(共71张PPT)
第一章
立体几何初步
知能整合提升
热点考点例析
答案： A
答案： (1)D
答案： B
答案： D
答案： B
答案： D
答案： 4
答案： 13
阶段质量评估
谢谢观看！
3-
4
4
⊥
6
6
(单位:cm)
视图
左视图
俯视图
91C
A
A
B
A
B
D
A
B
D
二=
1么
A
F
M
B
F
C
D
B
E
A
E
D
>A
M
B
C
B
D
B
M
===
B(共48张PPT)
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
自主学习·新知突破
观察下列图片：
[问题1] 图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
[提示] 由若干个平面多边形围成．
[问题2] 图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？
[提示] 表面是由平面与曲面围成．
[问题3] 图片(4)(5)(6)(7)中的几何体可否看作平面图形绕某定直线旋转而成？
[提示] 可以．
无公共点
垂直
平面曲线
定直线
封闭的
平面多边形
直径所在的直线
曲面
球面
圆心
球面上任意一点
球面
球心
矩形的一边
曲面
旋转轴
圆面
不垂直于旋转轴
不垂直于旋转轴
一条直角边
曲面
垂直于底边的腰
曲面
互相平行
平行四边形
正多边形
多边形
有一个公共顶点
正多边形
全等
等腰三角形
平行于
正棱锥
等腰梯形
解析： 等腰三角形ABC底边上的中线AD⊥BC，故△ADC，△ADB为直角三角形，旋转所得几何体为圆锥．
答案： B
答案： A
3．下列描述中，是棱台的性质的是________．(填序号)
①两底面平行；②侧面都是梯形；③侧棱都相等，且平行；④侧棱延长后都交于一点；⑤底面不可能为三角形．
解析： 棱台是由棱锥截得的，截面与底面平行，①正确；棱台的侧面都是梯形，②正确；③错误；棱台侧棱延长后必交于一点，④正确；由三棱锥截得的棱台为三棱台，其底面是三角形，⑤错误．
答案： ①②④
合作探究·课堂互动
[思路探究] 解答时可根据旋转体的概念和性质具体分析．
答案： B
答案： ①
[思路探究] 利用棱柱、棱锥、棱台的定义判断．
答案： C
[思路探究] 认真分析所给几何体的结构，结合组合体的特征和构成形式说明组合体的构成．
高效测评·知能提升
谢谢观看！(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点
解析： 不共线的三点可以确定一个平面，排除A；四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C.
答案： C
2．在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
解析： 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
答案： A
3．两个不重合的平面可把空间分成( )
A．3部分
B．4部分
C．3或4部分
D．2或3部分
解析： 当两个平面平行时把空间分成3部分；当两个平面相交时把空间分成4部分．
答案： C
4．有下列说法：
①梯形的四个顶点在同一平面内；
②三条平行直线必共面；
③有三个公共点的两个平面必重合；
④平面外的一条直线和平面没有公共点．
其中，正确的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错；平面外的直线可能和平面相交，故④错．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果三个平面把空间分成六部分，那么这三个平面的位置关系是________．
解析： 由于三个平面把空间分成六部分，那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．
答案： 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交
6．如图，在这个正方体中：
①BM与ED平行；
②CN与BM是异面直线；
③CN与BE是异面直线；
④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析： 观察图形，可知①③错误，②④正确．
答案： ②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
解析： 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1)(2)(3)．
8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三条直线AA1，BB1，CC1两两相交，求证：三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.
证明： 设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面α，β，γ，AA1与BB1的交点为P，因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β，BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β.又α∩β＝CC1，所以P∈CC1，所以三条直线AA1，BB1，CC1交于一点P.
??☆☆☆
9．(10分)如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，
点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解析： 平面ABC与β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且ABα，lα，
∴AB与l一定相交．
设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB平面ABC，lβ，
∴P∈平面ABC，P∈β，∴点P是平面ABC与β的一个公共点．
又点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点．
∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，∵PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS
B．2πS
C．πS
D.πS
解析： 设底面半径为r，高为h，则2πr＝h，且πr2＝S.
∴圆柱侧面积为2πrh＝4π2r2＝4πS.
答案： A
2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32
B．16＋16
C．48
D．16＋32
解析： 由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．
如图：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2.
又∵S侧＝4××4×2＝16，
S底＝4×4＝16，
∴S表＝S侧＋S底＝16＋16.
答案： B
3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6
B．30＋6
C．56＋12
D．60＋12
解析： 从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积．
S表＝S底＋S侧＝×4×5＋×4×5＋×5×4＋×2×6＝30＋6.
答案： B
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为( )
A．2
B．3
C．4
D．2
解析： 设圆台的上、下底面圆半径分别为r1，r2，母线长为l，则π(r1＋r2)l＝18π，即(r1＋r2)l＝18.
又∵l＝(r1＋r2)，∴2l2＝18，即l2＝9，∴l＝3.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如下图)，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是________．
解析：
如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱．由图知AB＝AC，BC＝2，AB⊥AC.
∴S表＝2·＋2×2×2＋2×2＝12＋4.
答案： 12＋4
6．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为________．
解析： 几何体的表面积为S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
答案： 24＋1.5π
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.
如图所示，底面半径为6，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛沿圆柱的侧面从A爬到B，试计算爬行的最短路程．
解析： 圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，如图所示，则爬行的最短路程是AC.
因为AB＝8，BC＝2π×6＝12π，
所以AC＝＝＝，
即爬行的最短路程为.
8．已知四棱锥S－ABCD的底面是菱形，AC＝80
cm，BD＝60
cm，AC∩BD＝O，SO⊥平面ABCD，SO＝32
cm，求它的侧面积．
解析： 如图，AC＝80
cm，BD＝60
cm.
则AO＝40
cm，OB＝30
cm，
由于AC⊥BD，
∴AB＝＝50(cm)．
过O向BC作垂线，垂足为M，连接SM.
由OM·BC＝OB·OC，
知OM＝＝＝24(cm)，
∴SM＝＝＝40cm，
∴S侧＝4××BC×SM＝4××50×40＝4
000(cm2)．
??☆☆☆
9．(10分)已知某圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，你能求出此圆柱的表面积吗？求一求，看一下答案是唯一的吗？
解析： 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长．
∴2πr＝4π，即r＝2.
