2017年湖北省武汉市2017届高三二月调考数学试卷（理科）（解析版）

2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．
D．﹣
2．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞3
B．a≥3
C．a≥﹣1
D．a＞﹣1
3．已知函数f（x）=sin（ωx+）﹣cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π，则f（﹣）=（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（　　）
A．f（x）=|sinx|
B．f（x）=ln
C．f（x）=（ex﹣e﹣x）
D．f（x）=ln（﹣x）
5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（　　）
A．n≤8？
B．n＞8？
C．n≤7？
D．n＞7？
6．若函数f（x）=在区间（0，）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1
B．a≤2
C．a≥﹣1
D．a≤1
7．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（　　）
A．40
B．36
C．32
D．24
8．已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（　　）
A．
B．2
C．
D．
9．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（　　）
A．2
B．
C．
D．
10．设实数x、y满足约束条件，则2x+的最小值为（　　）
A．2
B．
C．
D．
11．已知，为两个非零向量，且||=2，|+2|=2，则||+|2+|的最大值为（　　）
A．4
B．3
C．
D．
12．已知x、y满足x3+2y3=x﹣y，x＞0，y＞0．则x、y使得x2+ky2≤1恒成立的k的最大值为（　　）
A．2
B．2+
C．2+2
D．
+1
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（x2+1）（x+a）8的展开式中，x8的系数为113，则实数a的值为　　．
14．在△ABC中，角C=60°，且tan+tan=1，则sin sin=　　．
15．在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y=上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点　　．
16．已知函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为　　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，且满足：（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N
．
（1）求a1及通项公式an；
（2）若bn=（﹣1）n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1=，AB=BB1=2，BC=1，D为CC1中点．
（1）求证：DB1⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．
19．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．
20．已知椭圆Г：
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为﹣1．
（1）求椭圆Г的标准方程；
（2）已知Г上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Г于A，B，若=2，
=λ（λ＞0），求λ的值．
21．（1）求函数f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤上的最大值；
（2）证明：不等式x1﹣x+（1﹣x）x≤在（0，1）上恒成立．
　
[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．
（1）求直线l和⊙C的普通方程；
（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；
（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．
　
2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．
D．﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数==+的实部和虚部相等，
∴=，解得a=．
故选：C．
　
2．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞3
B．a≥3
C．a≥﹣1
D．a＞﹣1
【考点】交集及其运算．
【分析】由A∩B=A，知A B，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜a}，
A∩B=A，
∴A B，∴a≥3．
∴实数a的取值范围是a≥3．
故选：B．
　
3．已知函数f（x）=sin（ωx+）﹣cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π，则f（﹣）=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，从而求得f（﹣）的值．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）﹣cos（ωx﹣）=sin（ωx+）﹣cos（ωx+）
=sin（ωx+）+sin（ωx+）=sin（ωx+）的最小正周期为=2π，∴ω=1．
即f（x）=sin（x+），则f（﹣）=sin=，
故选：A．
　
4．下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（　　）
A．f（x）=|sinx|
B．f（x）=ln
C．f（x）=（ex﹣e﹣x）
D．f（x）=ln（﹣x）
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据题意，依次分析4个选项所给函数的奇偶性与单调性，是否满足题意，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、f（x）=|sinx|，有f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），为偶函数，不符合题意，
