1.2 集合的基本关系
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课件39张PPT。第一章 集 合§2 集合的基本关系1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫作图示法.
(2)适用范围：元素个数较少的集合.
(3)使用方法：把 写在封闭曲线的内部.答案内部元素知识点二 子集的概念答案任何一个包含关系?思考 符号“∈”与“?”有什么区别？
答 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合.答案知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
思考 (1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗？
答 不相等.前者是数集，有两个元素：0和1；后者是点集，只有一个元素：数对(0,1).
(2)集合{x∈R|－1答 相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于－1且小于2的所有实数，所以这两个集合相等.答案知识点四 真子集的概念??知识点五 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为：?.
(3)规定：空集是任何集合的子集.
思考 {0}，?与{?}之间有什么区别与联系？
答 {0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，而{?}是含有一个元素?的集合，因此有?∈{?}.答案知识点六 子集的有关性质
(1)任何一个集合都是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 .答案子集A?AA?C返回 题型探究 重点突破题型一 有限集合的子集确定问题
例1 (1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；解 子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}.
真子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.解析答案反思与感悟(2)已知集合A满足{a，b}?A?{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.解 由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的A有：
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}.1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪训练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解析答案解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.题型二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；解析答案解 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；解析答案解 集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.解析答案由于4k2＋1＝2×2k2＋1,4k2－1＝2(2k2－1)＋1，且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，∴4k2±1与2k＋1(k∈Z)一样，都表示所有奇数.∴x2∈A.∴B?A.
故A＝B.故选C.答案 C反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断.若A?B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系.跟踪训练2 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )
A.S?P?M B.S＝P?M
C.S?P＝M D.S?P＝M解析答案解析 对于M：x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z，
对于P：y＝3n＋1，n∈Z，
∴M＝P.
而z＝6m＋1＝3·(2m)＋1，m∈Z，
∴S?P＝M，故选C.C题型三 集合相等
例4 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值.解析答案又a＝0，b＝0时，M＝{2,0,0}与集合的互异性矛盾，
故舍去.反思与感悟由A＝B(或A?B)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.?解析答案?C题型四 由集合间的关系求参数范围问题
例5 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A，求实数m的取值范围.解析答案解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.反思与感悟1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“B?A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝?”和“B≠?”两种情形讨论.跟踪训练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；解析答案解 若A?B，由图可知a＞2.(2)若B?A，求a的取值范围.解 若B?A，由图可知1≤a≤2.解析答案忽略空集的特殊性致误易错点例6 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有满足条件的a的取值集合.易错警示错解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝{－1}或{3}.正解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝?或N＝{－1}或N＝{3}.
当N＝?时，ax－1＝0无解，即a＝0.解析答案易错警示易错警示跟踪训练5 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.解析答案返回解 因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B?A，
所以B可能为?，{0}，{－4}，{0，－4}.
①当B＝?时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解.
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
所以a<－1.
②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，解析答案解得a＝－1.③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，该方程组无解.
④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，解得a＝1.
综上可得a≤－1或a＝1.返回 当堂检测123451.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16解析答案解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个).B123452.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A.{0}?M B.{0}∈M
C.?∈M D.0?M解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；
选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.A解析答案123453.若集合P＝{x|x≤3}，则( )
A.－1?P B.{－1}∈P
C.?∈P D.{－1}?P解析 ∵P＝{x|x≤3}，D解析答案∴－1∈P，故{－1}?P，故答案为D.123454.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1 B.2 C.3 D.4解析答案解析 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0因为A?C?B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，所以集合C的个数为22＝4.故选D.D123455.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝____，y＝____.解析答案解析 因为A＝B，所以x＝0或y＝0.
若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；
若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0,1}.
所以x＝1，y＝0.10课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
3.涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.返回
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫作图示法.
(2)适用范围：元素个数较少的集合.
(3)使用方法：把 写在封闭曲线的内部.答案内部元素知识点二 子集的概念答案任何一个包含关系?思考 符号“∈”与“?”有什么区别？
答 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合.答案知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
思考 (1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗？
答 不相等.前者是数集，有两个元素：0和1；后者是点集，只有一个元素：数对(0,1).
(2)集合{x∈R|－1
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为：?.
(3)规定：空集是任何集合的子集.
思考 {0}，?与{?}之间有什么区别与联系？
答 {0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，而{?}是含有一个元素?的集合，因此有?∈{?}.答案知识点六 子集的有关性质
(1)任何一个集合都是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 .答案子集A?AA?C返回 题型探究 重点突破题型一 有限集合的子集确定问题
例1 (1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；解 子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}.
真子集为：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.解析答案反思与感悟(2)已知集合A满足{a，b}?A?{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.解 由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的A有：
{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}.1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪训练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解析答案解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.题型二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；解析答案解 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；解 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；解析答案解 集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.解析答案由于4k2＋1＝2×2k2＋1,4k2－1＝2(2k2－1)＋1，且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，∴4k2±1与2k＋1(k∈Z)一样，都表示所有奇数.∴x2∈A.∴B?A.
故A＝B.故选C.答案 C反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断.若A?B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系.跟踪训练2 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )
A.S?P?M B.S＝P?M
C.S?P＝M D.S?P＝M解析答案解析 对于M：x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z，
对于P：y＝3n＋1，n∈Z，
∴M＝P.
而z＝6m＋1＝3·(2m)＋1，m∈Z，
∴S?P＝M，故选C.C题型三 集合相等
例4 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值.解析答案又a＝0，b＝0时，M＝{2,0,0}与集合的互异性矛盾，
故舍去.反思与感悟由A＝B(或A?B)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.?解析答案?C题型四 由集合间的关系求参数范围问题
例5 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A，求实数m的取值范围.解析答案解 ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.反思与感悟1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“B?A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝?”和“B≠?”两种情形讨论.跟踪训练4 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；解析答案解 若A?B，由图可知a＞2.(2)若B?A，求a的取值范围.解 若B?A，由图可知1≤a≤2.解析答案忽略空集的特殊性致误易错点例6 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N?M，求所有满足条件的a的取值集合.易错警示错解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝{－1}或{3}.正解 由N?M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝?或N＝{－1}或N＝{3}.
当N＝?时，ax－1＝0无解，即a＝0.解析答案易错警示易错警示跟踪训练5 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.解析答案返回解 因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B?A，
所以B可能为?，{0}，{－4}，{0，－4}.
①当B＝?时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解.
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
所以a<－1.
②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，解析答案解得a＝－1.③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，该方程组无解.
④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，解得a＝1.
综上可得a≤－1或a＝1.返回 当堂检测123451.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16解析答案解析 可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个).B123452.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )
A.{0}?M B.{0}∈M
C.?∈M D.0?M解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；
选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.A解析答案123453.若集合P＝{x|x≤3}，则( )
A.－1?P B.{－1}∈P
C.?∈P D.{－1}?P解析 ∵P＝{x|x≤3}，D解析答案∴－1∈P，故{－1}?P，故答案为D.123454.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；
若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0,1}.
所以x＝1，y＝0.10课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
3.涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.返回