∴S底＝4π，S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π.
(2)以4π所在边为高时，6π为圆柱底面周长．
∴2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π.
∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③
解析： ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
答案： B
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D．无法判断
解析： 由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．
答案： B
3．如图，α∩β＝l，aα，bβ，且a，b为异面直线，则以下结论正确的是( )
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析： 如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．
答案： B
4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN＜(AC＋BD)
解析： 如图，取BC的中点H，据题意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD.在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD)
.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析： (1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案： (1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
6．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.若BD＝6
cm，梯形EFGH的面积为28
cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析： 在△BCD中，∵＝＝，
∴GF∥BD，＝.∴FG＝4
cm.
在△ABD中，∵点E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH＝BD＝3(cm)．
设EH，FG间的距离为d
cm.则×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.
答案： 8
cm
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：
(1)∠ABC＝∠A1B1C1；
(2)∠A1D1A＝∠B1C1B.
证明： (1)如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，由长方体的性质可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)如上图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
由长方体的性质可得：D1C1綊AB，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同，
∴∠A1D1A＝∠B1C1B.
8．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点．若BC＝CA＝CC1＝2，求异面直线BD1与AF1所成的角．
解析： 取BC中点G，连接F1G，AG，D1F1，则D1F1∥B1C1且D1F1＝B1C1，
又∵B1C1綊BC，G为BC的中点．
∴D1F1綊BG，
∴四边形D1F1GB是平行四边形，
∴BD1∥F1G，
∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角．
在Rt△ACG中，AG＝＝＝.
同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝.
又BD1＝GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G＝60°，
∴异面直线BD1与AF1所成的角是60°.
??☆☆☆
9．(10分)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明： (1)在△ABD中，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
EH∥BD，同理FG∥BD，
∴EH∥FG，∴E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.(共44张PPT)
§2 直观图
自主学习·新知突破
90°
虚
[自主练习]
1．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
解析： 根据斜二测画法的规则可知B不正确．
答案： B
答案： C
答案： OD＜BD＜AB＜BO
合作探究·课堂互动
[思路探究] 按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图．
答案： A
[规律方法] (1)用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变．
(2)画空间图形直观图的主要步骤：
①画轴，②画底面，③画侧棱，④成图．
[思路探究] 根据斜二测画法，逆用其画法，画出原图形，再求其面积．
答案： C
答案： (1)C (2)A
高效测评·知能提升
谢谢观看！
在已知图形中取互相垂直的轴和y
轴,两轴相交于点O,画直观图时,把
画轴
它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于
点O,且使∠xy=(或),它
们确定的平面表示
已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在
画线
直观图中分别画成平行于或的
线段
已知图形中平行于x轴的线段在直观
取长度
图中
平行于y轴的线
段,长度为原来的
450135°
水平面
x'轴y′轴
保持原长度不变
半
9%
′A(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列推理中，正确的个数为( )
① n⊥α； ② m∥n；
③ m⊥n;
④ n⊥α.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： ①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．
答案： C
2．已知直线a、b与平面α、β、γ，能使α⊥β的条件是( )
A．a⊥β，β⊥γ，a γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，α∥a
D．a∥α，a⊥β
解析： 因为a∥α，所以过a作一平面γ∩α＝c，则a∥c，
因为a⊥β，所以c⊥β，
又c α，所以α⊥β.
答案： D
3．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
解析： PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，B、D均正确．
答案： C
4．四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是( )
A．垂直
B．相交
C．平行
D．相交或平行
解析： ∵PA＝AD，E为PD的中点，
∴AE⊥PD
又PA⊥面ABCD.
∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD.
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥AE.
又∵CD∩PD＝D，
∴AE⊥面PCD.
∴AE⊥PC.故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________________．(只填序号即可)
①a和b垂直于正方体的同一个面
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面
③a和b平行于同一条棱
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
解析： ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
答案： ①②③
6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是________．
解析： 由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF＜PE，
∴有PG＜PF＜PE.
答案： PG＜PF＜PE
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
证明： 如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1平面BDD1B1，
∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C，
又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
8．斜边为AB的直角三角形ABC，过点A作PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E、F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明： (1)∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵△ABC为直角三角形，
∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
∴AF⊥平面PBC.
又PB平面PBC，∴AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF.
又EF平面AEF，
∴EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，
∴PB∥l.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
解析： 取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．长方形的直观图可能是下列图形的哪一个( )
A．①②
B．①②③ C．①④⑤
D．②⑤
答案： D
2．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
解析： 根据斜二测画法的规则可知A正确．
答案： A
3．(2015·太原高一期末)如图所示的用斜二测法画的直观图，其平面图形的面积为( )
A．3
B.
C．6
D．3
解析： 该直观图的原图为直角三角形，两条直角边分别为4和3，所以平面图形的面积为×3×4＝6.
答案： C
4．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析： C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析： 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AB边的中线为2.5.
答案： 2.5
6．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．
解析： 直观图中，O′B′＝
cm，原图形中OC＝AB＝＝3(cm)，OA＝BC＝1
cm，
∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8(cm)．
答案： 8
cm
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形ABCD的直观图．
解析： (1)建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图(1)中，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.图(2)中，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，且E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，去掉辅助线，得到四边形A′B′C′D′，即为四边形ABCD水平放置的直观图，如图(3)所示．
8．画棱长为2
cm的正方体的直观图．
解析： (1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2
cm，AD＝1
cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A、B、C、D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2
cm.
(3)连结A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，擦去辅助线，被遮住的线改为虚线，得到的图形就是所求的正方体的直观图．
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
解析： 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2，所以面积为S＝×2＝5.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列推理中错误的是( )
A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
解析： 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β.
答案： A
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面都垂直
解析： 因为直线a垂直于直线b，b不一定是平面β与α的交线，所以a不一定垂直于平面β.
答案： C
3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ
B．lγ
C．l与γ斜交
D．l⊥γ
解析：
在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ.
答案： D
4．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
解析： 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
解析： 由面面垂直的性质定理可知，只有②不正确．
答案： ①③④
6．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3
m,4
m,1
m，则P与墙角B的距离为________m.