对于B、f（x）=ln，有＞0，解可得﹣2＜x＜2，即其定义域为（﹣2，2），关于原点对称，又由f（﹣x）=ln=﹣f（x），为奇函数，
令t==﹣1+，在区间（﹣1，1）上为减函数，而y=lnt为增函数，
而f（x）=ln在区间（﹣1，1）上为减函数，不符合题意，
对于C、f（x）=（ex﹣e﹣x），其定义域为R，关于原点对称，又由f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）=﹣f（x），为奇函数，
函数y=ex为增函数，而函数y=e﹣x为减函数，
故函数f（x）=（ex﹣e﹣x）在区间（﹣1，1）上为增函数，符合题意，
对于D、f（x）=ln（﹣x），有﹣x＞0，解可得x∈R，其定义域为R，关于原点对称，又由f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；
令t=﹣x=，在区间（﹣1，1）为减函数，而y=lnt为增函数，
故f（x）=ln（﹣x）在区间（﹣1，1）上为减函数，不符合题意，
故选：C．
　
5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（　　）
A．n≤8？
B．n＞8？
C．n≤7？
D．n＞7？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S=0，n=1，a=3
执行循环体，S=3，a=5
不满足条件，执行循环体，n=2，S=8，a=7
不满足条件，执行循环体，n=3，S=15，a=9
不满足条件，执行循环体，n=4，S=24，a=11
不满足条件，执行循环体，n=5，S=35，a=13
不满足条件，执行循环体，n=6，S=48，a=15
不满足条件，执行循环体，n=7，S=63，a=17
不满足条件，执行循环体，n=8，S=80，a=19
由题意，此时满足条件，退出循环，输出的S结果为80，
则判断框内应填入n＞7？
故选：D．
　
6．若函数f（x）=在区间（0，）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1
B．a≤2
C．a≥﹣1
D．a≤1
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的化简求值．
【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=
则f′（x）=
∵x∈（0，）上，
∴cos2x＞0
要使函数f（x）=在区间（0，）上单调递增，
∴cos2x+sin2x+asinx＞0在x∈（0，）上恒成立，
即：asinx+1＞0在x∈（0，）上恒成立，
∵x∈（0，）上，
sinx∈（0，1）
∴a≥﹣1
故选C．
　
7．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（　　）
A．40
B．36
C．32
D．24
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．
【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；
甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；
甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种，
故共有12+12+12=36．
故选：B．
　
8．已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（　　）
A．
B．2
C．
D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求出．
【解答】解：直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x联立，可得y2﹣2y﹣6=0，∴y=1±，
∴A（2+，1+），B（2﹣，1﹣），
∴=+=，
故选A．
　
9．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（　　）
A．2
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】利用三视图复原的几何体的形状，几何体外接球为正方体外接球，通过三视图的数据求解该几何体外接球的直径为即可．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的棱长为2；
所以几何体外接球为正方体外接球，
该几何体外接球的直径为2．
故选D．
　
10．设实数x、y满足约束条件，则2x+的最小值为（　　）
A．2
B．
C．
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，判断最优解，求解即可．
【解答】解：实数x、y满足约束条件的可行域如图：
可得A（，3），B（，），C（，），目标函数在B处取得最小值．
2x+的最小值为，2×+=．
故选：B．
　
11．已知，为两个非零向量，且||=2，|+2|=2，则||+|2+|的最大值为（　　）
A．4
B．3
C．
D．
【考点】向量的模．
【分析】由|+2|=2，得，再求出||，然后利用换元法以及函数的求导化简计算即可得答案．
【解答】解：由|+2|=2，得，即，
∴，
||==．
则||+|2+|=．
令f（x）=，
则f′（x）=（﹣），
由f′（x）=0，得x=．
∴当x=时，f（x）有最大值为．
故选：D．
　
12．已知x、y满足x3+2y3=x﹣y，x＞0，y＞0．则x、y使得x2+ky2≤1恒成立的k的最大值为（　　）
A．2
B．2+
C．2+2
D．
+1
【考点】函数恒成立问题．
【分析】把x2+ky2≤1恒成立，转化为x3+2y3≥（x﹣y）（x2+ky2）恒成立，展开后利用基本不等式得到2≥k，然后求解关于k的不等式得其最值．
【解答】解：若x2+ky2≤1恒成立，
则x3+2y3≥（x﹣y）（x2+ky2）=x3+kxy2﹣yx2﹣ky3，
则（k+2）y3+yx2≥kxy2，
∵（k+2）y3+yx2≥2xy2．
∴2≥k，∴4（k+2）≥k2，
解得：2﹣2≤k≤2+2．
∴实数k的最大值为2+2，
故选C．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（x2+1）（x+a）8的展开式中，x8的系数为113，则实数a的值为　±2　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】（x2+1）（x+a）8=（x2+1），可得x8的系数=1+，进而得出．
【解答】解：（x2+1）（x+a）8=（x2+1），
∴x8的系数=1+=113，解得a=±2．
故答案为：±2．
　
14．在△ABC中，角C=60°，且tan+tan=1，则sin sin=　　．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．
