第八章平行线的有关证明 检测题含答案

第八章
平行线的有关证明
检测题
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1.
如图1，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，则得到∠1=∠2的依据是（
）
A.
两直线平行，同位角相等
B.
同位角相等，两直线平行
C.
两直线平行，内错角相等
D.
内错角相等，两直线平行
2.
下列命题中，是真命题的是（
）
A.
点（1，2）在x轴上
B.
三角形的内角和等于360
C.
无理数不是实数
D.
同旁内角互补，两直线平行
3.
如图2，下列条件能判定EC∥AB的是（
）
A.
∠B=∠ACE
B.
∠A=∠ECD
C.
∠B=∠ACB
D.
∠A=∠ACE
4.
（2015年滨州）在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，则∠C的度数是（
）
A.
45
B.
60
C.
75
D.
90
5.
如图3，直线a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述正确的是（
）
A.
∠1＜180 －（∠4+∠5）
B.
∠2=∠4+∠5
C.
∠2＜∠3
D.
∠1＞∠6
6.（2015年南昌）如图4，已知AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50 ，则∠2的度数为（
）
A.
60
B.
50
C.
40
D.
30
7.
命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（
）
A.
如果是同角的余角，那么相等
B.
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
C.
如果两个角是同角，那么这两个角是余角
D.
如果两个角互余，那么这两个角相等
8.（2015年滨州）如图5，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间关系一定是（
）
A.
互余
B.
相等
C.
互补
D.
不等
9.
甲、乙、丙三位先生是同一家公司的职员，他们的夫人M，N，P也都是这家公司的职员，知情者介绍：M的丈夫是乙的好友，且在三位先生中最年轻，丙的年龄比P的丈夫大.
根据知情者提供的信息，可以推出三对夫妇分别是（
）
A.
甲和M，乙和N，丙和P
B.
甲和M，乙和P，丙和N
C.
甲和N，乙和P，丙和M
D.
甲和P，乙和N，丙和M
10.
如图6，C是∠BAD内一点，连接BC，CD，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，延长BC交AD于点F.已知∠D=20 ，∠B=40 ，则∠E的度数是（
）
A.10
B.12
C.14
D.16
二、细心填一填（每小题3分，共24分）
11.
如图7，要判断AB∥CD，需要增加的条件是________________.
12.
请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+1的值总是正数”是假命题，你举的反例是_______________（写一个即可）.
13.
如图8，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若∠B=35 ，∠AEB=105 ，则∠D的度数是___________.
14.
命题“若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角互补”是___________（填“真”或“假”）命题.
15.
如图9，将一个纸带沿着AB折叠，然后展开，若∠1=∠2，∠3=∠4，则a与b_____________（填“平行”或“不一定平行”或“不平行”）.
16.（2015年杭州）如图10，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA=α°，则∠GFB的度数是__________°（用含α的代数式表示）.
17.（2015年淮南）将一副三角尺按图11所示的方式放置，使含30 角的三角尺的短直角边与含45 角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数为______________.
18.
小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案及得分情况如下表：
1
2
3
4
5
得
分
小
聪
B
A
A
B
A
40
小
玲
B
A
B
A
A
40
小
红
A
B
B
B
A
30
这五道题的正确答案是_______________（按1～5题的顺序排列）.
三、耐心解一解（共46分）
19.（6分）如图12，已知∠AED=60 ，∠2=30 ，EF平分∠AED.求证：EF∥BD.
20.（6分）如图13，已知OA⊥BD，垂足为O，OC∥AB，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.
21.（8分）如果三角形满足一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称这个三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”.
（1）有一个内角为60 的直角三角形_____________（填“是”或“不是”）“半角三角形”.若是，“半角”的度数是____________．
（2）若一个“半角三角形”的“半角”为20°，求证：这个“半角三角形”的最大内角的度数为120 ．
22.（8分）如图14，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD上一点，连接CE，已知∠A=60 ，给出如下关系：①∠1+∠3-∠2=60 ；②∠2－∠1-∠3=60 ；③∠1+∠2-∠3=60 .
请选择正确结论的序号，并证明你的结论.
23.（8分）问题情境：如图15，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠3=∠4.
解法展示：证明：延长BE交直线CD于点M，如图16所示.
∵AB∥CD，∴∠1=∠BMC（根据1）.
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BMC（根据2）.
∴BE∥CF（根据3）.
∴∠3=∠4（根据4）.
反思交流：（1）解法展示中的根据1是______________，根据2是______________，根据3是________________，根据4是________________.
（2）上述命题中，条件记为：①AB∥CD，②∠1=∠2，结论记为：③∠3=∠4.
若把其中的一个条件和结论对调，得到一个新命题，写出这个命题（用序号表示即可），判断新命题的真假，并说明理由.
24.（10分）给出如下命题：“邻补角的平分线互相垂直”.
（1）把这个命题写成“如果……，那么……”的形式；
（2）判断这个命题是真命题还是假命题？若是真命题，写出已知、求证、画出图形，并写出证明过程；若是假命题，举反例说明.