解析： 过点P向各面作垂线，构成以BP为体对角线的长方体．
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.
如图所示，α⊥β，CDβ，CD⊥AB，
ECα，EFα，∠FEC＝90°.
求证：平面FED⊥平面DCE.
证明： ∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，
∴CD⊥α.
又∵EFα，∴CD⊥EF.
又∵FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又∵EC∩CD＝C，
∴EF⊥平面DCE.
又∵EF平面EFD，
∴平面EFD⊥平面DCE.
8.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明： (1)设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)如图，连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，
且CE＝1，
所以四边形CEFG是菱形．
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.
??☆☆☆
9．(10分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝
PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．
解析： PA与BD垂直．证明如下：
如图，取BC的中点O，连接PO、AO，
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，
∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，
∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，
∴BD⊥PA，
所以PA与BD相互垂直．(共39张PPT)
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
自主学习·新知突破
[提示] V＝Sh.
底面积S
高h
Sh
πr2h
上、下底面面积
高
答案： D
答案： D
3．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
合作探究·课堂互动
[思路探究] 设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可．
答案： (1)A (2)3
答案： (1)B (2)B
[思路探究] 求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径和圆台的高，代入公式求解．
答案： (1)A (2)7∶5
高效测评·知能提升
谢谢观看！
A
少C
主视图
左视图
俯视图
视图
左视图
俯视图
B
B
P
A(A)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．(1)是棱台
B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥
D．(4)不是棱柱
解析： 图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确．
答案： C
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
B．棱台
C．圆锥
D．圆台
解析： 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．
由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和俯视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
答案： D
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
B．
C．200
D．240
解析： 先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．
由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.
又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
答案： C
4．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．相交或异面
解析： 当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合情况时，异面．
答案： D
5．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
解析： ∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥BD，故D正确；
∵BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥PB，故C正确；
又CD⊥面PAD，
∴PD⊥CD，故B正确．只有A不正确．
答案： A
6．(2015·长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为( )
A.
B．
C.
D．
解析： 底边长为1，高为××sin
45°＝，∴S＝.
答案： D
7．如图，BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则图中共有直角三角形的个数是( )
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
解析： 因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为PD⊥BC，PA∩PD＝P，
所以BC⊥平面PAD，所以AD⊥BC.
图中直角三角形有△PAC，△PAD，△PAB，△ABC，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB，共8个．
答案： A
8．以下说法中，正确的个数为( )
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，a∥α，则b∥α；
②已知直线a，b，c和平面α.a是斜线，与平面α相交，b是射影所在直线，c α，且c⊥b，则c⊥a；
③三个平面两两相交，且它们的交线各不相同，则这三条交线互相平行；
④已知平面α，β，若α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析： ①错误．直线b的位置不确定，直线b可以在α内，也可以平行于α.
②正确．c同时垂直于斜线和射影．
③错误．例如，长方体同一顶点的三个面．
④错误．没有说明b是否在平面α或β内，则b可以在这两个平面外．
答案： A
9．一个圆锥与一个球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥的侧面积与此球的表面积之比为( )
A.∶2
B．∶2
C.∶2
D．3∶2
解析： 设圆锥底面半径为r，高为h，
则V球＝π3＝πr3，V锥＝πr2h.
由于体积相等，∴πr3＝πr2h，∴h＝.
∵S球＝4π2＝πr2，S锥侧＝πr2，
∴S锥侧∶S球＝∶2，所以选B.
答案： B
10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B．
C.
D．
解析： 画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角．在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角．设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝＝.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．
解析： 由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为，故其面积为×2＝.
答案：
12．有下列三个说法：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有________个．
解析： ①中的截面若不平行于底面，则不是棱台，故①错；②③中的条件都不能保证多面体的所有侧棱交于一点，故不一定是棱台，可知②③错．
答案： 0
13．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析： 取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案：
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
解析： 如右图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC 平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，
∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
④分别取BC，AC的中点为M，N，
连接ME，NE，MN，
则MN∥AB，且MN＝AB＝a，
ME∥CD，且ME＝CD＝a，
∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．
在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
∴NE＝AC＝a，∴△MEN是正三角形，
∴∠EMN＝60°，故④正确．
答案： ①②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解析： 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1，
S圆锥底＝2πr2＝2π，S圆锥侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S圆锥底＋S圆锥侧＝2π＋2π
＝(2＋2)π.
16．(本小题满分12分)如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．求证：
(1)AC⊥PB；
(2)PB∥平面AEC.
证明： (1)如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，
∴AC 平面ABCD，∴PA⊥AC.
又∵AB⊥AC，而AB∩PA＝A，
∴AC⊥平面PAB，PB 面PAB，
∴AC⊥PB.
(2)如图所示，连接BD，与AC相交于点O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是PD的中点，∴EO∥PB.
∵PB 平面AEC，EO 平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
17．(本小题满分13分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12
m，高4
m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4
m(高不变)；二是高度增加4
m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解析： (1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16
m，则仓库的体积：
V1＝S·h＝×π×2×4
＝π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8
m，则仓库的体积：
V2＝S·h＝×π×2×8
＝π(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16
m，半径为8
m．圆锥的母线长为l＝＝4(m)，则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成8
m．圆锥的母线长为l＝＝10(m)，则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)∵V2＞V1，S2＜S1，
∴方案二比方案一更经济．
18．(本小题满分13分)
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1B1的中点，
(1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能使A1C∥平面AME？并证明你的结论；
(2)求证：平面AED1∥平面C1FB.
解析： (1)当M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.
证明如下：
连接A1D，取A1D的中点为G，连接EG，
∵E，G分别为CD，A1D的中点，
∴EG∥A1C.
∵EG 面AEG.
∴A1C∥面AEG，
∵当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内，
∴A1C∥面AEM，
故M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.
(2)证明：在正方体中，连接AD1，D1E，
∵AD1∥BC1，BC1 面AED1，
∴BC1∥面AED1.
取AB中点H，连接FH，CH，C1F，
∵FH綊CC1，
∴四边形FHCC1为平行四边形，
∴FC1∥HC.