【分析】由已知及三角形内角和定理可求+=60°，由已知等式，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式可求cos cos=，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解sin sin的值．
【解答】解：∵C=60°，可得：
+==60°，
∵tan+tan=1，可得：
+====1，可得：cos cos=，
∴cos（+）=cos60°==cos cos﹣sin sin=﹣sin sin，可得：sin sin=．
故答案为：．
　
15．在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y=上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点　（1，0）　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】曲线y=的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0），即可得出结论．
【解答】解：曲线y=的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0），
∴过D、E、F三点的圆一定经过定点（1，0）．
故答案为（1，0）．
　
16．已知函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为　（0，）　．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，根据函数恰有两个极值点得到关于a的不等式，求出a的具体范围即可．
【解答】解：函数f（x）=xex﹣ae2x
可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2个极值点，
则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根，
令g（x）=x+1﹣2aex，g′（x）=1﹣2aex；
（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，
（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，
当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，
x＞ln时，g′（x）＜0，g（x）在（ln，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，
∴g（x）max=g（ln）=ln+1﹣2a =ln＞0，
∴＞1，即0＜a＜；
故答案为：（0，）．
　
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，且满足：（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N
．
（1）求a1及通项公式an；
（2）若bn=（﹣1）n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）对n分类讨论，利用分组求和即可得出．
【解答】解：（1）∵（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N
，∴=4a1+5，a1＞0，解得a1=1．
n≥2时，
=4Sn﹣1+4（n﹣1）+1，相减可得：
=0，an＞0，化为：an﹣an﹣1=2．
∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）bn=（﹣1）n an=（﹣1）n （2n﹣1）．
n=2k（k∈N
）时，b2k﹣1+b2k=﹣（2n﹣1）+（2n+1）=2．
∴数列{bn}的前n项和Tn=n．
n=2k﹣1（k∈N
）时，b2k+b2k+1=（2n﹣1）﹣（2n+1）=﹣2．
∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣1﹣=﹣n．
∴Tn=，k∈N
．
　
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1=，AB=BB1=2，BC=1，D为CC1中点．
（1）求证：DB1⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）利用余弦定理计算BD，B1D，再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D，由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D，于是得出B1D⊥平面ABD；
（2）以B为原点建立坐标系，求出平面AB1D的法向量，平面A1B1D的法向量，计算cos＜，＞即可得出二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵BC=B1C1=1，CD=C1D=BB1=1，∠BCC1=，∠B1C1D=π﹣∠BCC1=，
∴BD=1，B1D=，
∴BB12=BD2+B1D2，∴BD⊥B1D．
∵AB⊥平面BB1C1C，BD 平面BB1C1C，
∴AB⊥B1D，又AB 平面ABD，BD 平面ABD，AB∩BD=B，
∴DB1⊥平面ABD．
（2）以B为原点，以BB1，BA所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：
则A（0，0，2），D（，，0），B1（2，0，0），A1（2，0，2），
∴=（，﹣，0），=（﹣2，0，2），=（0，0，2）．
设平面AB1D的法向量为=（x1，y1，z1），平面A1B1D的法向量为=（x2，y2，z2），
则，，即，，
令x1=1得=（1，，1），令x2=1得=（1，，0）．
∴cos＜，＞===．
∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角，
∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为．
　
19．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P（A）=（1﹣）×+×（1﹣）．
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则X的取值有﹣90，50，80，220．由独立试验的概率计算公式可得，P（X=0）=（1﹣）（1﹣），P（X=50）=×，P（X=80）=，
P（X=220）=．
【解答】解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，则