附加题（共20分）
25.（10分）（2015年台湾）大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张.若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后积累写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案，并完整说明理由.
26.（10分）如图17—①，△ABC的顶点B，C分别在△DEF的两边DE，DF上，∠A=50 ，∠E+∠F=100 .
（1）求∠ABD+∠ACD的度数；
（2）若将△DEF的位置由图17-①变为图17-②，其他条件不变，求∠ABD+∠ACD的度数；
（3）在图17-②中，是否存在BD和CD同时平分∠ABC和∠ACB？（不必说明理由）
参考答案
一、1.
A
2.
D
3.
D
4.
C
5.
B
6.
C
7.
B
8.
A
9.
B
提示：因为M的丈夫是乙的好友，并在三位先生中最年轻，所以M的丈夫一定不是乙，可能是甲或丙.
因为丙的年龄比P的丈夫大，所以P与丙一定不是夫妻，且M的丈夫一定是甲.所以P的丈夫是乙，N的丈夫是丙.
10.
A
提示：因为∠BFD=∠BAF+∠B，所以∠BCD=∠BFD+∠D=∠BAF+40 +20 =∠BAF+60 .
因为CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，所以∠ECB=∠BCD=∠BAF+30 ，∠EAB=∠BAF.因为∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，所以∠E+∠BAF+30 =40 +∠BAF.所以∠E=10 .
二、11.
答案不唯一，如∠AEC=∠C
12.
答案不唯一，如x=－1
13.
40
14.
假
15.
平行
16.（90－）
17.
75
18.
BABBA
提示：由得分，知小聪和小玲都是错了1道题，小红错了2道题.因为小聪和小玲第3题和第4题答案不一样，所以这两道题中一人错了一道，故第1，2，5题的答案可以确定分别为BAA.所以小红的第1，2题是错误的，第3，4题的答案是正确的，分别为BB.
三、19.
证明：∵EF平分∠AED，∴∠1=∠AED.
∵∠AED=60 ，∴∠1=×60 =30 .∵∠2=30 ，∴∠1=∠2.∴EF∥BD.
20.
证明：∵OC∥AB，∴∠1=∠AOC.
∵OA⊥BD，∴∠AOC+∠2=90 .∴∠2=90 -40°=50°.
∵∠3是△ABO的一个外角，∴∠3=∠BAO+90 .
又∠BAO=∠1，∴∠3=40°+90 =130°.
21.
解：（1）是
30
（2）由一个“半角三角形”的“半角”为20°，得它的另一个内角为20 ×2=40 .则第三个内角为180 －20 －40 =120 ，即这个“半角三角形”的最大内角的度数为120 ．
22.
解：结论正确的是②.
证明：∵∠2是△DEC的一个外角，∴∠2=∠3+∠CDE.
∵∠CDE是△ABD的一个外角，∴∠CDE=∠1+∠A.∴∠2=∠3+∠1+∠A.
∴∠2=∠3+∠1+60 ，即∠2－∠1-∠3=60 .
23.
解:（1）两直线平行，内错角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
（2）交换①和③或交换②和③都是真命题.选择交换②和③，成为新命题.
已知：①③，求证：②.
理由：延长BE交直线CD于点M（同解法展示图）.
∵∠3=∠4，∴BE∥CF.∴∠2=∠BMC.
∵AB∥CD，∴∠1=∠BMC.∴∠1=∠2.
24.
解：（1）如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直.
（2）这个命题是真命题.
已知：如图，AB，CD相交于点O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD，求证：OE⊥OF.
证明：因为OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD，所以∠AOE=∠AOC，∠AOF=∠AOD.
因为∠AOC+∠AOD=180 ，所以∠AOE+∠AOF=∠AOC+∠AOD=（∠AOC+∠AOD）=×180 =90 .所以OE⊥OF.
25.
解：因为5月1日～30日共30天，包括四个完整的星期，所以5月1日～28日写的张数为.
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120；若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120；若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120；若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120；若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120；若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120；若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120.
故5月30日可能是星期五、星期六或星期日.
26.
解:（1）因为∠A+∠ABC+∠ACB=180 ，∠A=50 ，所以∠ABC+∠ACB=180 －50 =130 .
因为∠D+∠DBC+∠DCB=180 ，∠D+∠E+∠F=180 ，所以∠DBC+∠DCB=∠E+∠F
=100 .
所以∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB+∠DBC+∠DCB=130 +100 =230 .
（2）因为∠A+∠ABC+∠ACB=180 ，∠A=50 ，所以∠ABC+∠ACB=180 －50 =130 .
因为∠D+∠DBC+∠DCB=180 ，∠D+∠E+∠F=180 ，所以∠DBC+∠DCB=∠E+∠F
=100 .
所以∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB－（∠DBC+∠DCB）=130 －100 =30 .
（3）不存在.
图1
1
a
b
c
2
图3
图2
图5
图4
图6
F
图9
图8
图7
图11
图10
图13
图12
图14
1
3
2
图15
图16
A
B
A
F
E
D
C
B
F
E
D
C
①
②
图17
图3