又易知四边形AHCE为平行四边形，
∴AE∥HC，
∴C1F∥AE.又∵C1F 面D1AE，
∴C1F∥面D1AE.
而BC1∩C1F＝C1，且BC1，C1F 面BC1F，
∴面BC1F∥面D1AE.
(B)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间中，下列说法中正确的是( )
①平行于同一直线的两直线平行；
②垂直于同一直线的两直线平行；
③平行于同一平面的两直线平行；
④垂直于同一平面的两直线平行．
A．①③④
B．①④
C．①
D．②③④
解析： ①正确，由平行公理可证；②错误，如图所示，A1D1⊥AA1，AB⊥AA1，但A1D1与AB不平行；③错误，AA1∥平面DC1，A1B1∥平面DC1，但AA1∩A1B1＝A1；④正确．
答案： B
2．一个几何体
的三视图如图所示，则该
几何体的体积为( )
解析： 先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体．
由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.
答案： D
3．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．2πa2
D．24πa2
解析： 由长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线为＝a，与外接球的直径相等，故2R＝a，S球＝4πR2＝6πa2.
答案： B
4．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )
A．8
B．7
C．6
D．5
解析： 由正视图和侧视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最下层有5个小正方体；结合三个图可知，上层仅有一个正方体．所以共有6个小正方体．
答案： C
5．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
解析： D∈l，l β，∴D∈β，又C∈β，∴CD β；同理，CD 平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.
答案： C
6．已知点O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是( )
A．直线OA1⊥平面AB1C1
B．直线OA1∥平面CB1D1
C．直线OA1⊥直线AD
D．直线OA1∥直线BD1
解析： 可证平面A1BD∥平面CB1D1.
答案： B
7．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．任意四边形
解析： 如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG，而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行．所以四边形EFGH是梯形．
答案： C
8．如图，三棱锥V－ABC中，每个侧面与底面所成的二面角均相等，且VO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
解析： 在△VOD，△VOE，△VOF中，
因为∠VDO＝∠VEO＝∠VFO，且VO公用，
∴Rt△VOD≌Rt△VOE≌Rt△VOF，
∴OD＝OE＝OF，∴O为△ABC的内心．
答案： C
9．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，面α内有一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan
θ＝( )
A.
B．
C.
D．
解析： 如图，作CE⊥β，CD⊥AB，则CE＝3，CD＝4，DE⊥AB，
∴∠CDE为二面角α－AB－β的平面角，
即∠CDE＝θ.
在Rt△CDE中，DE＝
＝＝，
∴tan
θ＝＝＝.
答案： A
10．把表面积相等的球与正方体的体积依次记为V球与V正方体，球的直径为d，正方体的棱长为a，则有( )
A．d>a，V球>V正方体
B．d>a，V球
C．dV正方体
D．d解析： πd2＝6a2，∴d2＝a2>a2，∴d>a.
又d＝
a，∴＝＝
>1.
∴V球>V正方体．
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．
上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确．
答案： ①②
12．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为________．
解析： 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h.∵πr2＝π，∴r＝1.又πrl＝2π，∴l＝2.则h＝＝＝.故该圆锥的体积V＝πr2h＝π.
答案： π
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______________．
解析： 由三视图知该几何体是躺着的三棱柱，底面是等腰三角形，底边上的高为1，侧棱长为3，
S底＝×2×1＝.
S侧＝(2＋2＋2)×3＝12＋6
S表＝2S底＋S侧＝2＋12＋6＝12＋8
答案： 12＋8
14．(2015·长沙高一检测)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA1＝，则异面直线A1B1与BD1所成的角的大小等于________．
解析： 因为A1B1∥AB，
所以∠ABD1是异面直线A1B1与BD1所成的角．
在Rt△ABD1中，∠BAD1＝90°，
AB＝1，AD1＝
＝＝，
所以tan∠ABD1＝＝，
所以∠ABD1＝60°.
答案： 60°
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出如图所示几何体的三视图．
解析： 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．
16．(本小题满分12分)已知一直棱柱底面是菱形，该棱柱的对角线长分别为15
cm,9
cm，高为5
cm，求这个棱柱的侧面积．
解析： 如图所示，设BD1＝9
cm，A1C＝15
cm.
∵A1A＝D1D＝5
cm，
∴BD2＝D1B2－D1D2＝92－52＝56，
AC2＝A1C2－A1A2＝152－52＝200.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝BD2＋AC2，
即4AB2＝56＋200＝256，
∴2AB＝16，∴AB＝8
cm，
∴S棱柱侧＝4AB·A1A＝4×8×5＝160(cm2)，
故此棱柱的侧面积为160
cm2.
17．(本小题满分13分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
(1)证明：AD⊥C1E；
(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．
解析： (1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD 平面ABC，所以AD⊥BB1.②
由①②，得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E 平面BB1C1C，
所以AD⊥C1E.
(2)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，
由题意知∠A1C1E＝60°.
因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，
又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1.
于是A1C1⊥A1E，故C1E＝＝2.
又B1C1＝＝2，所以B1E＝＝2.
从而V三棱锥C1－A1B1E＝S△A1B1E·A1C1＝××2××＝.
18．(本小题满分13分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求证：平面AOC⊥平面AOB.
解析： (1)在正方体中AA′綊CC′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∴A′C′∥AC，
∴∠OAC(或补角)为异面直线AO与A′C′所成的角．
在△AOC中，AC＝，OC＝，AO＝＝，
∴AO2＋OC2＝AC2，
∴∠OAC＝30°，
∴AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)取BC的中点，连接OE，AE(图略)，
∵O为BC′的中点，
∴OE∥CC′.
又CC′⊥面ABCD，∴OE⊥面ABCD，
∴∠OAE为AO与面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
tan∠OAE＝＝＝.
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)证明：在△AOC中，由(1)知OC⊥AO.
