浙江省金华十校联考2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 浙江省金华十校联考2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 241.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-16 13:46:25 | ||
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文档简介
2016-2017学年浙江省金华十校联考高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2+y2=0，则x，y都不为0
C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
2．若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+1=0
B．2x﹣y﹣4=0
C．x+2y﹣2=0
D．x+2y﹣4=0
3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
4．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（ ）
A．α=，β=﹣1
B．α=﹣，β=1
C．α=1，β=﹣
D．α=﹣1，β=
5．曲线C：x2﹣3xy+y2=1（ ）
A．关于x轴对称
B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称
C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称
D．关于y轴对称
6．已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（ ）
A．l∥α，l∥β
B．α⊥γ，β⊥γ
C．m α，l α，m∥β，l∥β
D．l⊥α，m⊥β，l∥m
7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
8．已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
9．已知椭圆C1：
+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）
11．已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a= ，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 ．
12．某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．
13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p= ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为 ．
14．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为 ．
15．二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有 条．
16．设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为 ．
17．在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为 ．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求证：BD⊥平面SAC；
（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
20．已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．
21．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．
（1）证明：BD1⊥AE；
（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年浙江省金华十校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2+y2=0，则x，y都不为0
C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案．
【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：
“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，
即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，
故选：D
2．若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+1=0
B．2x﹣y﹣4=0
C．x+2y﹣2=0
D．x+2y﹣4=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】设出与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，把点（2，0）代入求出m的值即可．
【解答】解：设与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，
由直线过点（2，0），得2+0+m=0，
解得m=﹣2，
所求直线方程是x+2y﹣2=0．
故选：C．
3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【考点】空间向量的概念．
【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．
【解答】解：∵，
∴与同向共线的单位向量向量，
故选：C．
4．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（ ）
A．α=，β=﹣1
B．α=﹣，β=1
C．α=1，β=﹣
D．α=﹣1，β=
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据向量加法的多边形法则可得，
====，从而可求α，β．
【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
====，
∴α=，β=﹣1，
故选A．
5．曲线C：x2﹣3xy+y2=1（ ）
A．关于x轴对称
B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称
C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称
D．关于y轴对称
【考点】曲线与方程．
【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．
【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，
∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，
故选B．
6．已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（ ）
A．l∥α，l∥β
B．α⊥γ，β⊥γ
C．m α，l α，m∥β，l∥β
D．l⊥α，m⊥β，l∥m
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．
【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β
相交，所以A不正确；
α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β
相交，所以B不正确；
m α，l α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β
相交，所以C不正确；
只有D是正确的．
故选D．
7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．
【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．
不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E（0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．
=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．
∴===，
∴异面直线EF和GH所成的角是60°．
故选：B．
8．已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l的方程，利用△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l的距离d=，从而求出直线的斜率k．
【解答】解：由y=得x2+y2=4（y≥0），
∴曲线y=表示圆x2+y2=4在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；
由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），
则直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，
当△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，
此时圆心O到直线l的距离d=，如图所示；
∴d==，
∴k=．
故选：C．
9．已知椭圆C1：
+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+的最小值．
【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④
将④代入③，得a2+m2=2c2，
∴2e12+=++≥．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【考点】平面与圆柱面的截线．
【分析】利用平面与圆锥面的关系，即可得出结论．
【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D的交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，
故选D．
二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）
11．已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a= ﹣ ，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 2 ．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，由其倾斜角，可得其斜率k的值，进而可得﹣a=，解可得a的值；
根据题意，由于l1∥l2，结合直线平行的性质可得a×（﹣1）+1×1=0，解可得a的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，
若其倾斜角为，则其斜率k=tan=，
则有﹣a=，即a=﹣；
对于直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，
若l1∥l2，则有a×（﹣1）+1×1=0，解可得a=﹣1，
则l1的方程可以变形为x﹣y+1=0，
则两平行直线间的距离d==2．
故答案为：﹣，2．
