陕西省西安二十五中2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年陕西省西安二十五中高一（上）期末数学试卷
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题答案填入下答题栏内）
1．圆锥过轴的截面是（　　）
A．圆
B．等腰三角形
C．矩形
D．抛物线
2．如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（　　）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．在平面内
D．平行或在平面内
4．若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．0
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（　　）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
6．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距为（　　）
A．
B．
C．
D．2
8．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（　　）
A．2
B．﹣8
C．2或﹣8
D．8或2
9．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（　　）
A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10
B．（x﹣6）2+（y+5）2=10
C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10
D．（x﹣5）2+（y+6）2=10
11．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
12．已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的最大距距离是（　　）
A．1
B．4
C．5
D．6
　
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．已知球的直径为4，则该球的表面积积为　　．
14．已知圆的圆心在点（1，2），半径为1，则它的标准方程为　　．
15．已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x﹣y﹣1=0的距离是　　．
16．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m α，l β且l⊥m，则α⊥β；
④若l β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m α，l β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是　　．（把你认为正确命题的序号都填上）
　
三．解答题（本大题共5小题，总分52分）
17．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，分别求满足下列条件的直线方程
（1）过点P且过原点的直线方程；
（2）过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程．
18．求圆心在l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得弦长为的圆的方程．
19．已知圆x2+y2=4和圆外一点p（﹣2，﹣3），求过点p的圆的切线方程．
20．如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
（1）PC∥平面EBD；
（2）BC⊥平面PCD．
21．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=，AB=2．求证：
（1）求棱锥P﹣ABCD体积；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E﹣BD﹣C的大小．
　
2016-2017学年陕西省西安二十五中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题答案填入下答题栏内）
1．圆锥过轴的截面是（　　）
A．圆
B．等腰三角形
C．矩形
D．抛物线
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据圆锥的形状特点判断即可．
【解答】解：圆锥的轴垂直于底面且经过圆锥的底面的圆心，因此圆锥的轴与将轴截面分成了两个全等的三角形，
因此，轴截面应该是等腰三角形．故选B．
　
2．如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（　　）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项．
【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；
（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（
3）三视图复原的几何体是圆锥；
（4）三视图复原的几何体是圆台．
所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．
故选C．
　
3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．在平面内
D．平行或在平面内
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那这条直线与另一个平面的位置关系是直线与平面平行或者直线在平面上．
【解答】解：如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，
那这条直线与另一个平面的位置关系是直线与平面平行或者直线在平面上，
故选D．
　
4．若直线l经过原点和点A（﹣2，﹣2），则它的斜率为（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．0
【考点】斜率的计算公式．
【分析】把原点坐标（0，0）和点A的坐标（﹣2，﹣2）一起代入两点表示的斜率公式
k=，即可得到结果．
【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k===1，
故选
B．
　
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（　　）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．
【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．
【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．
故选：D．
　
6．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题．
【解答】解：由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，
即：4×=
故选D．
　
7．经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．
【分析】先由两点式求方程，再令y=0，我们就可以求出经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距
【解答】解：由两点式可得：
即2x﹣y+3=0
令y=0，可得x=
∴经过两点（3，9）、（﹣1，1）的直线在x轴上的截距为
故选A．
　
8．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（　　）
A．2
B．﹣8
C．2或﹣8
D．8或2
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，
所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．
故选C．
　
9．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】直线的一般式方程．
【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案
【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为，
又AC＜0，BC＜0
∴AB＞0，∴，
∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．
故答案选C．
　
10．圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（　　）
A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10
B．（x﹣6）2+（y+5）2=10
C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10
D．（x﹣5）2+（y+6）2=10
【考点】圆的标准方程．
【分析】要求圆的方程，因为已知圆心坐标，只需求出半径即可，所以利用两点间的距离公式求出|BC|的长度即为圆的半径，然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：因为|BC|==，
所以圆的半径r=，又圆心C（6，5），
则圆C的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣5）2=10．
故选A．
　
11．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．