P（A）=（1﹣）×+×（1﹣）=．
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则X的取值有﹣90，50，80，220．
由独立试验的概率计算公式可得，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，
P（X=50）=×=，
P（X=80）==，
P（X=220）==．
∴ξ的分布列如下：
X
﹣90
50
80
220
P
则数学期望E（X）=+50×++220×=121.5万元．
　
20．已知椭圆Г：
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为﹣1．
（1）求椭圆Г的标准方程；
（2）已知Г上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Г于A，B，若=2，
=λ（λ＞0），求λ的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意可得：
=，a﹣c=﹣1，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出椭圆Г的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），点P（x0，y0），直线PA的方程：x=my﹣1，与椭圆方程联立化为：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，可得y0 y1=，x0=my0﹣1，解得m=．可得=﹣=3+2x0=2．解得x0，可得P坐标．利用点斜式可得直线PF2的方程，代入椭圆方程可即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：
=，a﹣c=﹣1，b2=a2﹣c2，解得：a2=2，c=1，b=1．
∴椭圆Г的标准方程为+y2=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），点P（x0，y0），直线PA的方程：x=my﹣1，
联立，化为：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，
∴y0 y1=，x0=my0﹣1，
∴m=．
∴=﹣=﹣===+2=+2﹣=3+2x0．
∴3+2x0=2，解得x0=﹣，∴P．
（i）当取P时，
==﹣，可得直线PF2的方程：y=﹣（x﹣1），即x=﹣y+1．
代入椭圆方程可得：
y2﹣y﹣1=0，∴y2 y0=﹣，而y0=，
∴y2=﹣，∴=﹣=﹣=4，即λ=4．
（ii）当P时，同理可得：λ=4．
综上可得：λ=4．
　
21．（1）求函数f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤上的最大值；
（2）证明：不等式x1﹣x+（1﹣x）x≤在（0，1）上恒成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）求出g（x）关于直线x=对称，只需证明：x1﹣x+（1﹣x）x≤在（0，]恒成立，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】（1）解：f′（x）=1+ln（1﹣x）+2，
令f′（x）=0，解得：x=﹣（记为x0），
则f（x）在（0，x0）递减，在（x0，]递增，
x→0+时，f′（x）→0，f（π）≤f（）=0，即xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，
∴f（x）在（0，]上的最大值是0；
（2）证明：∵g（x）=x1﹣x+（1﹣x）x满足：g（x）=g（1﹣x），
∴g（x）关于直线x=对称，
故只需证明：x1﹣x+（1﹣x）x≤在（0，]恒成立，
而g′（x）=x1﹣x（﹣lnx+）+（1﹣x）x[ln（1﹣x）﹣]，
而g（）=，只需证明g′（x）≥0，①在（0，]恒成立，
而﹣xlnx+1﹣x＞0，
即只需证明：≥②，
而由（1）可得0＜x≤时，（1﹣x）1﹣x≥xx，即≥1③，
要使②式成立，只需证明≤1在（0，]上恒成立，
即只需φ（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）+2x﹣1≤0④，
由（1）得：xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，而2x﹣1≤0，
从而④式成立，
综合③④可知②式成立，
故①式得证，从而原不等式得证．
　
[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．
（1）求直线l和⊙C的普通方程；
（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）将利用和差公式打开；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得直线l和⊙C的普通方程．
（2）利用圆截直线的弦长公式求|AB|即可
【解答】解：（1）直线l的方程为，
可得：ρsinθcos﹣ρcosθsin=﹣
﹣y﹣x=
即：．
⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．
可得：ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ，
x2+y2=4x+2y
即：x2+y2﹣4x﹣2y=0，
故得直线l的普通方程为：；⊙C的普通方程为：x2+y2﹣4x﹣2y=0．
（2）由x2+y2﹣4x﹣2y=0，可知圆心为（2，1），半径r=，
那么：圆心到直线的距离d=，
∴|AB|=2
故得直线l与圆⊙C交于A，B两点间的弦AB长为．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；
（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）通过讨论x的范围求出函数f（x）的分段函数的形式，从而求出f（x）的值域即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）∵y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|==，
故函数的值域是[﹣3，+∞）；
（2）f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，
①a≥1时，f（x）==，
而2a﹣2＞1﹣a，
此时f（x）的最小值是1﹣a，故只需1﹣a≥﹣1，
∴1≤a≤2；
②a＜1时，f（x）==，
此时a＜1时，﹣1+a＜2﹣2a，f（x）的最小值是a﹣1，
只需a﹣1≥﹣1，0≤a＜1，
综上，a的范围是[0，2]．
　
2017年3月17日