12．某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为 2 ，表面积为 2+6 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，可又判断判断出该几何体的形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．
【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个底面是正三角形的一个三棱锥组成的几何体，如图．
由三视图可知，每一个三棱锥的底面正三角形的长为2，高为
则该几何体的体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．
故答案为：2，2+6．
13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p= 2 ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为 7 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．
【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），
∴=1，∴p=2．
准线方程为
x=﹣1，
设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，
故答案为2，7．
14．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为 2x+3y﹣5=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，
（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．
【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2
解得a=，b=，c=1，∴C的方程为：；
设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=2，y1+y2=2，
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得
2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．
这条弦所在的直线方程为：2x+3y﹣5=0
故答案为：：，2x+3y﹣5=0
15．二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有 3 条．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．
【解答】解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，
与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，
此时过P且与OP1平行的直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，
在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．
图2．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，
与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，
在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，
对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．
此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有3条．
故答案为：3．
16．设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为 y=﹣8（x﹣3）． ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．
【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0
∴x1+x2=﹣，x1x2=
∴k1+k2=+==﹣，
代入解得k=﹣8，
∴直线l的方程是y=﹣8（x﹣3）．
故答案为y=﹣8（x﹣3）．
17．在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为 2 ．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．
【解答】解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为=，
∴x=时，P到AC的距离最小值为，
∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，
∴AC==4，
∴△PCA面积的最小值为=2．
故答案为2．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线的等价条件建立方程进行求解即可．
（2）根据椭圆的方程求出命题p的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可．
【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4
（2）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则7﹣a＞k﹣1＞0，
得1＜k＜8﹣a，（a＜7），
若p是q的必要不充分条件，
则，即a＜4．
19．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求证：BD⊥平面SAC；
（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．
（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．
（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，
又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A
（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），
=（0，﹣，1），平面SAD的法向量=（1，0，0），
∴=0，CE 平面SAD，
∴CE∥平面SAD．
（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），
=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），
，取y=1，得=（﹣），
∴∥，
∴BD⊥平面SAC．
解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），
设直线CE与平面SAC所成角为θ，
则sinθ==，
∴cosθ=，
∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为．
20．已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．
【考点】恒过定点的直线；直线的一般式方程．
【分析】（1）令参数m的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．
（3）根据PA⊥AS，以及圆的性质可得点A的轨迹是以PS为直径的圆，由根据|BM|﹣r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长的取值范围．
【解答】解：（1）证明：∵直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，即2（x﹣2）+m（y﹣4）=0，
令y﹣4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点的坐标为S（2，4）．
（2）∵点P的坐标为（﹣1，0），|PQ|≤|PS|==5，故|PQ|的最大值为5，
此时，PS⊥l，它们的斜率之积=﹣1，求得m=．
（3）直线l恒过定点S（2，4），点B的坐标为（，5），PA⊥AS，
故点A的轨迹是以PS为直径的圆，圆心M（，2）、半径为=，
∴|BM|﹣≤|AB|≤|BM|+，即≤|AB|≤．
21．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．
（1）证明：BD1⊥AE；
（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（1）取AE中点H，推导出D1H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD1，由此能求出BD1⊥AE．
（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
【解答】证明：（1）取AE中点H，
∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，
∴D1H⊥AE，BH⊥AE，
∵D1H∩BH=H，∴AE⊥面HBD1，
∵BD1 平面HBD1，∴BD1⊥AE．
解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，
过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ，
A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣，），C（﹣2，，0），
CD1==，解得，
∴D1（0，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣），
设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（），
平面ABC的法向量=（0，0，1），
设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ，
则cosθ==．
∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．
22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．
（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1 x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；
（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，
∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y；
（2）设E（a，﹣2），A（x1，），B（x2，），
∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=1（x﹣x1），
∵切线过E点，∴整理得：x12﹣2ax1﹣8=0
同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1 x2=﹣8，
可得AB中点为（a，）
又=，
∴直线AB的方程为y﹣=（x﹣a）即y=x+2，
∴|AB|=，
∴a=0时，|AB|的最小值为4；
（3）由（2）知AB中点N（a，），直线AB的方程为y=x+2．
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x﹣a），
∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（，﹣2），
∴|MN|2=
∵|AB|=，
若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|，
