第六章特殊平行四边形 测试题含答案
图片预览
文档简介
第六章
特殊平行四边形
测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
2．小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形.小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°.你认为下列说法正确的是（
）
A.小刚和小东都正确
B.仅小刚正确
C.仅小东正确
D.小刚和小东都错误
3.
（2015年玉林、防城港）如图1，在□ABCD中，BM平分∠ABC，交CD于点M，且MC=2，□ABCD的周长是14，则DM的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.
（2015年徐州）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为（
）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
5.
（2015年日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD成为正方形（如图3）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
6.
（2015年安顺）如图4，点O是矩形ABCD对角线的交点，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（
）
A．2
B．
C．
D．6
7.
如图5，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（
）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
8.
如图6，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO=6
cm，BC=8
cm，则四边形DEFG的周长是（
）
A.14
cm
B.18
cm
C.24
cm
D.28
cm
9.
如图7，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂
A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5
km，村庄C到公路l1的距离为4
km，则村庄C到公路l2的距离是（
）
A.
3
km
B.
4
km
C.
5
km
D.
6
km
10.
（2015年丹东）如图8，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A.
2
B.
3
C.
D.
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.
如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4
cm，BD=8
cm，则这个菱形的面积是
cm2．
12.
如图10，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24
cm，△OAB的周长是18
cm，则EF＝
cm．
13.
如图11，矩形ABCD的对角线相交于O，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC的长为
．
14.
如图12，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是______.
15.
如图13，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为________.
16.
（2015年吉林）如图14，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为_______．
17.
（2015年贵港）如图15，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为
．
18.
如图16，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是
.（填序号）
三、解答题（共58分）
19.
（8分）如图17，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过点C作CF⊥DE于点F．
（1）猜想AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论．
20.
（9分）（2015年河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图18所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为______________________．
21.
（9分）（2015年郴州）如图19，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
⑴求证：△AOE≌△COF；
⑵当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.
22.
（10分）如图20，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形吗？为什么？
23.（10分）在一张长12
cm、宽5
cm的长方形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图21-①），小明同学沿长方形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（如图21-②）.请问小颖和小明同学的折法中，哪个菱形面积较大？
24.
（12分）如图22-①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图22-②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，那么MP与NQ是否相等？并说明理由．
附加题（15分，不计入总分）
如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
参考答案
一、1.
C
2.Ａ
3.
C
4.
A
5.
B
6.
A
7.
C
8.
A
9.
B
10.
A
二、11.
16
12.
3
13.
4
14.
菱形
15.
20
16.（4，4）
17.
30°
18.
①②③
三、19.（1）解：AD＝CF．
（2）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC.所以∠AED＝∠FDC，AB＝CD．又DE＝AB，所以DE＝CD．因为CF⊥DE，所以∠CFD＝∠A＝90°．所以△ADE≌△FCD．所以AD＝CF．
20.
解：（1）CD
平行
（2）证明：如图，连接BD．
在△ABD和△CDB中，AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，所以△ABD≌△CDB.
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.
所以AB∥CD，AD∥CB.
所以四边形ABCD是平行四边形．
（3）平行四边形的对边相等
21.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
所以∠EAO=∠FCO.
因为O是AC的中点，所以AO=CO.
又∠EOA=∠FOC，所以△AOE≌△COF.
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.
理由：由（1）知△AOE≌△COF，所以OE=OF.
又AO=CO，所以四边形AFCE是平行四边形.
所以当EF⊥AC时，平行四边形AFCE是菱形.
22.（1）证明：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.
因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC，OD=OB，AC=BD.
所以OA=OD.
所以四边形AODE是菱形．
（2）解：四边形AODE是矩形.
理由：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即∠AOD=90°.
所以四边形AODE是矩形．
23.
解：小颖的折法：S菱形EFGH＝×12×5＝30（cm2）；
小明的折法：设BE＝x
cm，则AE＝CE=（12－x）cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得（12－x）2＝52+x2，解得x＝，则EC＝.
所以S菱形AECF＝×5＝（cm2）.
因为30<，所以小明折出的菱形面积较大.
24.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°.所以∠DAF+∠BAF=90°.因为AF⊥BE，所以∠ABE+∠BAF=90°.所以∠ABE=∠DAF.所以△ABE≌△DAF.所以AF=BE.
（2）解：MP=NQ．
理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，则与（1）的情况完全相同，可得AF=BE，从而MP=NQ.
附加题
解：（1）OE＝OF．
证明：因为CE是∠ACB的平分线，所以∠1＝∠2．因为MN∥BC，所以∠1＝∠3．所以∠2＝∠3．所以OE＝OC．同理可证OC＝OF．所以OE＝OF．
（2）四边形BCFE不可能是菱形．
理由：若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由已知易得FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同时垂直于一条直线，所以四边形BCFE不可能是菱形．
（3）当点O运动到AC中点时，OE＝OF，OA＝OC，则四边形AECF为平行四边形，易证∠ECF＝90°，所以四边形AECF为矩形.要使AECF为正方形，必须EF⊥AC．因为EF∥BC，所以只要AC⊥BC即可，所以△ABC应是以∠ACB为直角的直角三角形．所以当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
图1
图2
图3
图6
图5
图4
图7
图9
图10
图11
y
O
x
C
D
A
B
图14
图15
图12
图13
图19
特殊平行四边形
测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
2．小刚和小东在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形.小刚补充的条件是：∠A=∠B；小东补充的条件是：∠A+∠C=180°.你认为下列说法正确的是（
）
A.小刚和小东都正确
B.仅小刚正确
C.仅小东正确
D.小刚和小东都错误
3.