【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A
∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角
而三角形D1AC为等边三角形
∴∠D1AC=60°
故选C．
　
12．已知直线l的方程为3x+4y﹣25=0，则圆x2+y2=1上的点到直线l的最大距距离是（　　）
A．1
B．4
C．5
D．6
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径，即可求出圆x2+y2=1上的点到直线l的最大距离．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==5，
∴圆x2+y2=1上的点到直线l的最大距离是5+1=6，
故选D．
　
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．已知球的直径为4，则该球的表面积积为　16π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】直接利用球的表面积公式求解即可．
【解答】解：球的直径为4，球的半径为：2，
球的表面积为：4π×22=16π．
故答案为：16π．
　
14．已知圆的圆心在点（1，2），半径为1，则它的标准方程为　（x﹣1）2+（y﹣2）2=1　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】已知圆心与半径，可以直接写出圆的标准方程．
【解答】解：∵圆的圆心在点（1，2），半径为1，
∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1
　
15．已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x﹣y﹣1=0的距离是　　．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．
【解答】解：由已知得圆心为：P（2，0），
由点到直线距离公式得：；
故答案为：
　
16．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m α，l β且l⊥m，则α⊥β；
④若l β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m α，l β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是　①④　．（把你认为正确命题的序号都填上）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．
【分析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假；
对于②，由直线平行于平面的性质知l与α内的直线平行或异面；
对于③，由平面与平面垂直的判定定理知α与β不一定垂直；
对于④，由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假；
对于⑤，由平面与平面平行的性质知m∥l或m与l异面．
【解答】解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；
②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；
③若m α，l β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；
④若l β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；
⑤若m α，l β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．
故答案为：①④．
　
三．解答题（本大题共5小题，总分52分）
17．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，分别求满足下列条件的直线方程
（1）过点P且过原点的直线方程；
（2）过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程．
【考点】两条直线的交点坐标；直线的点斜式方程；直线的两点式方程．
【分析】（1）联立直线l1与l2，求出方程组的解即为P的坐标，然后根据P的坐标与原点（0，0）写出直线方程即可；
（2）根据直线l3的方程求出斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到直线l的斜率，根据P点与斜率写出直线l的方程即可．
【解答】解：（1）由题意直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0联立：，解得则交点P（﹣2，2）
所以，过点P（﹣2，2）与原点的直线方程为：y=0=（x﹣0），化简得：x+y=0；
（2）直线l3：x﹣2y﹣1=0的斜率为
过点P（﹣2，2）且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的斜率为﹣2．
所以，由点斜式所求直线的方程y﹣2=﹣2（x+2）
即所求直线的方程2x+y+2=0．
　
18．求圆心在l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得弦长为的圆的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意，设圆心为C（a，3a），算出点C到直线x﹣y=0的距离，根据垂径定理建立方程，由于所求的圆与x轴相切，所以r2=9a2，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：由已知设圆心为（a，3a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
与轴相切则r=|3a|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
圆心到直线的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
弦长为得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），r=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
或（x+1）2+（y+3）2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
　
19．已知圆x2+y2=4和圆外一点p（﹣2，﹣3），求过点p的圆的切线方程．
【考点】圆的切线方程．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，当切线方程的斜率不存在时，显然x=﹣2满足题意；当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，由P的坐标和k表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．
【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=﹣2为圆的切线；
当过P的切线方程斜率存在时，
设斜率为k，p（﹣2，﹣3），
∴切线方程为y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0，
∵圆心到切线的距离d==r=2，
解得：k=，
此时切线方程为5x﹣12y﹣26=0，
综上，切线方程为x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．
　
20．如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
（1）PC∥平面EBD；
（2）BC⊥平面PCD．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明BC⊥PD，BC⊥CD，即可证明BC⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）连BD，与AC交于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是PA的中点，
∴EO∥PC
又∵EO 平面EBD，PC 平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD．
　
21．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=，AB=2．求证：
（1）求棱锥P﹣ABCD体积；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E﹣BD﹣C的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由PO⊥面ABCD，PO=，AB=2，能求出棱锥P﹣ABCD体积．
（2）推导出PO⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．
（3）由EO⊥BD，CO⊥BD，知∠EOC为二面角E﹣BD﹣C的平面角，由此能示出二面角E﹣BD﹣C的大小．
【解答】解：（1）∵PO⊥面ABCD，PO=，AB=2，ABCD是正方形，
∴棱锥P﹣ABCD体积VP﹣ABCD==．
证明：（2）∵PO⊥平面ABCD，BD 面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，
∵BD 平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
解：（3）∵EO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠EOC为二面角E﹣BD﹣C的平面角，
作EF∥PO，交AC于F，EF==，AC=2，FO=，
∴∠EOC=45°，
所以二面角E﹣BD﹣C为45°．
　
2017年3月15日