∴=（）2，
解得a2=﹣4，∴不存在
当a=0时，经检验不存在满足条件的点M
综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形．
2017年3月16日
第1页（共24页）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2+y2=0，则x，y都不为0
C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
2．若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+1=0
B．2x﹣y﹣4=0
C．x+2y﹣2=0
D．x+2y﹣4=0
3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
4．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（ ）
A．α=，β=﹣1
B．α=﹣，β=1
C．α=1，β=﹣
D．α=﹣1，β=
5．曲线C：x2﹣3xy+y2=1（ ）
A．关于x轴对称
B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称
C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称
D．关于y轴对称
6．已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（ ）
A．l∥α，l∥β
B．α⊥γ，β⊥γ
C．m α，l α，m∥β，l∥β
D．l⊥α，m⊥β，l∥m
7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
8．已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
9．已知椭圆C1：
+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）
11．已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a= ，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 ．
12．某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．
13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p= ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为 ．
14．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为 ．
15．二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有 条．
16．设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为 ．
17．在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为 ．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求证：BD⊥平面SAC；
（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
20．已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．
21．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．
（1）证明：BD1⊥AE；
（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年浙江省金华十校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2+y2=0，则x，y都不为0
C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案．
【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：
“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，
即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，
故选：D
2．若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x﹣y+1=0
B．2x﹣y﹣4=0
C．x+2y﹣2=0
D．x+2y﹣4=0
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】设出与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，把点（2，0）代入求出m的值即可．
【解答】解：设与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，
由直线过点（2，0），得2+0+m=0，
解得m=﹣2，
所求直线方程是x+2y﹣2=0．
故选：C．
3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【考点】空间向量的概念．
【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．
【解答】解：∵，
∴与同向共线的单位向量向量，
故选：C．
4．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（ ）
A．α=，β=﹣1
B．α=﹣，β=1
C．α=1，β=﹣
D．α=﹣1，β=
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据向量加法的多边形法则可得，
====，从而可求α，β．
【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
====，
∴α=，β=﹣1，
故选A．
5．曲线C：x2﹣3xy+y2=1（ ）
A．关于x轴对称
B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称
C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称
D．关于y轴对称
【考点】曲线与方程．
【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．
【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，
∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，
故选B．
6．已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（ ）
A．l∥α，l∥β
B．α⊥γ，β⊥γ
C．m α，l α，m∥β，l∥β
D．l⊥α，m⊥β，l∥m
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．
【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β
相交，所以A不正确；
α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β
相交，所以B不正确；
m α，l α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β
相交，所以C不正确；
只有D是正确的．
故选D．
7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．
【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．
不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E（0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．
=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．
∴===，
∴异面直线EF和GH所成的角是60°．
故选：B．
8．已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l的方程，利用△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l的距离d=，从而求出直线的斜率k．
【解答】解：由y=得x2+y2=4（y≥0），
∴曲线y=表示圆x2+y2=4在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；
由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），
则直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，
当△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，
此时圆心O到直线l的距离d=，如图所示；
∴d==，
∴k=．
故选：C．
9．已知椭圆C1：
+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+的最小值．
【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④
将④代入③，得a2+m2=2c2，
∴2e12+=++≥．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【考点】平面与圆柱面的截线．
【分析】利用平面与圆锥面的关系，即可得出结论．
【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D的交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，
故选D．
二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）
11．已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a= ﹣ ，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为 2 ．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，由其倾斜角，可得其斜率k的值，进而可得﹣a=，解可得a的值；
根据题意，由于l1∥l2，结合直线平行的性质可得a×（﹣1）+1×1=0，解可得a的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，
若其倾斜角为，则其斜率k=tan=，
则有﹣a=，即a=﹣；
对于直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，
若l1∥l2，则有a×（﹣1）+1×1=0，解可得a=﹣1，
则l1的方程可以变形为x﹣y+1=0，
则两平行直线间的距离d==2．
故答案为：﹣，2．
12．某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为 2 ，表面积为 2+6 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，可又判断判断出该几何体的形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．
【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个底面是正三角形的一个三棱锥组成的几何体，如图．