在正方形BCC′B′中，OC⊥OB，AO 面AOB，OB 面AOB，AO∩OB＝O，
∴OC⊥面AOB，
又∵OC 面AOC，
∴面AOC⊥面AOB.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中正确的是( )
A．平行于另一个平面内两条直线的平面，一定平行于这个平面
B．一条直线平行于一个平面内的无数条直线，则这条直线与该平面平行
C．两个平面分别与第三个平面相交，若交线平行则两个平面平行
D．在两个平行平面中，一个平面内的一条直线必平行于另一个平面
解析： A中如果另一个平面内的两条直线平行，则显然不正确；B中如果这条直线在平面内，也符合它平行于平面内的无数条直线，但是显然这条直线不与该平面平行；C显然不正确；根据面面平行的性质知D正确，故选D.
答案： D
2．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析： 利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，该平面与β的交线过B点，则交线与a平行，且唯一．
答案： D
3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析： 因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，两组交线分别平行，即EF∥HG，EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，故选B.
答案： B
4．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；
③若α∥β，a α，则a∥β；
④若a∥α，a∥β，则α∥β.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝4，则EG＝________.
解析： 由线面平行的性质可知BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.∴＝.∴EG＝·BD＝×4＝2.
答案： 2
6．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②.
则在四棱锥P－ABCD中，AP与平面EFG的位置关系为________．
解析： 在四棱锥P－ABCD中，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB.
∵EF 平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP平面PAB，AP平面EFG，∴AP∥平面EFG.
答案： 平行
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.
证明： 取线段AB的中点N，连接MN，DN，
因为MN是△ABE的中位线，
所以MN∥BE.
又MN 平面BEC，BE 平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
因为△ABD是正三角形，
N是线段AB的中点，
所以ND⊥AB.
因为CB＝CD，∠BCD＝120°，
所以∠CBD＝30°，
所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，
所以BC⊥AB，
所以ND∥BC.
又ND 平面BEC，BC 平面BEC，
所以ND∥平面BEC.
又MN∩ND＝N，
所以平面MND∥平面BEC.
因为直线DM 平面MND，
所以DM∥平面BEC.
8．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥PA.
证明： 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP 平面BDM，
OM 平面BDM，
∴PA∥平面BMD.
又∵PA 平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．
解析： 当点E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，
∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.(共41张PPT)
§7 简单几何体的面积和体积
7．1 简单几何体的侧面积
自主学习·新知突破
[提示] S长方体＝2(ab＋bc＋ca)，S正方体＝6a2.
2．有一节用铁皮卷成的圆柱形烟囱，你知道如何求出做这节烟囱所用的铁皮的面积吗？
[提示] 将烟囱沿母线剪开，展开所得的矩形的面积便是．
3．如果不将上面所说的烟囱展开，只是侧量一下它的底面半径和烟囱的长度，能否计算出所用铁皮的面积呢？
[提示] 烟囱的长和底面圆周长就是展开后矩形的两边长，故能算出铁皮面积．
2πrl
底面半径
侧面母线长
πrl
底面半径
侧面母线长
π(r1＋r2)l
上底面半径
下底面半径
侧面母线长
ch
底面周长
高
底面周长
斜高
上底面周长
下底面周长
斜高
解析： S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，
∴S1＝S2.
答案： B
答案： C
合作探究·课堂互动
答案： (1)C (2)C
答案： C
【错因】 画轴截面时，应过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，因为错解中A1，B1不可能同时出现在同一轴截面图中．
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§4 空间图形的基本关系与公理
第一课时 空间图形基本关系的认识及公理1、2、3
自主学习·新知突破
[提示] 3,9,3,3
2．对于指定的一个墙角(线)，其余的墙角(线)中，有几条与它平行？有几条与它相交？有与它既不平行也不相交的吗？若有，有几条？经过它的面有几个？
[提示] 3条平行的，4条相交的，4条既不平行也不相交的，有2个面经过它．
3．对于指定的一个墙面，其余的墙面中，有几个与它相交？有几个与它平行？
[提示] 4个相交的，1个平行的．
∈
∈
同一
l∥n
一个
m∩n＝A
任何一个
无数
一个
b∩α＝A
没有
m∥α
α∥γ
α∩β＝l
两点
所有的点
在平面内
不在同一条直线
有且只有
有且只有
有一个公共点
有且只有
α∩β＝l且A∈l
解析： 直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．故选D.
答案： D
答案： D
解析： 直线与平面平行时，可以否定(1)(2)，直线与平面相交时可以否定(3)，对于(5)，c与b可以相交．故只有(4)正确．
答案： (4)
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[思路探究] (1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断；
(2)可借助空间中的实物模型判断．
答案： (1)α∩β＝l
答案： C
答案： (1)B (2)M∈α
[思路探究] 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．
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5．2 平行关系的性质
自主学习·新知突破
[提示] 过直线l作一平面与已知平面相交，则交线为所求．
任意一个平面
交线
相交
平行
α∩γ＝a
β∩γ＝b
答案： A
答案： B
答案： 15
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[思路探究] 从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.
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D
C
D
A
L
C
B
D1
H
A
DK-+--4
C
A
A
D
A
B
E
F
Bk
>
TPY
BI
B
D
B
E
妙力C
G
CFC(共46张PPT)
第二课时 平面与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
[提示] a⊥β，b与β不垂直，它们的不同点在于a与l垂直而b与l不垂直．
[提示] 垂直．
在一个平面内
它们交线
解析： a与β三种位置关系都有可能．
答案： D
答案： A
3．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个语句：
①α⊥γ，β⊥γ α⊥β；②α⊥γ，β∥γ α⊥β；③l∥α，l⊥β α⊥β
其中正确的有________．(填序号)
解析： 以正方体或教室为模型可以判断出①不正确，②③均正确．
答案： ②③
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C
B
B
D
M
B
D
C
C
O
规范解答
精析细研
解析:(1)证明:设
①因为AD垂直
G为AD的中点,连
△PAD为正三角
接PG,BC,如图
于平面PGB内
C
E两条相交直线
形,PC⊥AD.
BG,PG,所以AD
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,C为AD平面PCB
的中点,BG⊥AD
②因为AD⊥平
又BC∩PG=G,AD⊥平面PCB.①
面PCB,所以AD
PBE平面PGB,,AD⊥PB.②
垂直于平面PGB
(2)当F为PC的中点时,满足平面DEF:内所有直线
⊥平面ABCD
③因为平面
设F为PC的中点,则在△PBC中,FE∥DEF中的两条
PB.在菱形ABCD中,CB∥DE,
相交直线EF
而FE军平面DEF,DEE平面DEF,
DE平行于平面
EF∩DE=E.
