福建省厦门市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知{an}是等比数列，a1=2，a4=16，则数列{an}的公比q等于（　　）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
2．设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离为8，则点M的横坐标为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．设实数x、y满足，则z=2x+y的最小值为（　　）
A．6
B．10
C．﹣6
D．﹣8
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=acosC，则角C为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知{an}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n等于（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
7．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．
x±y=0
D．xy=0
8．已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，若a2 a14=4a8，b8=a8，则数列{bn}的前15项和等于（　　）
A．30
B．40
C．60
D．120
9．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜﹣1，x2＞1，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．a＞1
C．﹣1＜a＜1
D．a＞2或a＜﹣2
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等比数列，则cosB的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=tex﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．t≤1
B．t≤2﹣2
C．t≤2
D．t≤2﹣3
12．从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[，]，则该矩形面积的取值范围是（　　）
A．[m2，2m2]
B．[2m2，3m2]
C．[3m2，4m2]
D．[4m2，5m2]
　
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
13．命题p： x∈R，ex≥1，写出命题p的否定：　　．
14．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　　．
15．已知函数f（x）=，若an=f（n）（n∈N
），则数列{an}的前50项和等于　　．
16．一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于　　．
　
三、解答题（本大题共有6小题，共70分）
17．关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（Ⅰ）求a+b；
（Ⅱ）若不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，求c的取值范围．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面积．
19．已知数列{an}满足a5=13，an+1﹣an=3（n∈N
），数列{bn}的前n项和Sn=1﹣（n∈N
）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，比较Tn与4的大小．
20．已知直线l与抛物线y2=﹣x相交于A，B两点．A，B在准线上的摄影分别为A1，B1．
（Ⅰ）若线段AB的中点坐标为（﹣4，1），求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l方程为x=my﹣1，m∈R，求梯形AA1B1B的面积（用m表示）．
21．某公司要招聘甲、乙两类员工共150
( http: / / www.21cnjy.com )人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．
（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？
（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元
( http: / / www.21cnjy.com )，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w甲千元和w乙千元，试比较w甲和w乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）
22．在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|=，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
　
2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知{an}是等比数列，a1=2，a4=16，则数列{an}的公比q等于（　　）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a4=，∴16=2q3，解得q=2．
故选：A．
　
2．设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】解：因为x∈R，“x＞1“ “x3＞1”，
所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．
故选：C．
　
3．已知抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离为8，则点M的横坐标为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标．
【解答】解：抛物线y2=12x的准线方程为x=﹣3，
∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于8，
∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，
∴可得所求点的横坐标为5．
故选D．
　
4．设实数x、y满足，则z=2x+y的最小值为（　　）
A．6
B．10
C．﹣6
D．﹣8
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数必须为y=﹣2x+z，当此直线经过图中C（﹣2，﹣2）时z最小，为﹣2×2=﹣6；
故选：C．
　
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=acosC，则角C为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，根据sinA不为0，求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinAcosC，
即sin（B+C）=sinAcosC，
变形得：sinA=sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=，
∴由C∈（0，π），可得∠C=．
故选：B．
　
6．已知{an}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n等于（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式先求出公差，再求出等差数列前n项和公式，由此利用配方法能求出{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，
∴﹣26+7d﹣26+12d=5，
解得d=3，
∴Sn=﹣26n+==（n﹣）2+，
∴{an}的前n项和Sn取最小值时，n=9．
故选：B．
　
7．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．
x±y=0
