.
三、耐心解一解（共48分）
16.（10分）如图12，AC为∠BAD的平分线，AB=AD，E，F两点分别在AB，AD上，且AE=DF，试说明△BCE的面积与△ACF的面积相等.
17.（10分）如图13，在△ABC中，AB=AC=12
cm，∠BAC=120 ，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）求DF的长.
18.（14分）如图14，D是∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H.
（1）求证：BG=CH；（2）若AB=12，AC=6，求BG的长.
19.（14分）如图15，已知在△ABC和△EFC中，AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90 ，E为AB上一点.
（1）试判断线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）试猜想AE2，BE2，EF2之间的数量关系，并证明你的猜想.
参考答案
一、1.
A
2.
B
3.
B
4.
C
5.
D
6.
D
7.
A
8.
D
二、9.
x=2是方程2x+1=5的解
10.
21
11.
5
12.
4
13.
直角
14.
44
15.
等边
三、16.
证明：如图1所示，分别作CG⊥AB于点G，CH⊥AD于点H.
因为AC是∠BAD的平分线，所以CG=CH.
因为AB=AD，AE=DF，所以BE=AF.
由S△BCE
=BE·CG，S△ACF
=AF·CH，所以S△BCE
=S△ACF.
17.（1）证明：因为AE是∠BAD的平分线，所以∠BAE=∠DAE.
因为DF∥AB，所以∠BAE=∠F.所以∠DAF=∠F.所以AD=DF.所以△ADF是等腰三角形.
解：因为AB=AC，AD是△ABC的中线，所以AD⊥BC.
因为∠BAC=120 ，所以∠B=∠C=30 .所以AD=AC=×12=6（cm）.所以DF=6
cm.
18.解：（1）如图2所示，连接BD和DC.
因为AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AH，所以DG=DH.
因为DE垂直平分BC，所以BD=CD.
在Rt△BDG和Rt△CDH中，BD=CD，DG=DH，所以Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）.所以BG=CH.
因为AD=AD，∠AGD=∠AHD=90 ，DG=DH，所以Rt△ADG≌Rt△ADH.所以AG=AH.所以AB-AC=AG+BG-（AH-CH）=AG+BG-AH+CH=2BG.因为AB=12，AC=6，所以12-6=2BG，即BG=3.
19.
解：（1）AE=BF.
证明：因为∠ACB=∠ECF=90 ，所以∠ACE=∠BCF.因为AC=BC，CE=CF，所以△ACE≌△BCF.所以AE=BF.
（2）AE2+BF2=EF2.
证明：因为AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90 ，所以∠CAE=∠ABC=45 .
因为△ACE≌△BCF，所以∠CBF=∠CAE=45 .所以∠EBF=∠ABC+∠CBF=45 +45 =90 .所以△EBF为直角三角形.
根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2.又AE=BF，所以BE2+AE2=EF2.
图1
图2
A
D
C
B
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图10
图9
A
B
C
E
F
图15
图12
A
D
C
B
F
E
图13
图14
图1
图2