PGB中两条相
平面DEF∥平面PCB.③
:交直线,所以两
由(1)得PC⊥平面ABCD,
平面平行
而PCE平面PGB
④若平面a∥B,
平面PGB⊥平面ABCD,
a⊥y,则B⊥y.
平面DEF⊥平面ABCD④
F
B
M
D
E
A
M
D
A
C
B
A
C
B
D个
C
B(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A.πr3
B.πr3
C.πr3
D.πr3
解析： 设底面半径为r′，则2πr′＝πr，
∴r′＝.∴圆锥的高h＝＝r.
∴V锥＝πr′2×h＝π××r＝πr3.
答案： C
2．在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
解析： V正方体－8V三棱锥＝1－8×××××＝，故选D.
答案： D
3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
解析： 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.
答案： B
4．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( )
A．1∶1∶1
B．1∶1∶2
C．1∶2∶4
D．1∶4∶4
解析： 设棱台的高为h，S△ABC＝S，
则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh.
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh.∴体积之比为1∶2∶4.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知圆锥的母线长为5
cm，侧面积为15π
cm2，则此圆锥的体积为________cm3.
解析： 设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，
∴h＝＝4.
∴其体积V＝Sh＝πr2h＝×π×32×4＝12π.
答案： 12π
6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．
解析： 设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DC＝a2＋b2，∴×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝×8×4＝8.
答案： 8
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，正三棱锥O－ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
解析： 由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，
经计算得底面△ABC的面积为.
所以该三棱锥的体积为
××1＝.
设O′是正三角形ABC的中心．
由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.
延长AO′交BC于D，
得AD＝，O′D＝.
又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.
故侧面积为×2××3＝2.
所以该三棱锥的表面积为＋2＝3.
因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.
8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2.
解析： 通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．
设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.
又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S×h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.
??☆☆☆
9．(10分)如图是一个底面直径为20
cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6
cm，高为20
cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？
解析： 因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为x
cm，
则小圆柱的体积为π2x＝100πx.
所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6，
故杯里的水将下降0.6
cm.(共51张PPT)
垂直关系的判定(2)
自主学习·新知突破
[提示] 垂直．
[问题2] 若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？
[提示] 可以，只需在一平面内找一线垂直于另一平面即可．
两部分
每一部分
两个半平面
这条直线
两个半平面
α－AB－β
2∠α－AB－β
任意一点
垂直于棱
平面角是直角
直二面角
α⊥β
AB⊥平面α
垂线
解析： 与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个．
答案： C
答案： B
答案： 45°
合作探究·课堂互动
[思路探究] (1)用面面垂直的判定定理；
(2)先证线面垂直，再证线线垂直．
[规律方法] 解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系，即线线垂直 线面垂直 面面垂直．
[思路探究] 1.如何利用二面角的平面角的定义作二面角的平面角？
2．除了利用二面角的平面角的定义作二面角的平面角，还可以用哪些方法
【错解】 设AC与CD的交点为O，则B1O是截面ACB1与对角
面BD1的交线．因为B1O是底面的斜线，所以截面ACB1与底面不垂直，从而截面ACB1不可能与对角面BD1垂直．
【错因】 错解从B1O与底面不垂直，就断定截面ACB1不可能与对角面垂直，这是没有根据的．
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③
B．②
C．②④
D．①②④
解析： 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．
答案： A
2．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )
A．a∥α
B．a α
C．a⊥α
D．a是α的斜线
解析：
答案： C
3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析： 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案： C
4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析： 如图取B1D1的中点O1，连接A1O1，易证A1O1⊥平面DD1B1B.连接O1B，则O1B为A1B在平面DD1B1B内的射影，∴∠A1BO1为所求的线面角．在Rt△A1O1B中，sin∠A1BO1＝＝，∴∠A1BO1＝30°.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．
解析： 如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.
又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形．
答案： 菱形
6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
解析： tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
答案： 30°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1.
证明： ∵AA1⊥底面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.
又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.
而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B.
∵AD 平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.
∴AD2＋A1D2＝AA，
∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，
∴AD⊥平面A1DC1.
8．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD对角线的交点，而CDE是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝BC，设BC＝CD.
求证：EO⊥平面CDF.
证明： 如图所示，取CD中点M，连接EM，FM，OM，FO.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OM∥AD∥BC，
且OM＝AD＝BC.
又EF∥BC且EF＝BC，
∴四边形EFOM是平行四边形．
又△CDE是等边三角形，CM＝DM.
∴EM⊥CD，且EM＝CD＝CB＝EF，
∴四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
∵CD⊥OM，CD⊥EM，EM∩OM＝M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.
而FM∩CD＝M，
∴EO⊥平面CDF.
??☆☆☆
9．(10分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，求PA与平面ABC所成角的大小．
解析： 画出三棱柱ABC－A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．
如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC－A1B1C1＝S·PO＝，∴PO＝.
又AO＝××＝1，∴tan∠PAO＝＝，
∴∠PAO＝.(共40张PPT)
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定
自主学习·新知突破
[提示] 水平仪放置两次即得到两条相交直线，而每一条都与桌面平行，这样桌面与水平面平行，桌面就水平．
[问题2] 上述问题中给出了判断两平面平行是一种怎样的方法？
[提示] 在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可．
[问题3] 若一个平面内有两条甚至无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
[提示] 不一定，也可能相交．
平面外
平面内
一条直线平行
两条相交
答案： D
2．正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
解析： 正六棱柱两底面互相平行，六个侧面中，每对相对的侧面互相平行，故共有4对面互相平行．
答案： D
答案： CD和A1B1
合作探究·课堂互动
[思路探究] 1.当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
2．怎样证明平面D1BQ∥平面PAO
【正解】 C
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A
B1
C
B
C
A
C1
M
B
A
D1
B1
E
D
B(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ②圆锥和④正四棱锥的主视图和左视图相同．
答案： D
2．对于三棱锥的三视图，下列说法正确的是( )
A．三视图可以是全等的三角形
B．三视图中主视图和左视图可以是全等的三角形，但俯视图不可能与其全等
C．三视图中主视图和俯视图可以是全等的三角形，但左视图不可能与其全等
D．三视图中左视图和俯视图可以是全等的三角形，但主视图不可能与其全等
解析： 如图，正方体中截出的三棱锥A1－ABD的三视图是全等的等腰直角三角形，因此三棱锥的三视图可以是全等的三角形，故选A.