D．xy=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题设知b=×2c，因此b=c，a=c，所以=，由此可求出其渐近线方程．
【解答】解：对于双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为=b，
所以b=×2c，
因此b=c，a=c，
所以=
因此其渐近线方程为x±y=0．
故选：D．
　
8．已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，若a2 a14=4a8，b8=a8，则数列{bn}的前15项和等于（　　）
A．30
B．40
C．60
D．120
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等比数列通项公式求出b8=a8=4，由此利用等差数列前n项和公式能求出数列{bn}的前15项和．
【解答】解：∵{an}是等比数列，{bn}是等差数列，a2 a14=4a8，b8=a8，
∴=4a8，解得b8=a8=4，
∴数列{bn}的前15项和为：
S15=（b1+b15）=15b8=15×4=60．
故选：C．
　
9．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜﹣1，x2＞1，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．a＞1
C．﹣1＜a＜1
D．a＞2或a＜﹣2
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】由题意设f（x）=x2+ax﹣2，由条件、函数与方程的关系、一元二次函数的图象列出不等式，求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意设f（x）=x2+ax﹣2，
∵方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，
且x1＜﹣1，x2＞1，
∴，则，
解得﹣1＜a＜1，
故选：C．
　
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等比数列，则cosB的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由a，2b，c成等比数列，知4b2=ac，由此利用余弦定理和基本不等式能求出cosB的最小值．
【解答】解：∵a，2b，c成等比数列，∴4b2=ac，
∴cosB==﹣≥1﹣=．
当且仅当a=c时，取等号，
∴cosB的最小值为．
故选：D．
　
11．已知函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=tex﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．t≤1
B．t≤2﹣2
C．t≤2
D．t≤2﹣3
【考点】函数恒成立问题．
【分析】设F（x）=f（x）﹣g（x），则
( http: / / www.21cnjy.com )F（x）=f（x）﹣g（x）=e2x﹣tex+1﹣t对任意x∈R，最小值为0，由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），
∵函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=tex﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，
∴F（x）=f（x）﹣g（x）=e2x﹣tex+1﹣t对任意x∈R，最小值为0，
F′（x）=2e2x﹣tex，由F′（x）=0，得x=ln，
∴F（ln）=﹣te+1﹣t≥0，
整理，得t2+4t﹣4≤0，
解得﹣2﹣2＜t＜2﹣2．
故选：B．
　
12．从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[，]，则该矩形面积的取值范围是（　　）
A．[m2，2m2]
B．[2m2，3m2]
C．[3m2，4m2]
D．[4m2，5m2]
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】在第一象限内取点（
( http: / / www.21cnjy.com )x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由e∈[，]，∴ 2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2即可
【解答】解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ 2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
椭圆的离心率为e，且e∈[，]，∴ 2b≤a≤，
得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面积的取值范围是[4m2，5m2]．
故选：D．
　
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
13．命题p： x∈R，ex≥1，写出命题p的否定：　 x∈R，ex＜1　．
【考点】命题的否定．
【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可
【解答】解：∵命题p： x∈R，ex≥1，
∴命题p的否定是“ x∈R，ex＜1”
故答案为： x∈R，ex＜1
　
14．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　﹣＜m＜1　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则必有，
解可得：﹣＜m＜1，
即m的取值范围是﹣＜m＜1，
故答案为：﹣＜m＜1．
　
15．已知函数f（x）=，若an=f（n）（n∈N
），则数列{an}的前50项和等于　　．
【考点】数列的求和．
【分析】n≤7时，an=f（n）=2n
( http: / / www.21cnjy.com )﹣10，可得a6=f（6），a7=f（7）．x＞7时，a8=f（8）=，a9=f（9）=，n≥10时，an=f（n）==f（n﹣4）．即可得出．
【解答】解：n≤7时，an=f（n）=2n﹣10，
∴a6=f（6）=2×6﹣10=2，a7=f（7）=2×7﹣10=4．
n＞7时，a8=f（8）==，a9=f（9）==，a10=f（10）==f（6）=2，a11=f（11）==f（7）=4，
a12=f（12）==f（8）=，…，n≥10时，an=f（n）==f（n﹣4）．
∴数列{an}的前50项和为：
+11×=．
故答案为：．
　
16．一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于　15　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】设三角形三边是连续的三个自
( http: / / www.21cnjy.com )然n﹣1，n，n+1，三个角分别为α，π﹣3α，2α，由正弦定理求得cosα=，再由余弦定理可得
（n﹣1）2=（n+1）2+n2﹣2（n+1）n ，求得n=5，从而得出结论．
【解答】解：设三边长分别为n﹣1，n，n+1，对应的角为A，B，C，
由题意知C=2A，
由正弦定理得=
即有cosA=，
又cosA==
所以=，
化简为n2﹣5n=0，解得n=5，
所以三边分别为4，5，6，其周长=4+5+6=15．
故答案为：15．
　
三、解答题（本大题共有6小题，共70分）
17．关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（Ⅰ）求a+b；
（Ⅱ）若不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，求c的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求和；
（Ⅱ）把b=6代入不等式﹣x2+bx+c＞0，由判别式△≤0求出c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：方程x2﹣ax+b=0的两根为2和3，…
所以，
解得，…
所以a+b=11；
…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=6，
因为不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，
所以△=62+4c≤0，…
解得c≤﹣9，
所以c的取值范围为（﹣∞，﹣9]．