（2015年玉林、防城港）如图1，在□ABCD中，BM平分∠ABC，交CD于点M，且MC=2，□ABCD的周长是14，则DM的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.
（2015年徐州）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为（
）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
5.
（2015年日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD成为正方形（如图3）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
6.
（2015年安顺）如图4，点O是矩形ABCD对角线的交点，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（
）
A．2
B．
C．
D．6
7.
如图5，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（
）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
8.
如图6，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO=6
cm，BC=8
cm，则四边形DEFG的周长是（
）
A.14
cm
B.18
cm
C.24
cm
D.28
cm
9.
如图7，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂
A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5
km，村庄C到公路l1的距离为4
km，则村庄C到公路l2的距离是（
）
A.
3
km
B.
4
km
C.
5
km
D.
6
km
10.
（2015年丹东）如图8，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A.
2
B.
3
C.
D.
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.
如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4
cm，BD=8
cm，则这个菱形的面积是
cm2．
12.
如图10，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24
cm，△OAB的周长是18
cm，则EF＝
cm．
13.
如图11，矩形ABCD的对角线相交于O，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC的长为
．
14.
如图12，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是______.
15.
如图13，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为________.
16.
（2015年吉林）如图14，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为_______．
17.
（2015年贵港）如图15，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为
．
18.
如图16，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是
.（填序号）
三、解答题（共58分）
19.
（8分）如图17，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过点C作CF⊥DE于点F．
（1）猜想AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论．
20.
（9分）（2015年河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图18所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为______________________．
21.
（9分）（2015年郴州）如图19，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
⑴求证：△AOE≌△COF；
⑵当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.
22.
（10分）如图20，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是矩形吗？为什么？
23.（10分）在一张长12
cm、宽5
cm的长方形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图21-①），小明同学沿长方形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（如图21-②）.请问小颖和小明同学的折法中，哪个菱形面积较大？
24.
（12分）如图22-①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图22-②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，那么MP与NQ是否相等？并说明理由．
附加题（15分，不计入总分）
如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
参考答案
一、1.
C
2.Ａ
3.
C
4.
A
5.
B
6.
A
7.
C
8.
A
9.
B
10.
A
二、11.
16
12.
3
13.
4
14.
菱形
15.
20
16.（4，4）
17.
30°
18.
①②③
三、19.（1）解：AD＝CF．
（2）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC.所以∠AED＝∠FDC，AB＝CD．又DE＝AB，所以DE＝CD．因为CF⊥DE，所以∠CFD＝∠A＝90°．所以△ADE≌△FCD．所以AD＝CF．
20.
解：（1）CD
平行
（2）证明：如图，连接BD．
在△ABD和△CDB中，AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，所以△ABD≌△CDB.
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.
所以AB∥CD，AD∥CB.
所以四边形ABCD是平行四边形．
（3）平行四边形的对边相等
21.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
所以∠EAO=∠FCO.
因为O是AC的中点，所以AO=CO.
又∠EOA=∠FOC，所以△AOE≌△COF.
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.
理由：由（1）知△AOE≌△COF，所以OE=OF.
又AO=CO，所以四边形AFCE是平行四边形.
所以当EF⊥AC时，平行四边形AFCE是菱形.
22.（1）证明：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.
因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC，OD=OB，AC=BD.
所以OA=OD.
所以四边形AODE是菱形．
（2）解：四边形AODE是矩形.
理由：因为DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形.
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即∠AOD=90°.
所以四边形AODE是矩形．
23.
解：小颖的折法：S菱形EFGH＝×12×5＝30（cm2）；
小明的折法：设BE＝x
cm，则AE＝CE=（12－x）cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得（12－x）2＝52+x2，解得x＝，则EC＝.
所以S菱形AECF＝×5＝（cm2）.
因为30<，所以小明折出的菱形面积较大.
24.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°.所以∠DAF+∠BAF=90°.因为AF⊥BE，所以∠ABE+∠BAF=90°.所以∠ABE=∠DAF.所以△ABE≌△DAF.所以AF=BE.
（2）解：MP=NQ．
理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，则与（1）的情况完全相同，可得AF=BE，从而MP=NQ.
附加题
解：（1）OE＝OF．
证明：因为CE是∠ACB的平分线，所以∠1＝∠2．因为MN∥BC，所以∠1＝∠3．所以∠2＝∠3．所以OE＝OC．同理可证OC＝OF．所以OE＝OF．
（2）四边形BCFE不可能是菱形．
理由：若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由已知易得FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同时垂直于一条直线，所以四边形BCFE不可能是菱形．
（3）当点O运动到AC中点时，OE＝OF，OA＝OC，则四边形AECF为平行四边形，易证∠ECF＝90°，所以四边形AECF为矩形.要使AECF为正方形，必须EF⊥AC．因为EF∥BC，所以只要AC⊥BC即可，所以△ABC应是以∠ACB为直角的直角三角形．所以当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
图1
图2
图3
图6
图5
图4
图7
图9
图10
图11
y
O
x
C
D
A
B
图14
图15
图12
图13
图19