答案： A
3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
解析： 由所给图形可知，左视图是矩形，注意中间的线段，故左视图为D.
答案： D
4．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如图．其中真命题的个数是( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
解析： 把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个________．
解析： 由三视图可知该几何体是正四棱台．
答案： 正四棱台
6．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析： 三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其主视图是三角形，其余的主视图均不是三角形．
答案： ①②③⑤
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图．
解析： (1)可能为球、圆柱，如图．
(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图．
(3)可能为四棱柱，如图．
8．下图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．
解析： 由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合左视图和主视图，可知该几何体是由上面一个圆柱，下面一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的形状如图所示．
??☆☆☆
9．(10分)如图是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，并求出x，y的值．
解析： 根据三种视图长度之间的关系可知解得(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．有下列命题，其中正确的是( )
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
解析： 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”．故①③错误，②④正确．
答案： D
2．一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是( )
A．棱锥
B．棱柱
C．平面
D．长方体
解析： 平移后形成的几何体是以此多边形(起点处和终点处)为两底面的棱柱，故选B.
答案： B
3．如图，E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱锥
D．五面体
解析： 选择左右两个平行平面为底面，则它符合棱柱的结构特征，故选A.
答案： A
4．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析： A是错误的，例如由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是棱锥；B是错误的，直角三角形绕着直角边旋转一周形成的面所围成的几何体才是圆锥；C是错误的，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列命题中错误的是________．
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；
②圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
③圆台的所有平行于底面的截面都是圆；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
解析： 因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，过圆锥顶点的截面面积最大，当夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的．
答案： ②
6．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．
解析： 三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．
答案： 圆锥挖去一个球的组合体
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．画一个三棱台，再把它分成
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解析： (1)如图①，三棱柱是A′B′C′－AB″C″.
(2)如图②，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.
8．观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
解析： 图①是由圆柱中挖去圆台形成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．
??☆☆☆
9．(10分)如图所给的平面图形是由Rt△EDC和正方形ABCD所构成的，现分别绕A、D、E所在的直线l1和BC所在的直线l2旋转一周，试分析所形成的两个几何体的结构特征．
解析： 当绕直线l1旋转时，所得的是一个上面是圆锥、下面是圆柱的组合体；当绕直线l2旋转时，得到的是将一个圆柱中挖去一个圆锥所得到的组合体．(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
解析： 如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD.
又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.
答案： C
2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析： A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．
答案： D
3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析： 由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.
答案： D
4．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析： 如图所示，
∵DF∥BC，BC平面PDF，
∴BC∥平面PDF.∴A正确；
连接AE，PE，则BC⊥AE，BC⊥PE.
∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，DF⊥平面PAE，故B正确，又BC⊥平面PAE，
∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．
解析： ∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，
又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.
答案： 垂直
6．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有________对．
解析： 由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知平面PAD⊥平面ABCD和平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD，知平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB，知平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD，知平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的平面共有5对．
答案： 5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明： 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，又B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.
证明： (1)连接AC，AF，BF.
∵SA⊥平面ABCD，
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，
∴AF＝SC.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CB⊥AB.
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，
∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，
∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，
∴BF＝SC，∴AF＝BF，∴△AFB为等腰三角形．
∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.
又CD∥AB，∴EF⊥CD.
(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，
∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.
又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，∴EF⊥平面SCD.
又EF平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.
??☆☆☆
9．(10分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．
解析： (1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)如图，过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM 平面ABC，
所以PA⊥CM.
又因为PA∩AB＝A，且PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以CM⊥平面PAB.
过M作MN⊥PB于N，连接NC，
易证CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，
得BC＝，CM＝，BM＝.
在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，
所以＝，所以MN＝.
所以在Rt△CNM中，CN＝，所以cos∠CNM＝，
所以二面角C－PB－A的余弦值为.(共35张PPT)
7．3 球的表面积和体积
自主学习·新知突破
4πR2
答案： C
答案： B
答案： 8π
合作探究·课堂互动
[思路探究] 求球的体积和表面积的关键是什么
？
答案： (1)B
答案： (1)B (2)C
[思路探究] 1.题(1)中由三视图可得到什么样的几何体？
2．题(2)中由三视图可得到什么样的几何体
？
答案： (1)C
答案： (1)B (2)9π
[思路探究] 作出截面图，如何求出三个球的半径呢
？
答案： (1)C (2)B
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正视图
侧视图
俯视图
3
正视图
侧视图
俯视图
√2
X(共37张PPT)
§3 三视图
自主学习·新知突破
基本几何体
拼接
切掉
挖去
主视图
主视图
左视图
俯视图
左视图
正前方
正上方
正左侧
解析： 由实物图知，该物体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成，结合它们的轮廓和交线，它的俯视图应为C.
答案： C
答案： D
解析： 根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．
答案： 三棱柱
合作探究·课堂互动
解析： (1)四棱锥的三视图如下图所示．
(2)圆台的三视图如下图所示．
[思路探究] 1.应如何由三视图判断几何体是柱体还是锥体？
2．怎样根据三视图判断几何体是否为旋转体
？
解析： A和B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
答案： D
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圆柱主视图左视图
俯视图
圆锥主视图左视图
俯视图
球主视图左视图
俯视图
(3)
B
主视
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( )
A.π
B．
C．8π
D．π
解析： 设球的半径为R，截面的半径为r.
∴πr2＝π.∴r＝1.∴R＝.
∴V＝πR3＝()3＝π.
答案： D
2．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则( )
A．V甲＞V乙且S甲＞S乙
B．V甲＜V乙且S甲＜S乙
C．V甲＝V乙且S甲＞S乙
D．V甲＝V乙且S甲＝S乙
解析： 64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲＝64×π·3＝πa3，表面积之和为S甲＝64×4π2＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝π
a3，表面积为S乙＝4πa2.所以V甲＝V乙且S甲＞S乙，故选C.