…
　
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCA=∠CAB=45°，进而利用正弦定理可求AD的值．
（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，利用正弦定理可求AC，由余弦定理可求AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为AB∥CD，
所以∠DCA=∠CAB=45°，…
因为，…
所以AD==2﹣2．
…
（Ⅱ）∠ADC=180°﹣（30°+45°）=105°，
所以，sin∠ADC=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，…
因为=，
所以AC=2，…
设AB=x，
因为，BC2=AC2+AB2﹣2AC ABcos∠CAB，
可得：x2﹣2x﹣6=0，
所以，AB=3，…．
所以，S△ABC=AC ABsin∠CAB=3．
…
　
19．已知数列{an}满足a5=13，an+1﹣an=3（n∈N
），数列{bn}的前n项和Sn=1﹣（n∈N
）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，比较Tn与4的大小．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用等差数列的通项公式可得an．利用数列递推关系可得bn．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵an+1﹣an=3（n∈N
），∴数列{an}为等差数列，公差d=3，
又a5=a1+4d=13，得a1=1，∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
又因为数列{bn}的前n项和为Sn=1﹣（n∈N
）．，
当n=1时，b1=S1=，
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=1﹣﹣=．，
∴bn=．
综上：an=3n﹣2，bn=．
（Ⅱ）anbn=（3n﹣2）．
Tn=1×+7×+…+（3n﹣2）×，
=+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，
得：
=﹣（3n﹣2）×=﹣（3n﹣2）×，
∴Tn=1+3﹣（3n﹣2）×=4﹣＜4．
　
20．已知直线l与抛物线y2=﹣x相交于A，B两点．A，B在准线上的摄影分别为A1，B1．
（Ⅰ）若线段AB的中点坐标为（﹣4，1），求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l方程为x=my﹣1，m∈R，求梯形AA1B1B的面积（用m表示）．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）分类讨论，利用线段AB的中点坐标为（﹣4，1），设出直线方程，利用韦达定理，求出k，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l方程为x=my﹣1，m∈R，求出上底、下底、高，即可求梯形AA1B1B的面积（用m表示）．
【解答】解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=﹣4，此时AB中点坐标为（﹣4，0），不符合题意
…．
当直线l斜率存在时，因为直线与抛物线交于两不同点，所以斜率不为0，
设直线l方程为：y﹣1=k（x+4），即y=kx+4k+1（k≠0），
代入抛物线方程得：k2x2+（8k2+2k+1）x+（4k+1）2=0…
设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B中点坐标为（﹣4，1），所以x1+x2=﹣8，
所以=﹣8，得k=﹣…
直线l的方程为y﹣1=﹣（x+4），即x+2y+2=0…
（Ⅱ）联立x=my﹣1与抛物线方程得：y2+my﹣1=0．
所以y1+y2=﹣m，y1y2=﹣1
…..
又|AA1|=﹣x1+=﹣my1+，|BB1|=﹣x2+=﹣my2+，
所以|AA1|+|BB1|=﹣my1+﹣my2+=m2+
|A1B1|=|y1﹣y2|=，
∴梯形AA1B1B的面积S=…..
　
21．某公司要招聘甲、乙两类员工共
( http: / / www.21cnjy.com )150人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．
（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？
（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元，
( http: / / www.21cnjy.com )记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w甲千元和w乙千元，试比较w甲和w乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为，求出公司每月所付的基础工资总额，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，w甲=2+a
( http: / / www.21cnjy.com )x，w乙=3+bx2，w乙﹣w甲=（3+bx2）﹣（2+ax）=bx2﹣ax+1（a＞0，b＞0，x＞0），分类讨论，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为，公司每月所付的基础工资总额为y千元，
因为x≤2，所以0＜x≤100，x∈N…
因为y=2x+3=450﹣x…
x=100时，ymin=350，
所以甲类员工招聘100人，乙类员工招聘50人
时，公司每月所付的基础工资
总额最少为
350000元…
（Ⅱ）由已知，w甲=2+ax，w乙=3+bx2…
w乙﹣w甲=（3+bx2）﹣（2+ax）=bx2﹣ax+1（a＞0，b＞0，x＞0）…
△=a2﹣4b
（
i）当△＜0，即a2＜4b时，bx2﹣ax+1=0无实数根，
此时w乙﹣w甲＞0，即w乙＞w甲；…
（
ii）当△=0，即a2=4b时，bx2﹣ax+1=0有两个相等正实根，
①当x=时，w乙=w甲；…
②当x＞0且x≠时，w乙＞w甲；…
（
iii）当△＞0，即a2＞4b时，bx2﹣ax+1=0有两个不相等正数根和，
①当x∈（0，）∪（，+∞）时，w乙＞w甲；…
②当x∈（，）时，w乙＜w甲；…
③当x=或时，w乙=w甲…
　
22．在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|=，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）设G（x，
( http: / / www.21cnjy.com )y），P（x0，y0），所以Q（0，y0），由中点坐标公式得x0=2x，y0=y，由P（x0，y0）在圆O上，能求出C的方程．
（Ⅱ）求出点O到直线l的距离d=，当直线l斜率不存在时，∠EOF=90°；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx+m，求出5m2=4（k2+1），由得：（4+k2）x2+2mkx+m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，向量数量积求出∠EOF=90°．由此得到∠EOF=90°为定值．
【解答】解：（Ⅰ）设G（x，y），P（x0，y0），所以Q（0，y0），…
因为点G是线段PQ中点，所以x0=2x，y0=y，…..…..…
又P（x0，y0）在圆O上，所以（2x）2+y2=4，
即C的方程为：．…
（Ⅱ）设点O到直线l的距离为d，则d===，…
当直线l斜率不存在时，直线l方程：x=±，代入椭圆方程得：y=，
不妨设E（），F（，﹣），此时∠EOF=90°，…
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx+m，得kx﹣y+m=0，
所以d==，所以5m2=4（k2+1），…
由得：（4+k2）x2+2mkx+m2﹣4=0，…
（k2+16）＞0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），所以，，
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2
=（1+k2）+mk+m2=，…
把5m2=4（k2+1）代入上式得：
=0，所以OE⊥OF，即∠EOF=90°．
综上所述∠EOF=90°为定值．…
　
2017年3月14日