由三视图可知，每一个三棱锥的底面正三角形的长为2，高为
则该几何体的体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．
故答案为：2，2+6．
13．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p= 2 ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为 7 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．
【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），
∴=1，∴p=2．
准线方程为
x=﹣1，
设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，
故答案为2，7．
14．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为 2x+3y﹣5=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，
（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．
【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2
解得a=，b=，c=1，∴C的方程为：；
设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=2，y1+y2=2，
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得
2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．
这条弦所在的直线方程为：2x+3y﹣5=0
故答案为：：，2x+3y﹣5=0
15．二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有 3 条．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．
【解答】解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，
与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，
此时过P且与OP1平行的直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，
在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．
图2．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，
与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，
在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，
对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．
此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有3条．
故答案为：3．
16．设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为 y=﹣8（x﹣3）． ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．
【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0
∴x1+x2=﹣，x1x2=
∴k1+k2=+==﹣，
代入解得k=﹣8，
∴直线l的方程是y=﹣8（x﹣3）．
故答案为y=﹣8（x﹣3）．
17．在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为 2 ．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．
【解答】解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为=，
∴x=时，P到AC的距离最小值为，
∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，
∴AC==4，
∴△PCA面积的最小值为=2．
故答案为2．
三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线的等价条件建立方程进行求解即可．
（2）根据椭圆的方程求出命题p的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可．
【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4
（2）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则7﹣a＞k﹣1＞0，
得1＜k＜8﹣a，（a＜7），
若p是q的必要不充分条件，
则，即a＜4．
19．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求证：BD⊥平面SAC；
（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．
（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．
（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，
又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A
（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），
=（0，﹣，1），平面SAD的法向量=（1，0，0），
∴=0，CE 平面SAD，
∴CE∥平面SAD．
（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），
=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），
，取y=1，得=（﹣），
∴∥，
∴BD⊥平面SAC．
解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），
设直线CE与平面SAC所成角为θ，
则sinθ==，
∴cosθ=，
∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为．
20．已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．
【考点】恒过定点的直线；直线的一般式方程．
【分析】（1）令参数m的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．
（3）根据PA⊥AS，以及圆的性质可得点A的轨迹是以PS为直径的圆，由根据|BM|﹣r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长的取值范围．
【解答】解：（1）证明：∵直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，即2（x﹣2）+m（y﹣4）=0，
令y﹣4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点的坐标为S（2，4）．
（2）∵点P的坐标为（﹣1，0），|PQ|≤|PS|==5，故|PQ|的最大值为5，
此时，PS⊥l，它们的斜率之积=﹣1，求得m=．
（3）直线l恒过定点S（2，4），点B的坐标为（，5），PA⊥AS，
故点A的轨迹是以PS为直径的圆，圆心M（，2）、半径为=，
∴|BM|﹣≤|AB|≤|BM|+，即≤|AB|≤．
21．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．
（1）证明：BD1⊥AE；
（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（1）取AE中点H，推导出D1H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD1，由此能求出BD1⊥AE．
（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
【解答】证明：（1）取AE中点H，
∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，
∴D1H⊥AE，BH⊥AE，
∵D1H∩BH=H，∴AE⊥面HBD1，
∵BD1 平面HBD1，∴BD1⊥AE．
解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，
过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ，
A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣，），C（﹣2，，0），
CD1==，解得，
∴D1（0，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣），
设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（），
平面ABC的法向量=（0，0，1），
设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ，
则cosθ==．
∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．
22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．
（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1 x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；
（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，
∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y；
（2）设E（a，﹣2），A（x1，），B（x2，），
∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=1（x﹣x1），
∵切线过E点，∴整理得：x12﹣2ax1﹣8=0
同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1 x2=﹣8，
可得AB中点为（a，）
又=，
∴直线AB的方程为y﹣=（x﹣a）即y=x+2，
∴|AB|=，
∴a=0时，|AB|的最小值为4；
（3）由（2）知AB中点N（a，），直线AB的方程为y=x+2．
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x﹣a），
∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（，﹣2），
∴|MN|2=
∵|AB|=，
若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|，
∴=（）2，
解得a2=﹣4，∴不存在
当a=0时，经检验不存在满足条件的点M
综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形．
2017年3月16日
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