答案： C
3．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A.
B.
C.
D．
解析： 设正方体的棱长为a，球的半径为R，则
6a2＝4πR2，即a＝R.
∴V正＝a3＝R3，V球＝πR3，∴＝.
答案： D
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对
解析： 设球的半径为R.则2R＝＝5.
∴S表＝4πR2＝π(2R)2＝π(5)2＝50π.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析： 由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，
S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
答案： 3π
6．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析： 过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π.
答案： 24π
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知高与底面直径之比为2∶1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，求球的体积．
解析： 设圆柱的底面半径为r，高为h，球的半径为R，
则＝，∴h＝4r.
∵V柱＝500π，∴πr2h＝500π，
即πr2·4r＝500π，
∴r3＝＝125，∴r＝5.
由圆柱内接于球知：R＝
＝＝r，
即R＝5，
∴V球＝πR3＝π(5)3＝π.
即V球＝π.
∴球的体积为π.
8．如图，一个长、宽、高分别为80
cm,60
cm,55
cm的水槽中有水200
000
cm3.现放入一个直径为50
cm的木球，如果木球的在水中，在水上，那么水是否会从水槽中流出？
解析： 水槽的容积V＝80×60×55＝264
000(cm3)，
木球的体积V木＝π×253≈65
417(cm3)．
∵200
000＋65
417×≈243
611＜V，
∴水不会从水槽中流出．
??☆☆☆
9．(10分)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在一个球面上，求此球的表面积．
解析： 由题意可知，该四面体是正四面体，则根据正四面体与球的对称性可知球心在四面体的高线上，且球心到各顶点的距离相等，如图所示，在四面体S－ABC中，高为SD，O为外接球的球心，设球的半径为R，
则OS＝OC＝R.又四面体所有棱长都为，
所以CD＝＝，
SD＝＝.
在Rt△ODC中，OC2＝OD2＋CD2，
即R2＝2＋2，
解得R＝，所以S球＝4πR2＝3π.(共42张PPT)
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定(1)
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[提示] 相交．
[问题2] 直线与平面也能形成角吗？
[提示] 能．
[问题3] 直线与平面形成的角同异面直线所成角一样都是由空间角转化为平面角吗？
[提示] 是．
任何一条
垂直
横边
两条相交直线
a∩b＝A
答案： A
解析： ∵BA⊥α，α∩β＝l，
∴BA⊥l.同理CB⊥l.
而BA∩CB＝B，
∴l⊥平面ABC，而AC 平面ABC，
∴l⊥AC.
答案： C
答案： (1)AB，BC，AC (2)BC
证明：AD⊥C1E.
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[思路探究] 证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直．
[思路探究] (1)欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF.
(2)欲证AG⊥SD，可证AG⊥平面SCD.
【错因】 (1)三角形全等不能推出∠AOP、∠BOP、∠COP为90°.
(2)PO⊥OA，PO⊥OB，不能推出PO⊥平面ABC，需添加条件OA∩OB＝O.
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A
C
A
C
A
B
C
B
B
D
B
D)为
D-5
C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列判断正确的是( )
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③
B．②④
C．②③④
D．③④
解析： ①②中两个平面可以相交；③是两个平面平行的定义；④是两个平面平行的判定定理，故选D.
答案： D
2．使平面α∥平面β的一个条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内两条直线
解析： A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
答案： D
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．面内
D．无法判断
解析： 连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接OB(图略)，显然OB∥EF，根据线面平行的判定定理可知，EF∥平面BB1D1D，故选A.
答案： A
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解析： ∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，
∴EF∥BD且EF＝BD.
又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG綊BD.
∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH为梯形．
∵BD平面BCD且EF 平面BCD.∴EF∥平面BCD.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)
解析： ①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②，③中，AB均与平面MNP相交．
答案： ①④
6．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析： 由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC平面ABC，EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.
答案： 平行
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
证明： 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.
∴D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
8．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：
(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
证明： (1)取PC中点H，分别连接EH，FH.
∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，
∴EH綊DC，AF綊DC.∴EH綊AF.
∴EAFH为平行四边形．∴EA∥FH.
又AE 平面PCF，FH平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
(2)∵E，G分别为PD，CD的中点，
∴EG∥PC.
又EG 平面PCF，PC平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.
∴平面PCF∥平面AEG.
??☆☆☆
9．(10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．
解析： 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA.
连接DB，∵P，O分别为DD1，DB的中点，
∴D1B∥PO.
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，
∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.(共43张PPT)
第二课时 公理4与等角定理
自主学习·新知突破
[提示] 仍然成立．
[提示] ∠BAC与∠B′A′C′的对应边互相平行，∠BAC＝∠B′A′C′，对于另外两组对应角也是同样的关系．
平行
a∥c
对应平行
相等或互补
锐角或直角
0°<θ≤90°
90°
答案： D
2．两条异面直线不可能( )
A．同垂直于一条直线
B．同平行于一条直线
C．同平行于一个平面
D．与一条直线成等角
解析： 由公理4知，平行于同一直线的两直线平行，故两异面直线不能同平行于一条直线．
答案： B
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线中，与AD1成60°角的有________条．
解析： 在所有面对角线中，除AD1，A1D，BC1和B1C四条以外，其余8条均与AD1成60°的角．
答案： 8
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
谢谢观看！
A
B
F
A
B
A
B
F
A
B
C
B
D
C
二5
9c
c
A
B
dc
A
(1)(共45张PPT)
6.2 垂直关系的性质
第一课时 直线与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线既可能是平行的，也可能是相交的，也可能是异面直线．
[提示] 能确定，互相平行．
平行
a∥b
答案： B
答案： D
3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
解析： ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥CD，
又可设AB＝10，∴CD＝5，
由EC＝12，故ED＝13.
答案： 13
合作探究·课堂互动
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到一条直线与DF平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线．
高效测评·知能提升
谢谢观看！
C
E
F
A
nD
C
D
B
C
A
M
B
C
A
M
B
B
Q
B
22
2√2
>O
主视图
左视图
图1
图2
C
A
A